我們之前已經(jīng)復(fù)習(xí)了負數(shù)的概念, 也學(xué)習(xí)了簡單的集合論基礎(chǔ)知識。接下來我們就在這兩個知識點的基礎(chǔ)上，重新梳理認識一下我們所學(xué)習(xí)過的數(shù)。

各種類型的數(shù), 認識有理數(shù)

回想一下，從小學(xué)到初中，我們都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)呢?

• 從小學(xué),我們就學(xué)習(xí)了1,2,3,… 類似這樣的數(shù)，我們稱作正整數(shù).

• 類似 -1, -2, -3 這樣的數(shù),我們稱作負整數(shù).

• ?我們還有一個特殊的數(shù)零: 0。 0 是整數(shù)，但不是正數(shù)也不是負數(shù)。

• 我們還學(xué)習(xí)過分數(shù)：比如1/2，2/3等。仿照正整數(shù)和負整數(shù)的分類分數(shù)也可以分為正分數(shù)和負分數(shù)。

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)(rational number)。按照上邊的定義，我們就有了下邊的兩個關(guān)系圖：

第一個先分正負，再分是不是整數(shù)

第二個先分整數(shù)和分數(shù)，然后再分正負。

從集合的角度認識有理數(shù)

以上的分類看起來非常清晰，我們可以將上述的分類，用集合論的語言來描述一下，然后看一下他們有哪些關(guān)系。之所以用集合論的語言來描述，是為了讓大家更加熟悉數(shù)學(xué)語言，養(yǎng)成良好的嚴謹?shù)牧?xí)慣。

基于上述的關(guān)系圖，我們可以得到一些結(jié)論。 比如：

• 正整數(shù)集是有理數(shù)集的一個子集

• 負整數(shù)集也是有理數(shù)集的一個子集

• 正整數(shù)集和負整數(shù)集的交集是空集

• 0是有理數(shù)集的一個元素， 也是整數(shù)集的元素

有理數(shù)為什么叫有‘理’數(shù)?

有理數(shù)為什么叫有‘理’數(shù)? 難道它比其他的數(shù)有道理嗎?大家了解了它的歷史和名稱以后，可以更加準確的了解有理數(shù)的概念。

有理數(shù)這一概念最早源自西方《幾何原本》，這本書是拉丁語寫成。拉丁語意為理性、計算。重點注意一下”計算”這個概念, 說明這些說是可以計算出來的。這個其實就是指分數(shù)。

分數(shù), 就是兩個整數(shù)的比值, 比如: 5/6, 3/7等。早先人們就認為分數(shù)是通過整數(shù)計算得到的。

甚至整數(shù), 其實也可以認為是一個整數(shù)除以1計算得到的。

所以,有理數(shù)除了上述的描述性定義,還可以用另外一個定義：能夠表示成兩個整數(shù)的比值的數(shù)。

明末數(shù)學(xué)家徐光啟和學(xué)者利瑪竇翻譯《幾何原本》，前6卷時的底本是拉丁文，他們將這個詞的拉丁文譯為“理”，這個“理”在文言文中的意思是“比值”。

比如: 比例者, 兩幾何以幾何相比之理

翻譯: 比例是兩個幾何物相比的“理”，兩個幾何物，比如兩個數(shù)，兩條線，兩個面，兩個體，兩兩同類大小的比稱為比例。譯文中的“理”是指“比值”

明末時期日本落后于我們，常常派使者來我國，這個有理數(shù)的概念也被他們拿走了，但是當時的日本學(xué)者對我國的文言文理解不夠，直接將在文言文中表示“比值”的“理”直譯成了“道理”的“理”。

直到清朝中期我國對有理數(shù)的翻譯并沒有錯，都是“比值”?？墒堑搅饲迥?，那時候中國落后于日本，于是清朝派留學(xué)生去日本，居然又將此名詞重新傳回中國，并且一直沿用至今。以至于現(xiàn)在中日兩國都用“有理數(shù)”和“無理數(shù)”這一說法。所以說現(xiàn)在對“有理數(shù)”名稱的理解的疑惑是歷史原因造成的。

有理數(shù)的英文是rational number, 其中ratio 也是代表比例的意思. 這個詞在英語體系中,大概出現(xiàn)在1600年左右。遠遠晚于拉丁文。

古埃及對分數(shù)也有獨特的認識。古埃及分數(shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的數(shù)。其他的數(shù)都可以表達為有限個兩兩不等的古埃及分數(shù)的和。例如：

小數(shù)與分數(shù)

不知道大家發(fā)現(xiàn)沒有, 這里邊我們一直在強調(diào)分數(shù), 沒有說小數(shù)

因為: 有些小數(shù)可以劃歸成分數(shù), 比如：

0.25 = 1/4,

0.17 = 17/100

但是有一些數(shù)是不能表示成分數(shù)的。比如圓周率Pi，

這樣的數(shù)就不在有理數(shù)的集合里邊。不是我們當前學(xué)習(xí)的重點。

挑戰(zhàn)一下

1.???? 有兩個集合： 正數(shù)集， 負數(shù)集， 說出下列數(shù)字分別屬于哪個集合？

17， 2/3,?? -4,?? 1009,?? -34,?? -45/197

2.???? 13， 17.89,? 0.15,? -12.8 是小數(shù), 如何用分數(shù)表示?

你能用古埃及的方式表示一下嗎？

?

3.???? 對于以下集合, 請描述他們的關(guān)系 ？

有理數(shù)集，正數(shù)集，負數(shù)集，整數(shù)集，分數(shù)集，

正整數(shù)集，負分數(shù)集 負分數(shù)集， 負整數(shù)集，等

?

4.???? 圓周率Pi 為什么不是有理數(shù)?

?

參考文獻

[1].?Oxford English Dictionary?(2nd?ed.). Oxford University Press. 1989.?Entry?rational,?a. (adv.)?and?n.1, sense 5.a.

[2].?Oxford English Dictionary?(2nd?ed.). Oxford University Press. 1989.?Entry?rational,?a. (adv.)?and?n.1, sense 5.a.

[3]. 人民教育出版社, 九年義務(wù)教科書, 數(shù)學(xué), 七年級上,P6

[4]. 利瑪竇，《幾何原本》，卷五，界說十九則第三界