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什么是跳躍擴(kuò)散(Jump Diffusion)？

跳躍擴(kuò)散模型是一種用來對期權(quán)合約進(jìn)行估價(jià)或定價(jià)的模型，它混合了兩種定價(jià)技術(shù)：一種是更傳統(tǒng)的擴(kuò)散模型，在這種模型中，因素以平穩(wěn)和相對一致的方式發(fā)揮作用；另一種是跳躍過程模型，在這種模型中，一次性事件會引起重大變化。

理論上，跳躍擴(kuò)散就是這樣產(chǎn)生的跳轉(zhuǎn)擴(kuò)散是一種用來對期權(quán)合約進(jìn)行估價(jià)或定價(jià)的模型期權(quán)定價(jià)是在期權(quán)合約上設(shè)定一個(gè)客觀價(jià)值的技巧，這是一個(gè)交易者在未來某個(gè)日期以固定價(jià)格購買完成資產(chǎn)出售或購買的權(quán)利的一種金融協(xié)議，不同的模型試圖計(jì)算出影響合約對持有人價(jià)值的不同因素。這些因素可能包括標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格、資產(chǎn)價(jià)格的波動性以及期權(quán)到期前的剩余時(shí)間。

許多交易者會使用定價(jià)模型決定他們可以為一個(gè)期權(quán)支付什么價(jià)格，并在他們從期權(quán)中賺的錢和不值得行使期權(quán)從而浪費(fèi)購買價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)之間獲得一個(gè)很好的價(jià)值平衡最常見的期權(quán)定價(jià)形式可以描述為基于擴(kuò)散的定價(jià)，其原理是市場事件對資產(chǎn)價(jià)格的影響相對較小，總體趨勢和模式仍將持續(xù)最著名的基于擴(kuò)散的期權(quán)定價(jià)形式是Black-Scholes模型，它的主要優(yōu)點(diǎn)是這樣一個(gè)模型可以相對簡單和直接地操作，一種對比的模型被稱為跳躍過程基于這樣一個(gè)基礎(chǔ)，即市場不會一直朝著一個(gè)總體平穩(wěn)的方向移動，且偏差較小，而是更容易受到一次性事件中方向和節(jié)奏的巨大變化的影響。

使用跳躍過程的模型，例如二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型，嘗試更多地考慮不可預(yù)測事件的可能性。這使得模型更加復(fù)雜，盡管期權(quán)到期前剩余的時(shí)間越短，布萊克-斯科爾斯（Black-Scholes）估值和二項(xiàng)式期權(quán)估值之間的差距就越小經(jīng)濟(jì)學(xué)家羅伯特C.默頓將這兩種模型結(jié)合起來，具體稱為默頓模型，通常稱為跳躍擴(kuò)散模型。它試圖涵蓋這樣一種觀點(diǎn)，即市場具有總體趨勢、微小的日常變化和重大沖擊的組合關(guān)于跳躍擴(kuò)散的研究后來被納入了一個(gè)改編的布萊克-斯科爾斯模型中，該模型在1997年獲得了新的經(jīng)濟(jì)學(xué)。

跳躍擴(kuò)散過程引入

擴(kuò)散的意思是過程可以包含布朗運(yùn)動的成份，甚至寫成布朗運(yùn)動的積分形式。同時(shí)，這樣的過程可以包含跳躍。

最基礎(chǔ)的跳過程是泊松過程。復(fù)合泊松過程也是一個(gè)泊松過程，但跳躍大小是隨機(jī)的。

引入純跳躍過程的概念。也就是一個(gè)初始為零，并且在時(shí)間區(qū)間上跳躍由有限多次，并且沒有跳躍時(shí)保持常數(shù)的隨機(jī)過程。

二次跳躍擴(kuò)散的矩方程

二次跳躍擴(kuò)散的矩方程是圍繞著一種近似于Kolmogorov正向方程解的算法建立的（Hanson 2007）。

其中?(.)給出了跳躍分布，元素?(Xt+J(Xt,z˙t))和|δ(z˙t)|有特殊含義。這里，?(Xt+J(Xt,z˙t))的作用是對跳躍J(Xt,z˙t)進(jìn)行映射，達(dá)到作為跳躍的結(jié)果狀態(tài)Xt。

例如，如果J(Xt,z˙t)=z˙t，那么?(Xt+J(Xt,z˙t))=Xt-z˙t。

因此，函數(shù)?(.)將過程的狀態(tài)恢復(fù)到跳躍發(fā)生之前的狀態(tài)。另一方面，元素|δ(z˙t)|只是對應(yīng)于函數(shù)?(.)的雅各布系數(shù)。例如，如果J(Xt,z˙t)=z˙t，?(Xt+J(Xt,z˙t))=Xt-z˙t，那么|δ(z˙t)|=1。該近似方法是基于計(jì)算擴(kuò)散過程隨時(shí)間變化的條件矩軌跡，隨后將這些矩帶入一個(gè)合適的密度中。然后，代理密度被用來近似計(jì)算Kolmogorov方程的解。

例如，給定一個(gè)標(biāo)量的廣義二次元擴(kuò)散。

其中

為J(Xt,z˙t)對Xt的多項(xiàng)式，其中計(jì)數(shù)過程N(yùn)t的強(qiáng)度形式為

有可能推導(dǎo)出一個(gè)微分方程組，該方程組控制著該過程的時(shí)刻隨時(shí)間的演變。

讓mi(t)表示Xt的第i個(gè)累積值，考慮到該過程具有初始值Xs。然后，對于J(Xt,z˙t)=z˙t

受制于初始條件mi(s)=Xis for s<t 和 i=1,2,...，其中ui表示隨機(jī)變量z˙t的第i個(gè)非中心時(shí)刻。通過標(biāo)準(zhǔn)Runge-Kutta方案對這些方程進(jìn)行數(shù)值求解，并將得到的數(shù)值插入代用密度，如正態(tài)分布，就有可能精確地近似轉(zhuǎn)移密度。

轉(zhuǎn)移密度的過度因子化

由于跳躍擴(kuò)散過程的二分法性質(zhì)，在試圖通過將其時(shí)刻插入到一個(gè)合適的代理密度中來近似轉(zhuǎn)移密度時(shí)出現(xiàn)了一個(gè)問題。在短的轉(zhuǎn)移期內(nèi)，跳躍動力學(xué)有可能創(chuàng)造出與純粹的擴(kuò)散過程大不相同的密度特征。例如，在一個(gè)足夠短的轉(zhuǎn)移水平線上，一個(gè)純粹的擴(kuò)散過程是近似正常分布的，而跳躍擴(kuò)散（取決于跳躍機(jī)制的性質(zhì)）可能有厚尾，在過程的初始值周圍有一個(gè)非常尖峰的分布。因此，簡單地將跳躍擴(kuò)散的時(shí)刻軌跡插入代用密度以近似轉(zhuǎn)移密度并不總是足夠的。為了這些目的，我們將轉(zhuǎn)移密度計(jì)算為一個(gè)混合密度，將該過程在其純粹的擴(kuò)散動力學(xué)和超額分布方面進(jìn)行因子化，這說明了跳躍機(jī)制的影響。也就是說，我們計(jì)算。

其中fJ(Xt|Xs)表示跳躍擴(kuò)散的轉(zhuǎn)移密度，fD(Xt|Xs)表示跳躍擴(kuò)散的無跳躍對應(yīng)物，fE(Xt|Xs)表示超額分布，P(Nt-Ns=0)被計(jì)算為方程的解。

為了近似轉(zhuǎn)移密度，計(jì)算fJ(Xt|Xs)和fD(Xt|Xs)的矩，然后可以推導(dǎo)出fE(Xt|Xs)的矩。隨后，fD(Xt|Xs)和fE(Xt|Xs)的矩與合適的代理密度一起使用，以近似轉(zhuǎn)移密度。

非線性跳躍擴(kuò)散

基本仿射跳擴(kuò)散過程

金融學(xué)中經(jīng)常使用的非線性跳躍擴(kuò)散模型的一個(gè)例子，被稱為 "基本仿射跳擴(kuò)散過程"（BAJD）（Eckner 2009），它在流行的CIR過程的基礎(chǔ)上進(jìn)行了擴(kuò)展，假設(shè)該過程的路徑經(jīng)歷了指數(shù)分布的跳躍，其強(qiáng)度不變。因此，相應(yīng)的SDE是由系統(tǒng)給出的。

其中Nt有一個(gè)恒定的強(qiáng)度，λ(Xt,t)=λ0，z˙t～Exp(ν)。

按照跳躍擴(kuò)散的GQD框架，我們可以用R代碼在工作空間內(nèi)定義BAJD。

1. 


2. 


3. # 定義模型。

4. 


5. # 擴(kuò)散部分

6. G0 <- function(t){a*b}.

7. G1 <- function(t){-a}。

8. Q1 <- function(t){sigma}.

9. # 跳躍部分

10. Lam0 <- function(t){lam_0}

11. Jlam <- function(t){nu}.

12. 


13. 


隨后，我們可以使用density()函數(shù)對轉(zhuǎn)移密度進(jìn)行近似。

density(Xs,Xt,s,t,dt, 'Exponential')

persp(x=Xt,y=time,z=densit)

有趣的是，BAJD的轉(zhuǎn)移密度在表面上似乎與CIR過程的轉(zhuǎn)移密度非常相似。然而，正如我們在下面的例子中所看到的，跳躍機(jī)制的存在極大地影響了轉(zhuǎn)移密度的性質(zhì)。

具有隨狀態(tài)變化的跳躍強(qiáng)度的時(shí)間不均勻CIR

在用擴(kuò)散過程對現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象進(jìn)行建模時(shí)，一個(gè)常見的陷阱是構(gòu)建模型的假設(shè)與數(shù)據(jù)中觀察到的假設(shè)之間的差異，例如Black-Scholes方法中的恒定波動率假設(shè)。然而，為了使一個(gè)給定的理論在數(shù)學(xué)上具有可操作性，往往需要這樣的假設(shè)。在跳躍擴(kuò)散模型的背景下，更現(xiàn)實(shí)的情況是，數(shù)據(jù)中跳躍的強(qiáng)度與任何時(shí)候的過程水平有關(guān)。例如，考慮一個(gè)由SDE支配的跳躍擴(kuò)散模型。

其中，Nt具有依賴于狀態(tài)的強(qiáng)度λ(Xt,t)=λ0+λ1Xt，z˙t～Nu(μz,σ2z)。這里我們假設(shè)跳躍到達(dá)是線性地依賴于過程的狀態(tài)的。

在GQD框架內(nèi)，我們用其系數(shù)函數(shù)來定義該模型。

1. 


2. # 一些參數(shù)值。

3. kap <- 1; beta_0 <- 5; beta_1 <- 3; sigma <- 0.15;

4. 


5. # 界定模型。

6. remove()

7. 


1. 


2. # 擴(kuò)散部分

3. G0 <- function(t){kap*(beta_0+beta_1*sin(2*pi*t)) }

4. G1 <- function(t){-kap}。

5. # 跳躍部分

6. Lam0 <- function(t){lam_0}

7. Jsig <- function(t) {sigma_z}

8. 


再次注意添加了跳躍分布Jmu(t)和Jsig(t)的系數(shù)函數(shù)，這里反映了正態(tài)跳躍密度的參數(shù)。

隨后，通過向density()函數(shù)提供初始值，我們可以計(jì)算出轉(zhuǎn)移密度近似值。

density(Xs,Xt,s,t,dt, ?'Normal')

persp(Xt,time,density)

請注意，由于轉(zhuǎn)移期的范圍很大，我們沒有指定需要使用因式分解。如果我們希望調(diào)用因式分解，我們可以通過因式分解參數(shù)來指定。

1. # 繪制t =0.2時(shí)的轉(zhuǎn)移密度和零點(diǎn)的演變。

2. # 跳躍概率

3. plot(density~Xt)

4. 


5. # 在概率軌跡上疊加短水平線。

6. abline(v=t,lty='dotted')

注意由于跳躍機(jī)制的存在，轉(zhuǎn)移密度的偏斜形狀。在短的轉(zhuǎn)移期內(nèi)，跳躍機(jī)制對轉(zhuǎn)移密度的性質(zhì)有很大影響。更多的時(shí)候，轉(zhuǎn)移密度將表現(xiàn)出重尾。因此，在使用矩截?cái)喾椒▽Χ剔D(zhuǎn)移期的轉(zhuǎn)移密度進(jìn)行近似時(shí)，必須使用因子化。例如，將跳躍擴(kuò)散的轉(zhuǎn)移密度與它的擴(kuò)散進(jìn)行比較。

1. # 適用于純擴(kuò)散型GQD的軟件包

2. density(Xs,Xt,s,t,dt)

1. plot(density[,20]~Xt)

2. lines(density~Xt)

隨機(jī)的跳躍強(qiáng)度

使用GQD框架，有可能構(gòu)建復(fù)雜的時(shí)間不均勻結(jié)構(gòu)，甚至在跳躍機(jī)制內(nèi)。例如，有可能構(gòu)建一個(gè)跳躍機(jī)制，其強(qiáng)度過程受一些外部隨機(jī)過程的支配。例如，再次考慮一個(gè)具有加性跳躍的CIR過程，但在這種情況下，讓強(qiáng)度參數(shù)成為一個(gè)雙狀態(tài)連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈（CTMC）。就是說。

強(qiáng)度參數(shù)y˙t的動態(tài)變化是由連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈給出的，Z˙～N(θ5,θ26)和Nt～PoiP(y˙t)。

與轉(zhuǎn)移矩陣:

對于這個(gè)例子，我們讓θ={2,5,2,1,1,0.25}，λ={λ1,λ2}={1,3}，β={β1,β2}={0.25,1}，初始值為X0=4，y˙0=λ1。值得注意的是，強(qiáng)度過程的初始狀態(tài)將對轉(zhuǎn)移密度的演變產(chǎn)生影響。例如，如果強(qiáng)度過程的初始值被設(shè)定為λ2，那么在轉(zhuǎn)移期內(nèi)發(fā)生跳躍的概率將大大增加。因此，考慮到我們從高頻跳躍制度開始，轉(zhuǎn)移密度與低頻區(qū)制有明顯的不同。此外，如果強(qiáng)度參數(shù)y˙t的初始狀態(tài)是未知的，我們可以通過考慮轉(zhuǎn)移密度的混合分布來解釋這個(gè)延遲。在這種情況下，我們將通過計(jì)算兩種強(qiáng)度區(qū)制的轉(zhuǎn)移密度來構(gòu)建轉(zhuǎn)移密度，然后根據(jù)CTMC的平穩(wěn)分布（或適當(dāng)?shù)某跏挤植迹γ總€(gè)分布加權(quán)。

由于強(qiáng)度過程現(xiàn)在取決于一個(gè)外部過程，我們需要稍微修改Kolmogorov公式。

由此可以看出，為了評估這個(gè)過程的矩方程，我們需要強(qiáng)度過程的期望值隨時(shí)間的演變。在本例中，強(qiáng)度參數(shù)的期望值的分析表達(dá)式為：。?

因此，在R:

JGQD.remove()

1. 


2. G0=function(t){2*5+2*sin(1*pi*t)}

3. # 強(qiáng)度假設(shè)為強(qiáng)度過程的期望軌跡。

4. plot(Lam0(t)~t,type='l')

5. 


出于比較的目的，我們可以比較過程中各時(shí)刻的模擬軌跡，并將轉(zhuǎn)移密度的模擬軌跡與近似值的模擬軌跡進(jìn)行比較。這可以通過模擬算法來實(shí)現(xiàn)。?

1. #' 現(xiàn)在模擬跳躍擴(kuò)散

2. 


3. mu ? ? <- function(x,t){G0(t)+G1(t)*x} # 漂移

4. sigma ?<- function(x,t){sqrt(Q1(t)*x)} # 擴(kuò)散性

5. j ? ? ?<- function(x,z){z} ? ? ? ? ? ? # 跳躍

6. 


7. res2 <- simulate()

隨后，我們可以看看這樣一個(gè)過程的典型軌跡是什么樣子的，并比較模擬過程的軌跡和矩截?cái)喾ǖ能壽E。

1. par(mfrow=c(3,1))

2. plot(res2$xtrak~res2$tt,type='l',col='blue',main='Trajectory',xlab = 'time',ylab ='X_t')

3. plot(res2$jtrak~res2$tt,type='h',col='black',ylim=c(0,3),lwd=2,main='Jumps',xlab ='time',ylab ='Z_t')

4. plot(res2$etrak~res2$tt,type='s',col='black',ylim=c(0,6),lwd=1,main='Intensities',xlab ='time',ylab ='Z_t')

5. abline(h =c(l1,l2),lty='dotted',col='lightgrey')

1. par(mfrow=c(2,2))

2. for(i in 1:4)

3. {

4. plot(res2$MM[i,]~res2$tt,type='l',main='Moment trajectory',xlab='Time (t)',

5. ylab=paste0('m_',i,'(t)'))

6. lines(res$moments[i,]~res$time,lty='dashed',col='blue',lwd=2)

7. }

最后我們可以將模擬的轉(zhuǎn)移密度與模擬過程的密度進(jìn)行比較。?

persp(x=Xt,y=time,zdensit)

1. par(mfrow=c(2,2))

2. for(i in 1:4)plot(hists[[i]]

現(xiàn)在，我們可以在一個(gè)短的轉(zhuǎn)移期做一個(gè)類似的實(shí)驗(yàn)。為了便于比較，我們將把擴(kuò)散參數(shù)縮小一些，以夸大跳躍機(jī)制的影響。?

1. # 縮減擴(kuò)散系數(shù)。

2. Q1=function(t){0.2}

3. 


4. # 近似，但使用因子化。

5. TT ?<- 0.5

6. density(4,factorize = TRUE)

1. # 重新模擬并記錄新點(diǎn)的直方圖。

2. res2 <- simulate())

3. 


4. persp(xXt,time,zdensity)

1. par(mfrow=c(2,2))

2. for(i in 1:4)

3. {

4. plot(res2$hists[[i]]$density~c(res2$hists[[i]]$mids-diff(res2$hists[[i]]$mids)[1] / 2),

5. type = 's',lty = 'solid', lwd = 1, xlab = 'time',

6. ylab = 'Density', main = paste('Density at time t =',i*0.05))

7. lines(res$density[,i*10]~res$Xt,col='darkblue')

8. }

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