Ep62,63有一部分有錯，剛剛修正了，果然收藏大于點贊的情況就是這么尷尬，你們這些小傻瓜，讓我有點擔(dān)心嗷~

我們在Ep20提到：

“完備性”是“實數(shù)”完全不同于“有理數(shù)”的一個性質(zhì)。

——所以，由此可以導(dǎo)出許多“實數(shù)”獨有的定理。

以及——

“‘實數(shù)完備性/連續(xù)性’也是在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》課程中遇到的第一個重要的概念，以此為起點，導(dǎo)出的“實數(shù)連續(xù)性的六個定理”的相互推導(dǎo)，曾幾何時是“北大數(shù)學(xué)系考研”連續(xù)幾年《數(shù)學(xué)分析》的必出題，……，當(dāng)然這道題往往是其中的送分題，……，簡言之，就是，“實數(shù)的完備性”部分是數(shù)學(xué)系第一個要下功夫的學(xué)習(xí)重點?！?/span>

——實際上，實數(shù)基本原理有七個，但是聚點原理一般教材一元微積分部分不會深聊，所以我們掌握前六個翻來覆去的推導(dǎo)即可。

我們在Ep21聊了“實數(shù)完備性”的第一個定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

我們在Ep49介紹了“實數(shù)完備性”的第二個定理——“單調(diào)有界原理”：單調(diào)有界數(shù)列必收斂。

并且我們在Ep49和Ep50介紹了前兩個定理的互推。

我們在Ep61聊了實數(shù)完備性第三個定理：閉區(qū)間套定理——

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——

則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數(shù)。

同時，我們介紹了如何從“單調(diào)有界原理”推導(dǎo)出“閉區(qū)間套定理”。

Ep62介紹了如何由“閉區(qū)間套定理”反推“單調(diào)有界原理”的證明。

Ep64介紹了實數(shù)完備性第三波定理互推的前半部分，即如何由“確界原理”推出“閉區(qū)間套定理”。

今天介紹后半部分，即如何由“閉區(qū)間套定理”推出“確界原理”——

已知：數(shù)集E有上界（有下界）；

求證：數(shù)集E有上確界x（有下確界x'）。

數(shù)集E上確界x滿足條件——

1. 對于數(shù)集E中任意元素e，e<=x；

2. 對于任意小數(shù)ε>0，E中存在元素e0，使得e0>x-ε。

工具：閉區(qū)間套定理——

已知——

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——

則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數(shù)。

分析：構(gòu)造“閉區(qū)間套無限序列”，得到一個唯一的數(shù)（要點：一個閉區(qū)間套等價于一個數(shù)），再證明這個數(shù)即為該數(shù)集確界即可。

證明（以上確界為例）——

step 1：構(gòu)造“閉區(qū)間套無限序列”——

1. 已知數(shù)集E有上界b，即對于數(shù)集E中任意元素e，e<=b；

2. 取E中元素a，令a1=a，b1=b，得到第一個閉區(qū)間[a1，b1]；

3. 將[a1，b1]等分成兩個閉區(qū)間，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]——

   如果（a1+b1）/2是E的上界，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，

   如果（a1+b1）/2不是E的上界，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，

   得到第二個閉區(qū)間[a2，b2]；

4. 依次重復(fù)上述步驟……

5. 將[ak，bk]等分成兩個閉區(qū)間，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——

   如果（ak+bk）/2是E的上界，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，

   如果（ak+bk）/2不是E的上界，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，

   得到第k+1個閉區(qū)間[ak+1，bk+1]；

6. ……

7. 將上述步驟無限進(jìn)行下去，即得到一個閉區(qū)間套無限序列Im=[am，bm]，他們的擁有唯一公共點x。

Step 2：證明x即為所求上確界，依次驗證滿足上確界的兩個性質(zhì)即可——

1. （反證法）假如存在E中元素e'，滿足e'>x，因為對于任意正整數(shù)j，bj都為E上界，即x<e'<=bj，由x構(gòu)造可知，對于任意正整數(shù)k，有ak<=x<e'，即得，對于任意正整數(shù)n，|bn-an|>=|e'-x|>0，與lim（bn-an）=0（n趨向于無窮大時）矛盾，則x滿足上確界條件一；

2. 對于任意小數(shù)ε>0，我們要找到一個滿足條件的L，使得aL>x-ε，即aL+ε>x即可，對于任意正整數(shù)m，有am<=x<=bm，由閉區(qū)間構(gòu)造可知，bm-am=（b-a）/2^（m-1），即bm=am+（b-a）/2^（m-1）>=x所以，只需要取（b-a）/2^（L-1）<ε，即對于任意小數(shù)ε>0，存在L=log2 [（b-a）/ε]+2可使得，aL+ε>aL+（b-a）/2^（L-1）>x，即aL>x-ε；

3. 綜合1,2，x即為所求數(shù)集E的上確界。

今天就到這里。