作者：石川，北京某投資管理有限公司創(chuàng)始合伙人，清華大學學士、碩士，麻省理工學院博士。

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風險控制和尾部建模

在金融領域，風險控制的目的是為了計算極端黑天鵝事件對金融資產(chǎn)造成的潛在損失（負收益率）的可能性以及沖擊的大小。

先來看一個分布。下圖為上證指數(shù)在過去15年內(nèi)日收益率的分布。我們計算出日收益率的均值和標準差，便可以得到一個基于該均值和標準差的正態(tài)分布。下圖比較了收益率的直方圖和該正態(tài)分布。

不難看出，上證指數(shù)日收益率的分布表現(xiàn)出明顯的尖峰和肥尾特點，尤其是在負收益率部分。比較日收益率分布和標準正態(tài)分布的分位圖（下圖），也可以清晰地驗證這個結(jié)論。肥尾意味著上證指數(shù)實際發(fā)生極端收益率（從上圖來看，尤其是極端跌幅）的概率要遠遠大于正態(tài)分布對應的概率。換句話說，如果算出收益率的均值和標準差，然后構建一個正態(tài)分布來近似描述日收益率分布，這會造成很大的誤差。

除了尖峰、肥尾的特點之外，另一個困擾“黑天鵝建?！钡膯栴}是，發(fā)生極端虧損（真正的黑天鵝）的歷史樣本太少了。比如說，我們想回答“上證指數(shù)每十年一遇的日收益率最大跌幅是多少”這個問題，回看上證指數(shù)過去20幾年的歷史，我們僅僅有可憐的2個樣本點，根本無法根據(jù)它們構建有效的模型。

那么應該怎么辦呢？在統(tǒng)計學上，廣義極值分布（Generalized Extreme Value Distribution）可以用來對極端虧損建模。

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極值建模

假設隨機變量Xi代表某投資品的負收益率（虧損），它滿足某未知分布F(x) = Pr{Xi≤x}。在下文中，我們用負收益率的絕對值代表虧損的大小（換句話說，Xi的取值為正數(shù)）。在這種描述下，當Xi的取值在其分布的右尾（right tail）時，便意味著該投資品發(fā)生了極端的虧損。

假設不同時間的虧損Xi是獨立同分布的，并令Mn?= max(X1, …, Xn)，即Mn是n個樣本中最壞的情況。廣義極限分布理論解決的問題就是對Mn分布的建模。有了Mn的分布，我們就可以輕松的回答上面諸如“上證指數(shù)每十年一遇的日收益率最大跌幅是多少”的問題。

根據(jù)獨立同分布的假設，我們可以寫出Mn的CDF為：

由于分布F是未知的，F(xiàn)n自然也是未知的，而經(jīng)驗分布函數(shù)對與Fn的估計也是非常差的。但是，我們可以根據(jù)Fisher-Tippet理論（Fisher and Tippett 1928）來漸進逼近Fn，并以此得到Mn的分布。特別的，F(xiàn)isher-Tippet理論證明，將Mn標準化后，即Zn?= (Mn?–?μn) /?σn，Zn的分布收斂于形式如下的廣義極限分布：

因此，只要我們有足夠多的原始負收益率樣本數(shù)據(jù)Xi，我們可以用下式求出極端虧損Mn的分布：

在實際使用中，廣義極限分布H的參數(shù)（ξ, μ,?σ）可以通過極大似然估計（maximum likelihood estimation）得到。為了估計這些參數(shù)，我們必須有足夠多個Mn的樣本。為此，我們可以將總長為T期的歷史數(shù)據(jù)等分成單位長度為n的m個區(qū)間。每個區(qū)間中的最大虧損便是Mn的一個樣本。這樣我們就可以得到m個樣本。這樣，便可以根據(jù)這些樣本得到廣義極限分布H的參數(shù)的估計。Embrechts?et. al. (1997)給出了詳細的數(shù)學推導。

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閾值外數(shù)據(jù)建模

在風險管理中，在險價值（Value at Risk）是人們常說的一個概念。比如，當我們說1%的日收益率的VaR = 6.8%，它的意思是，我們的目標投資品（或者投資組合）在當天有1%的概率可能產(chǎn)生超過6.8%的虧損。在給定的概率下，VaR越大，投資品的風險越大。

然而，如果想計算VaR的大小，上一節(jié)中對極值分布的模型并無法發(fā)揮作用。這是因為在計算VaR時，我們必須對虧損分布的右尾進行建模、而不單單是關注某一個極值（注意，在本文中我們用虧損的絕對值來描述虧損的大小，因此虧損都是正數(shù)，所以這里我們是對分布的右尾建模）。為此，我們可以采用廣義帕累托分布（Generalized Pareto Distribution）。

和上節(jié)一樣，我們用Xi來表示某投資品的一系列虧損，并假設它們獨立且滿足某未知分布F。同樣的，定義Mn?= max(X1, …, Xn)。假設u為某一個給定的虧損閾值。在所有這些Xi中，我們感興趣的是那些大于u的樣本，即那些虧損超過閾值的樣本點，我們希望用它們來對Xi分布的右尾進行建模。超過給定閾值的虧損部分，即Xi?– u＞0的部分，可以由如下條件概率表示：

Embrechts et. al. (1997)證明，如果虧損Xi的極值Mn收斂于上節(jié)介紹的廣義極限分布H，那么存在一個u的函數(shù)β(u)，使得Xi-u滿足如下形式的廣義帕累托分布G：

在實際應用中，如果我們想對Xi的右尾建模，只需確定閾值u。然后在Xi的所有樣本中找出所有大于u的樣本（注：我們用Xi的絕對值表示虧損的大小，所以虧損在上述數(shù)學表達式中是正數(shù)），將這些滿足的樣本各自減去u后得到超過u的部分，然后用這些數(shù)據(jù)擬合廣義帕累托分布G，G的參數(shù)由極大似然估計得到。

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廣義帕累托分布G的形狀隨著形狀參數(shù)ξ的不同而不同。特別的，當ξ = 0時，G就化簡為指數(shù)分布。我們以過去15年上證指數(shù)日頻的負收益率樣本為例，取閾值u=2.65%（即考察日收益率虧損超過2.65%的尾部分布），得到了G的參數(shù)。其中形狀參數(shù)的取值非常接近0。下圖為擬合得到帕累托分布和同比例的指數(shù)分布對比超額虧損的直方圖的結(jié)果。可以看到紅色的帕累托分布和綠色的指數(shù)分布非常接近。

此外，我們也可以用超額虧損和標準的指數(shù)分布放在一起做分位圖，得到的結(jié)果如下。結(jié)果顯示分位圖近似的滿足線性，說明超額虧損的分布和指數(shù)分布十分接近。

利用超額虧損對尾部分布建模后，我們便可以方便的求解在險價值。

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在險價值

上一節(jié)曾經(jīng)說過，在險價值描繪的是投資品在某一個指定的概率下虧損程度的閾值。在我們的定義下（即我們用正數(shù)來代表虧損的大小），在險價值就是某一給定概率下虧損Xi分布中右尾的某一個分位數(shù)。換句話說，只要根據(jù)給定的概率求出分位數(shù)，它的值就是這個概率對應的在險價值。

因此，通過廣義帕累托分布G，我們便可以簡單的推導出在險價值的公式。假設1 – q代表我們考慮的概率（比如我們想知道5%的概率對應的虧損，那么1 - q = 0.05），則其對應的在險價值為：

其中，n是虧損樣本的總個數(shù)，k是超過u的虧損樣本的個數(shù)。u是對應的閾值，它可以由q = F(u)求出。在應用中，(n-k)/n可以作為對F(u)的估計。因此，對于給定的概率1 – q，計算在險價值的步驟為：

1?根據(jù)q和q = (n-k)/n求出k；

2?根據(jù)k求出u，即在所有虧損的樣本中，找到對應的閾值u，使得滿足Xi大于u的個數(shù)為k；

3?用上一步找到的Xi?– u建模，得到廣義帕累托分布；

4?將參數(shù)帶入在險價值的公式中，求出在險價值。

由于在險價值關注的往往是5%甚至1%的虧損閾值，它們對應的是虧損分布中非?？课膊康哪切颖?，因此只有當n足夠大時，我們才可能得到足夠多的超額虧損來建模。可惜的是，在這方面中國A股的年份太短了。

即便如此，我們?nèi)匀煌ㄟ^下面簡單的實驗來說明如何計算在險價值。這里我們考慮標普500指數(shù)（從1930年至今）和上證指數(shù)（從2000年至今）。此外，為了增加樣本個數(shù)，我們考慮的在險價值對應的概率為10%，而非極端的5%或者1%。

對于標普500，我們用每15年的數(shù)據(jù)來滾動建模，得到日收益率在10%概率下的在險價值。作為比較，我們用日收益率均值和標準差對應的正態(tài)分布同樣求出10%概率下的在險價值。結(jié)果如下圖所示。

上圖說明以下幾點：

1?由于收益率存在明顯的肥尾效應，正態(tài)分布嚴重低估了在險價值（綠線持續(xù)的在紅線之下）；

2?在1929年股災之后的有一段時間，在險價值都在高位，這是因為計算的樣本中有大量的高虧損樣本；

3?進入21世紀以來，在險價值有兩次明顯的躍升，分別對應著2000年的.com泡沫和2008年的次貸危機。

同樣的，我們對上證指數(shù)建模。由于數(shù)據(jù)年份太短，我們用每10年的數(shù)據(jù)來滾動建模。結(jié)果如下所示。同樣的，正態(tài)分布建模嚴重低估了在險價值。此外，由于上證指數(shù)比標普500有更加明顯的肥尾，因此正態(tài)分布對潛在虧損的低估更加顯著。此外，2010年到2015年股災之前，10%概率對應的日收益率在險價值并無太大波動；股災之后，在險價值明顯上升。

我們可以用更短的時間（即更少的樣本）對上證指數(shù)進行滾動建模。但是樣本少一定會帶來建模的誤差。下圖為我們使用5年窗口進行滾動建模的結(jié)果。結(jié)果表明從08年股災開始后一直到14年，上證指數(shù)的風險都非常大（注意，正態(tài)分布建模無法很好的描述在險價值的變化，且存在嚴重的低估）。在最近兩年，隨著15年股災和今年1月份熔斷引發(fā)的二次災害，在險價值出現(xiàn)了兩次迅速的躥升。

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結(jié)語

做投資時，如何強調(diào)風險控制都不過分。然而，做好風控的前提就是能用正確的數(shù)學手段對其量化。為了控制風險，有人刻意限制倉位，有人“把雞蛋放在不同的籃子里”。然而分散投資不完全等價于分散風險。“把雞蛋放在不同的籃子里”不如“把雞蛋放在一個籃子里，然后看好這個籃子”。從這個意義上說，對虧損的正確建模格外重要。

參考文獻

Embrechts, P. C. Kloppelberg, and T. Mikosch (1997). Modelling Extremal Events. Springer-Verlag, Berlin.

Fisher, R. and L. Tippett (1928). Limiting Forms of the Frequency Distribution of the Largest or Smallest Member of a Sample, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 24, 180-190.

來源：川總寫量化（已授權）?

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