A-0-5數(shù)列遞推

2023-08-27 15:26 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

0.5.1 基本數(shù)列

數(shù)列的一般形式

$a_1%2Ca_2%2Ca_3%2C%5Ccdots%2Ca_n%2C%5Ccdots$

可以記為 $%5C%7Ba_n%5C%7D$ ， $a_n$ 表示數(shù)列的第 $n$ 項，如果 $a_n$ 是關(guān)于 $n$ 的函數(shù)，則 $a_n%3Df(n)$ 稱為數(shù)列的通項公式。

所有數(shù)列中，最基礎(chǔ)的是等差和等比數(shù)列：

等差數(shù)列通項公式
$a_n%3Da_1%2B(n-1)d$
等比數(shù)列通項公式

$a_n%3Da_1q%5E%7Bn-1%7D$
（ $a_1$ 為首項， $d$ 為公差， $q$ 為公比。）

等差數(shù)列前 $n$ 項和
$S_n%3Dna_1%2B%5Cdfrac%7Bn(n-1)%7D%7B2%7Dd$
等比數(shù)列前 $n$ 項和
$S_n%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%20na_1%26q%3D1%5C%5C%20a_1%5Cdfrac%7B1-q%7D%7B1-q%5En%7D%20%26q%5Cne1%20%5Cend%7Bcases%7D$

0.5.2 遞推公式求通項

如果數(shù)列 $%20%20%7Ba_n%7D$ ?的第 $%20n%20$ 項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個函數(shù)關(guān)系來表示

$a_%7Bn%2B1%7D%20%3Df(a_n%2Ca_%7Bn-1%7D%2C%5Ccdots)$

那么這個關(guān)系式叫做這個數(shù)列的遞推公式。例如，等差數(shù)列的遞推公式為

$%20a_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20a_%7Bn%7D%20%2B%20d$ ?

等比數(shù)列的遞推公式為

$%20%20a_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20a_n%20q$

物理競賽中常見的是兩項或三項之間的遞推關(guān)系式。

0.5.3 一階線性遞推數(shù)列

$a_%7Bn%2B1%7D%3Dpa_n%2Bq%2C(p%5Cne0)$

函數(shù)的不動點指的是滿足 $f(x)%3Dx$ 的 $x$ 值，數(shù)列的通項公式也是一個函數(shù)，那么數(shù)列的不動點就是 $a_n%3Dpa_n%2Bq$ ，我們把這樣的方程 $%5Clambda%3Dp%5Clambda%2Bq$ 稱為該數(shù)列的特征方程，特征方程的解稱為特征根。

當(dāng) $p%3D1%2Cq%5Cne0$ 時，特征方程無解，數(shù)列為等差數(shù)列。

當(dāng) $p%3D1%2Cq%3D0$ 時，特征方程有無數(shù)解，數(shù)列為常數(shù)列。

當(dāng) $p%5Cne1$ 時，特征方程有唯一解 $%5Clambda%3D%5Cdfrac%7Bq%7D%7B1-p%7D$ ，此為數(shù)列的不動點。

代回原式，我們可以得到

$a_%7Bn-1%7D-%5Clambda%3Dp(a_n-%5Clambda)$

即，構(gòu)造一個新數(shù)列 $%5C%7Ba_n-%5Clambda%5C%7D$ ，這是一個等比數(shù)列，公比為 $p$ .求出通項后，代回原式即可。

這種數(shù)列在物理競賽中最為常見，處理起來也比較簡單。

0.5.4 分式遞推數(shù)列

$a_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7Bs%20a_n%20%2B%20t%7D%7Bp%20a_n%20%2B%20q%7D$

依舊用不動點的思想列出對應(yīng)的特征方程 $%5Clambda%3D%5Cdfrac%7Bs%5Clambda%2Bt%7D%7Bp%5Clambda%2Bq%7D$ ，移項得

$p%5Clambda%5E2%2B(q-s)%5Clambda-t%3D0$

方程有兩個重根 $%5Clambda_1%3D%5Clambda_2%3D%5Clambda$

則 $%5C%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7Ba_n-%5Clambda%7D%5C%7D$ 為等差數(shù)列，公差 $d%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bs-p%5Clambda%20%7D$ ；

方程有兩不等實數(shù)根 $%5Clambda_1%2C%5Clambda_2$ .

則 $%5C%7B%5Cdfrac%7Ba_%7Bn%7D-%5Clambda_1%7D%7Ba_%7Bn%7D-%5Clambda_2%7D%5C%7D$ 為等比數(shù)列，公比 $q%3D%5Cdfrac%7Bs-p%5Clambda_1%7D%7Bs-p%5Clambda_2%7D$

證明：遞推式兩側(cè)分別同時減去兩特征根得

$a_%7Bn%2B1%7D%20-%5Clambda_1%3D%20%5Cdfrac%7Bs%20a_n%20%2B%20t%7D%7Bp%20a_n%20%2B%20q%7D-%5Clambda_1$

$%3D%5Cdfrac%7B(s-p%5Clambda_1%20)(a_n%20-%5Cdfrac%7Bt-q%5Clambda_1%7D%7Bp%5Clambda_1-s%7D)%7D%7Bp%20a_n%20%2B%20q%7D%3D%5Cdfrac%7B(s-p%5Clambda_1%20)(a_n%20-%5Clambda_1)%7D%7Bp%20a_n%20%2B%20q%7D$

同理可得

$a_%7Bn%2B1%7D%20-%5Clambda_2%3D%5Cdfrac%7B(s-p%5Clambda_2%20)(a_n%20-%5Clambda_2)%7D%7Bp%20a_n%20%2B%20q%7D$

兩式相除，得

$%5Cdfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D-%5Clambda_1%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-%5Clambda_2%7D%3D(%5Cdfrac%7Bs-p%5Clambda_1%7D%7Bs-p%5Clambda_2%7D)%5Cdfrac%7Ba_%7Bn%7D-%5Clambda_1%7D%7Ba_%7Bn%7D-%5Clambda_2%7D$

方程有一對共軛復(fù)數(shù)根 $%5Clambda_%7B1%2C2%7D%3D%5Calpha%5Cpm%20i%5Cbeta$ .

依舊可以用2的結(jié)論，雖然表達(dá)式中帶有虛數(shù)，但最后結(jié)果依然為實數(shù)。其中 $%5Cdfrac%7Bs-p%5Clambda_1%7D%7Bs-p%5Clambda_2%7D$ 可以利用歐拉公式化簡。此復(fù)數(shù)可以換元為

$A(%5Ccos%5Ctheta%2Bi%5Csin%5Ctheta)%3DAe%5E%7Bi%5Ctheta%7D$

$(%5Cdfrac%7Bs-p%5Clambda_1%7D%7Bs-p%5Clambda_2%7D)%5En%3D(Ae%5E%7Bi%5Ctheta%7D)%5En%3DA%5Ene%5E%7Bin%5Ctheta%7D%3DA%5En(%5Ccos%20n%5Ctheta%2Bi%5Csin%20n%5Ctheta)$

在靜電場像電荷的部分，有如下遞推公式 $x_n%3D%5Cdfrac%7BR%5E2%7D%7B2R-x_%7Bn-1%7D%7D$ ，已知 $x_1%3D%5Cdfrac%7BR%7D%7B2%7D$ ，求 $x_n$ .

數(shù)列對應(yīng)特征方程 $%5Clambda%3D%5Cdfrac%7BR%5E2%7D%7B2R-%5Clambda%7D$ ，化簡為 $(%5Clambda-R)%5E2%3D0$ ，方程有重根 $%5Clambda%3DR$ .

則 $%5C%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx_n-R%7D%5C%7D$ 為等差數(shù)列，公差為 $-%5Cdfrac%7B1%7D%7BR%7D$ ，故

$%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx_n-R%7D%3D-(n-1)%5Cdfrac%7B1%7D%7BR%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7BR%7D$

解得 $x_n%3D%5Cdfrac%7Bn%7D%7Bn%2B1%7DR$ .

0.5.5 二階常系數(shù)齊次遞推數(shù)列

$a_%7Bn%2B2%7D%3Dpa_%7Bn%2B1%7D%2Bqa_%7Bn%7D%2C(q%5Cne0)$

此時遞推數(shù)列的特征方程為 $%5Clambda%5E2%3Dp%5Clambda%2Bq$ ，

方程有兩重根 $%5Clambda_1%3D%5Clambda_2%3D%5Clambda$ ，則數(shù)列通項形式為 $a_n%3D(C_1%2BC_2n)%5Clambda%5En$ ，其中 $C_1%2CC_2$ 由初始條件確定。
方程有兩不等實根 $%5Clambda_1%2C%5Clambda_2$ ，則數(shù)列通項 $a_n%3DC_1%5Clambda_1%5En%2BC_2%5Clambda_2%5En$ .其中 $C_1%2CC_2$ 為待定系數(shù)。
方程有兩不等復(fù)數(shù)根，數(shù)列通項形式同2，雖然形式帶有虛數(shù)，最后結(jié)果依然為實數(shù)。

0.5.6 一階線性遞推方程組

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_%7Bn%2B1%7D%3Dpa_n%2Bqb_n%5C%5C%20b_%7Bn%2B1%7D%3Dsa_n%2Btb_n%20%5Cend%7Bcases%7D$

直接換元，化為單個數(shù)列遞推關(guān)系。

由第1個式子得

$b_n%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7Da_%7Bn%2B1%7D-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7Da_n$

代入到第2個式子得：

$%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7Da_%7Bn%2B2%7D-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7Da_%7Bn%2B1%7D%3Dsa_n%2Bt(%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7Da_%7Bn%2B1%7D-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7Da_n)$

即

$a_%7Bn%2B2%7D%3D(p%2Bt)a_%7Bn%2B1%7D%2B(sq-tp)a_n$

此為二階常系數(shù)齊次遞推數(shù)列。

在兩體碰撞中，有如下遞推式
$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_%7Bn%2B1%7D%3Da_n-2%5Cdfrac%7Ba_n%2Bkb_n%7D%7B1%2Bk%7D%5C%5C%20b_%7Bn%2B1%7D%3D2%5Cdfrac%7Ba_n%2Bkb_n%7D%7B1%2Bk%7D-b_n%20%5Cend%7Bcases%7D$
已知 $a_1%3D1%2Cb_1%3D-1$ ，求其通項公式。

原方程化簡得

$a_%7Bn%2B2%7D-2%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7Da_%7Bn%2B1%7D%2Ba_n%3D0$

對應(yīng)特征方程

$x%5E2-2%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7Dx%2B1%3D0$

對應(yīng)兩根

$x_%7B1%2C2%7D%3D%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7D%5Cpm%20i%5Cdfrac%7B2%5Csqrt%7Bk%7D%7D%7Bk%2B1%7D$

故

$a_n%3DC_1(%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7D%2B%20i%5Cdfrac%7B2%5Csqrt%7Bk%7D%7D%7Bk%2B1%7D)%5En%2BC_2(%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7D-%20i%5Cdfrac%7B2%5Csqrt%7Bk%7D%7D%7Bk%2B1%7D)%5En$