表述Uryshon引理的應用以及證明Uryshon引理與Tieze擴張定理的等價性
本文是選修我校數(shù)學類專業(yè)課《拓撲學》上時的期中作業(yè)，因為b站專欄無法導入公式的原因，其中很多的證明方法我就直接選擇用原文的截圖來代替。
我們首先給出Uryshon引理的表述和書本上的初步證明
Urysohn引理表述為：拓撲空間X是正規(guī)空間的充要條件為對X的任意兩個不相交的閉子集A和B，存在連續(xù)映射f：X→[a,b]，使得f（A）={a}，f（B）=.
用更為通俗的話來解釋就是：正規(guī)空間中不相交的閉集被函數(shù)隔離。
該表述的來源是來自于李元熹和張國梁編著的《拓撲學》，上?？萍汲霭嫔?，1986年。
同樣在James R.Munkres 編著的拓撲學第二版中，也給出了相應的表述和證明。
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Uryshon引理的證明過程如下：（來源于James R.Munkres 編著的《拓撲學》第二版）
相對于李和張的證明，James的證明更為詳細具體，可做參考。
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Uryshon引理表明：如果X中每一對無交的閉集能用無交的開集分離，那么它們也能用一個連續(xù)函數(shù)分離，其逆是顯然的。
Uryshon引理的應用主要表現(xiàn)在對點擊拓撲中空間的分離性提供了更多可以探究的性質(zhì)，接下來我們主要介紹其個應用方面
1、對于完全正則空間的定義
2、構(gòu)造簡單的正則卻非完全正則空間
3、對于Tietze擴張定理的證明
4、證明Tietze擴張定理和Uryshon引理的等價性（Tietze擴張定理蘊含著Uryshon引理）
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1、對于完全正則空間的定義
引入：Uryshon引理說明了X中每一對無交的閉集能用無交的開集分離，那么它們也能用一個連續(xù)函數(shù)分離，其逆是顯然的。那么就會提出這樣的問題：Uryshon引理的證明能否推廣到正則空間上。既然在正則空間上能通無交的開集來分離點和閉集，那么是否也能用連續(xù)函數(shù)來分離點和閉集呢？
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2、構(gòu)造簡單的正則卻非完全正則空間
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3、Tietze擴張定理的表述和證明
Tietze擴張定理的表述為：社X是一個正規(guī)空間，A是X的一個閉子集，則
a)?任何一個從A到R的閉區(qū)間中的連續(xù)映射都可以擴張為從整個空間X到中的一個連續(xù)映射
b)?任何一個從A到R中的連續(xù)映射都可以擴張為從整個空間X到R中的一個連續(xù)映射
證明的過程仍然采用James R.Munkres更為詳細具體的證明方法：
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4、證明Tietze擴張定理和Uryshon引理的等價性（Tietze擴張定理蘊含著Uryshon引理）
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李和張的《拓撲學》中一筆帶過了這部分的證明，稱“事實上不難證明他們是等價的”。
事實上，Tietze擴張定理說明了：閉集上的連續(xù)函數(shù)有給定值域的擴張
而Uryshon引理則說明了：不相交的閉集可用連續(xù)函數(shù)分離
利用Uryshon引理證明Tietze擴張定理的表述已在上面有所證明，而反過來的證明通過該表述也變得顯然了。
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