大家好，最近很多小伙伴都看了電影流浪地球，里面涉及到了叫作洛希極限的概念。本專欄會對洛希極限進行完整推導，需要一定量的物理知識基礎。另外，我在觀看時發(fā)現(xiàn)流浪地球里的洛希極限數(shù)據(jù)好像有點問題。

洛希極限粗略計算的數(shù)據(jù)如下：

木星對地球的剛體洛希極限是在實際上是在木星內(nèi)部的，剛體洛希極限大概是0.8倍木星半徑(約5.6萬公里)，流體洛希極限約為1.5倍木星半徑(約10.5萬公里)

但這和電影里的數(shù)據(jù)相差很多。電影里剛體洛希極限是890745427米，流體是1713024931米。

后來我發(fā)現(xiàn)原來制作組用錯數(shù)據(jù)了，把太陽相對木星的洛希極限當成了木星相對地球的洛希極限弄上去了。制作組審核時應該更認真一下。不過，這也可能是為了有這樣的劇情而妥協(xié)的。

洛希極限推導：

接下來我們來了解洛希極限推導，之前我在評論區(qū)簡易推導了剛體的洛希極限。不過那個其實并不完整，沒有考慮地球加速度導致的自轉(zhuǎn)慣性離心力。在這個專欄會進行相對完整的推導，并且還將加上流體洛希極限的推導，希望大家喜歡。

衛(wèi)星在不分解的情況下接近主星的極限距離取決于衛(wèi)星的剛性。最極端的情況下，一個完全剛性的衛(wèi)星將一直保持其形狀，直到潮汐力將其分開。而相反，流動性高的衛(wèi)星由于潮汐力的增加會使其變形，導致衛(wèi)星被拉伸長，使得其更容易分裂。

大多數(shù)真實的衛(wèi)星的洛希極限都位于這兩個極端之間，一般的衛(wèi)星既不是完美的剛體也不是完美的流體。

剛體洛希極限：

剛體不會考慮在到達洛希極限前潮汐力導致的變形。因此，剛體洛希極限的假設雖然不太切實際，但卻可大大簡化了計算。下面是不考慮衛(wèi)星加速度導致的自轉(zhuǎn)離心作用的。

為了確定洛希極限，需要引入一個小質(zhì)量u，它位于衛(wèi)星距離主星較近的一側(cè)。

u這部分會受到兩種力：衛(wèi)星對u的引力和主星對u的潮汐力。衛(wèi)星對u的引力可通過萬有引力定律表示。

潮汐力是靠近主要衛(wèi)星邊緣的引力的差異導致的：

由于一般情況下：r<<R，R<d，分母可以近似調(diào)整一下，得到下面的式子。

當引力和潮汐力相互平衡時，達到了洛希極限。

因此：

由于質(zhì)量可以改成密度與體積的乘積。上面的式子還可以進行調(diào)整。

消去共同因數(shù)后可以得到簡易的剛體洛希極限表達式。

更精確的公式：

由于近距離衛(wèi)星很可能在同步自轉(zhuǎn)的近圓軌道上軌道運行，因此還需考慮旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力對其的影響。其表達方式如下：

將離心力加入上面潮汐力的等式中：

但由于主星的密度可能未知，我們也可以換一種表達方式。

因此，得到主星的質(zhì)量并估計衛(wèi)星的密度就足以計算主星相對衛(wèi)星的洛希極限。

那么如果更嚴謹一些，考慮自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的動態(tài)坐標影響呢？

先大致模擬出其狀態(tài)和參數(shù)。

然后表達出中心徑向力的平衡。

由于剛體會維持穩(wěn)定，因此得到下面的平衡等式。

將應力分量進行二階線性展開：

將上述式表達成克羅內(nèi)克函數(shù)的形式，并帶入剛體的平衡等式。

作為剛體，將變形系數(shù)α=1，帶入，得到：

解出幾種可解坐標情況：

將y軸和z軸作為解析平面解析：

根據(jù)不同的剛體裂解程度可以分析出以下一種不同的洛希極限表達式：

將這些結(jié)果與最上面的基本結(jié)果作比較：

下圖是上述幾種不同結(jié)果的分裂曲線：

換個角度，我們來分析以下被環(huán)繞的天體，同樣列出坐標等式：

下面是分別處于剛體和流體下兩種不同環(huán)繞天體的解離程度變化：

由于β<1，我們可以將上式做近似的變換。

同樣地，解析球平面坐標：

得到幾種結(jié)果表達式：

消去相應系數(shù)，得到最簡結(jié)果：

這樣的環(huán)繞天體又產(chǎn)生了新的分裂曲線：

至此，剛體洛希極限基本推導完畢，已經(jīng)盡量考慮到了所有能考慮的情況。計算是可以根據(jù)不同情況選用不同的公式。

流體洛希極限：

流體洛希極限考慮了衛(wèi)星的變形。一個極端的情況是一顆被潮汐鎖定的流體衛(wèi)星繞著主星運行，任何作用在衛(wèi)星上的力都會使它變形成為長橢球體。

其計算十分復雜，洛希本人提供了以下的結(jié)果：

本專欄提供的推導方法與洛希本人的不同，up主查詢了洛希本人的文獻，結(jié)果都是法語看不懂.....，且洛希本人使用的方法是洛希坐標法，相對比較復雜，我這里提供的辦法是振動穩(wěn)定性法和最小勢能原理法，相對更簡潔一點，但仍需要一定物理知識。

設有一質(zhì)量為m，密度均勻分布為ρ，半徑為a1的球體，此物體以角速度ω自轉(zhuǎn)。另有一引起潮汐力的質(zhì)量為M的球體，它們間的距離為R。

在自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)同步性假設下，有：

假設其為均勻或不均勻的不可壓流體，在自轉(zhuǎn)與潮汐力的作用下，它的變形后的平衡形狀可表達為：

其中：

在均勻不可壓情況下，可得到：

對均勻不可壓介質(zhì)，以其變形形態(tài)為基本態(tài)，考慮附加擾動。則線性化擾動方程為：

其中ρ0為常數(shù)，代表均勻介質(zhì)密度

P為擾動壓力

U、V、W分別為α、θ、φ向的擾動速度

Ψ為自引力擾動勢

因為是不可壓縮介質(zhì)，故附有不可壓縮條件：

擾動引力勢滿足以下方程：

對所有擾動量作展開：

精確到一階小量，用式(4)把式(5)和(6)簡化成：

把式(4)乘以sin2θ，式(10)乘以sinθ，然后把式(9)代入式(4)，(10)和(11)，即得：

對不可壓縮條件(7)，在把式(9)代入后可得：

其中：

擾動引力勢方程(8)在用了式(9)后為：

其中：

方程(12)，(13)，(14)，(15)和(17)是我們要解的基本方程。變量為Unm，Vnm，Wnm，Pnm，Ψnm，它們都僅為α的函數(shù)。

在這些方程中，帶不同上標與下標的E，A，C，K，L和N都是常系數(shù)。

方程(12)，(13)，(14)，(15)和(17)成立的條件即要求在這些方程中帶有同樣項：

并且它們的系數(shù)和為0。由此可以導出Unm，Vnm，Wnm，Pnm，Ψnm，所滿足的方程。顯然這是一個具有無窮個未知量的無窮維線性微分方程。

首先來考察其某些性質(zhì)：

1，在這一微分方程組中，有不同n和m的未知函數(shù)Unm，Vnm，Wnm，Pnm和Ψnm是互相耦合的。且容易看出，具有m為偶數(shù)的未知量相互耦合，具有m為奇數(shù)的未知量也相互耦合。但具有m為奇數(shù)的未知量是獨立于m為偶數(shù)的未知量的。以后僅討論m為偶數(shù)的情形，對m為奇數(shù)情形是不難同樣討論的。

2．科里奧利力的出現(xiàn)使方程(5)和(6)不再恒等。Wnm≠0的引入解決了這一問題。并且，如果變形的平衡狀態(tài)（即基本態(tài)）是不對稱的話，容易看出，在周向兩方向傳播的波也是耦合的。

特別在m=0情形，擾動量必須取如下形式：

這樣在方程(12)-(18)中，當n=0時，為應用表達式(19)，應該把m和mwπ0分別用0和wπ0來替代。

這是不同于旋轉(zhuǎn)星的振動穩(wěn)定性情形。但相似于既考慮自轉(zhuǎn)又考慮潮汐的振動穩(wěn)定性情形。

3．因為f02和f2在均勻不可壓情形為常數(shù)，所以整個微分方程是歐拉型的，這些微分方程的解可表為α^α，其中α為特征值。

邊界條件：

由上面可以知道，應有的邊界條件為：

在中心處，a=0

1.壓力P約有限，

2.擾動引力勢的梯度有限；

在表面處a=a1，壓力為0，即Pnm=0

由于附加擾動，原來變形后的平衡態(tài)的表面產(chǎn)生了附加變形。因此必須考慮表面物質(zhì)的位移。這一受擾動的物質(zhì)遷移可以作為面質(zhì)量看待．而面質(zhì)量產(chǎn)生的擾動引力勢梯度應有關(guān)系：

其中n為平衡態(tài)表面的單位外法線值，v為徑向位移。從徑向速度表達式，有：

從方程(23)可知，我們既應求得結(jié)構(gòu)內(nèi)部的擾動引力勢，也應求得結(jié)構(gòu)外部的擾動引力勢。顯然外部擾動引力勢與內(nèi)部擾動引力勢在表面處要相等，即：

方程(23)可表達為：

結(jié)果：

從上面的討論可知，最后歸結(jié)為解在一定邊界條件下的無窮個未知函數(shù)的相互耦合的無窮個微分方程。為實際計算，可以限于討論到n=2的情形，這時共有十九個未知量：

1．從四個方程(12)-(15)可得以u，v，w和p為未知函數(shù)的常微分方程組。其非線性項系以毋來表示的。

2．分別利用球心處有限與無窮遠處趨于零的條件，由方程(17)求得內(nèi)、外擾動引力勢的表達式。并利用條件(25)，把內(nèi)、外擾動引力勢的某些待定常數(shù)先確定

3．把解得的內(nèi)部擾動引力勢的表達式代入由步驟1所得的微分方程的右邊。這樣可以利用邊界條件(20)和(22)求得u，v，w和p的表達式

4．把所求得的u，Ψ+和Ψ-代入邊界條件(23)，就可得到?jīng)Q定四個待定常數(shù)的齊次線性方程組。為了得到不全為0的解，其充要條件是其系數(shù)行列式為0，這樣就得到?jīng)Q定特征頻率σ的方程，這一特征頻率可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)，主要決定于g02和g2的取值。當頻率為實數(shù)時，這一原先的平衡狀態(tài)為穩(wěn)定的；而當頻率為復數(shù)時，主要決定于其虛部。當虛部由正變負時，原先的平衡狀態(tài)也就變成不穩(wěn)定的了。所以頻率的虛部為0的狀態(tài)為臨界狀態(tài)。洛希極限就由這臨界狀態(tài)求得。

像已經(jīng)知道的那樣，在上面求解常微分方程時都需先解特征方程。而恰恰這些特征方程的系數(shù)包含有洛希極限項（即g02和g2）。因此要用直接方法來解這特征方程是非常困難的。

我們提出一間接方法：首先，任選M/(πR3ρ)的值。這樣就可向上面所描述的過程進行求解，因為M/(πR3ρ)的任意性，一般來說特征頻率σ為復數(shù)。從而改變M/(πR3ρ)的值，就可以得到不同的特征頻率。這樣的過程一直持續(xù)到特征頻率的虛部接近于0。在這一間接方法中，重要的是初值的選取。整個過程可由計算機來實現(xiàn)。

最終，我們在m<<M的情形下，用本文方法得到的洛希極限為M/(πR3ρ)=0.0875，偏心率e=0.875。雖然不同的計算方法存在著一定差異，但我們可以在方程(12)-(17)中取更多的項來改進其精度。更重要的是，這一方法可以推廣到非均勻介質(zhì)的情形。將此數(shù)據(jù)推算便可得到洛希的結(jié)果。

那么如果考慮物體成為洛希橢球體，并進行不均勻的變換結(jié)果又會如何呢？

流體更復雜的情況：

主星的引潮力關(guān)于二星連線具有旋轉(zhuǎn)對稱性，故它被拉伸為長旋轉(zhuǎn)橢球。這種一般發(fā)生在小天體上，如墜入木星的蘇梅克-列維9號彗星。接下來，我會使用最小勢能原理法，利用橢球模型來分析這種相對理想的情況。

這里先通過引力場與靜電場的類比來引入一個概念: 一個質(zhì)量為 m 的物體的引力自能。靜電場的基本規(guī)律是庫侖定律:所帶電荷量分別為 q1、q2的二個點電荷之間的作用力。引力場的基本規(guī)律是牛頓 引力定律: 質(zhì)量分別為 m1、m2的二個質(zhì)點之間的作用力。由于二者遵守的基本規(guī)律相似，故有很多相同概念，如勢能、勢、場強等。對比表達式可知，若采用字符替換規(guī)則:，則可以得到引力場情況下的對應的公式而不必重新推導。一個帶電體的靜電自能定義為把它的各部分電荷從無限遠分散的狀態(tài)聚集成該帶電體時外界抵抗電荷之間靜電力所做的功，用 We 表示。

其中 ρe(r)是電荷密度。由于同性電荷之間總是斥力作用，故 We＞0。同理，一個物體的引力自能定義為把它的各部分質(zhì)元從無限遠分散的狀態(tài)聚集成該物體時外界抵抗質(zhì)元之間引力所做的功，用Wg表示。采用上段符號替換規(guī)則，則有：

其中ρ(r)是密度。由于質(zhì)元之間總是引力作用，故Wg＜0。根據(jù)均勻帶電的長旋轉(zhuǎn)橢球的靜電自能表達式按上邊符號替換規(guī)則，可得密度均勻的長旋轉(zhuǎn)橢球狀物體的引力自能:

設伴星原來半徑為R，質(zhì)量為m，密度為ρ'且不可壓縮，它經(jīng)過主星附近時變成一個半長軸為a、半短軸為b的長旋轉(zhuǎn)橢球。由于體積保持不變，根據(jù)式(30)，可得伴星的引力自能為：

以Gm2/R為能量單位，做Wg隨e變化的曲線。結(jié)果表明，e越大，自能越大，當e=0即球形時自能最低。故由最小勢能原理可知，當伴星是孤立物體時，它應該呈現(xiàn)球形。

密度均勻的長旋轉(zhuǎn)橢球在引潮力場中的勢能如下圖，設主星質(zhì)量為m1，密度為ρ，伴星質(zhì)心O與主星質(zhì)心O1距離為r。以O為原點建立坐標系，其中z軸沿O1O的方向。在此坐標系中，伴星橢球所占的空間區(qū)域V表示為：

在V內(nèi)點(x，y，z)處取體元dv，由式(28)可知，質(zhì)元dm=ρ'dv在主星引潮力場中的勢能:

對上式積分，可得伴星在引潮力場中的勢能:

做坐標變換:x=γbsinθcosφ，y=γbsinθsinφ，z=γacosθ，體積元變換dv=ab2γ2sinθdγdθdφ，則式(32)表示的區(qū)域V變換為:0≤γ≤1，0≤θ≤π，0≤φ≤2π。考慮到質(zhì)量與體積密度的關(guān)系m=Vρ'，則式(34)中關(guān)于x2的積分等于:

同理：

將上3式代入式(34)得：

從上式容易看出，e越大，Wt越低，這與Wg的變化趨勢相反，說明引潮力有把球形天體拉長的趨勢。

平衡條件根據(jù)式(31)和式(35)，伴星系統(tǒng)總能量:

由上式可知，當m1、m、R、r確定后，系統(tǒng)總能量是e的函數(shù):W=W(e)。根據(jù)最小勢能原理，系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡條件是:系統(tǒng)在某偏心率e0處能量有極小值。只有這樣，系統(tǒng)在受到微擾偏離平衡時，微擾消失后才會自動恢復到平衡狀態(tài)。例如，以Gm2/R為能量單位，分別取λ=0.06、0.07、0.08，做W隨e變化的曲線，三條曲線自上而下對應的λ是遞增的。顯然點A是極小值點，該點對應的e值為平衡態(tài)偏心率e0。而點B是極大值點，系統(tǒng)在此點很不穩(wěn)定。根據(jù)數(shù)學分析知識，系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡，即能量取極小值的條件為：

以Gm2/R為能量單位，對式(36)進行無量綱化，這時能量用小寫w表示:

其中，λ=(m1/m)(R/r)3。利用計算機作求導運算:

我們先通過上邊二式，研究當主星質(zhì)量m1、伴星質(zhì)量m、伴星半徑R確定后，伴星從遠處逐漸靠近主星，即r逐漸減小的過程中，它的平衡形狀偏心率的變化問題。不妨設m1等于地球質(zhì)量，m等于月球質(zhì)量，R等于月球半徑，則λ=81.3(R/r)3。計算結(jié)果見下表。表中第1欄列出不同的r/R值，第2欄為對應的λ值的100倍，第3欄是與上邊r和λ對應的、通過式(39)和方程W'(e)=0求出的數(shù)值解e0，第4欄是與上述r和λ、e0對應的、通過式(40)確定的、關(guān)于W″(e0)是否大于0的判斷。數(shù)據(jù)表明，對于給定的所有距離比r/R或λ，W″(e0)均大于0，均存在平衡形狀。下圖繪制了表中給出的其中4個不同的平衡形狀，曲線旁邊的數(shù)字0.8、0.6、0.4、0.2表示對應的橢球偏心率e0。由圖表可以看出，隨著伴星與主星距離r的減小，即λ的增大，伴星的形狀偏心率越來越大，它被拉得越來越長。不難想象，當r減小到某臨界值rc時，λ增大到某臨界值λc，平衡條件剛好不滿足，系統(tǒng)即將失去平衡發(fā)生破裂。rc就是過客天體的洛希極限。設此時的形狀偏心率為ec，則令式(37)第二式右邊由“＞0”變?yōu)椤?0”，可得臨界條件：

將式(39)、式(40)代入方程組(41)，用計算機對未知量λc、ec進行數(shù)值求解，得：

根據(jù)上邊的初步分析知，λ＜λc時存在平衡狀態(tài)。

下面通過一階導數(shù)W'(e)隨e變化的曲線，分析系統(tǒng)在λ=λc附近的平衡問題。分別取λ＜λc、λ=λc、λ＞λc時，在同一圖中作3條W'(e)－e曲線，重點考察每條曲線與橫軸的交點，也就是考察函數(shù)W(e)取極值必要條件W'(e)=0對應的點是不是對應平衡狀態(tài)。

首先可以看到，3條曲線都在原點與橫軸相交，在此點對應的e=0，即對應球形。顯然，從物理上判斷，系統(tǒng)穩(wěn)定在球形是不可能的，因為引潮力會把流體天體拉長;從數(shù)學上講，圖上表明3條曲線在該點的斜率皆小于0，即W″(e0)＜0，函數(shù)W(e)在此點有極大值，故無論λ取何值，原點都不是平衡狀態(tài)點。

除原點之外，λ＜λc對應曲線與橫軸有二個交點A、B，由圖可見，曲線在點A的斜率大于0，即W″(e0)＞0，函數(shù)W(e)在此點有極小值，故點A是平衡狀態(tài)。在點B的斜率小于0，即W″(e0)＜0，函數(shù)W(e)在此點有極大值，故點B不是平衡狀態(tài)。所以有結(jié)論:λ＜λc時存在平衡狀態(tài);除原點之外，λ=λc對應曲線與橫軸僅有一個交點———切點C;除原點之外，λ＞λc對應曲線與橫軸無交點，故此時不滿足平衡條件。所以λ=λc確實是系統(tǒng)有無平衡狀態(tài)的分界點。

至于λ=λc時是否有平衡狀態(tài)，由于對應曲線在點C與橫軸相切，即W'(ec)=0，W″(ec)=0，需要看W(e)在點C的三階導數(shù)是否等于0和四階導數(shù)是否大于0。經(jīng)數(shù)值計算，發(fā)現(xiàn)三階導數(shù)不等于0，故此點不存在極值，更談不上有極小值，所以此時不存在平衡狀態(tài)。綜上所述，λ≥λc時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由此不等式和如下關(guān)系:λ=(m1/m)(R/r)3、m1=ρ4πR3/3、m=ρ'4πR3/3、式(42)，可得洛希極限：

如果引入扁率的變量c/R，重新解方程(41)，那么ec會稍微變小一點，并得到下面的相對更加精確的結(jié)果：

至此，流體洛希極限推導完畢，計算時公式(27)、(43)、(44)都可以近似使用。