【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫(xiě)的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書(shū)”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書(shū)”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認(rèn)為《微積分初步》這本書(shū)對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書(shū)”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第一章一元一次方程和可以化為一元一次方程的分式方程

§1-5一元一次方程的解法

1、一元一次方程的意義

【01】我們來(lái)看下面的幾個(gè)方程：

【02】這些方程都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都只有一次。對(duì)于未知數(shù)來(lái)說(shuō)，方程左右兩邊的代數(shù)式都是整式。

【03】對(duì)于未知數(shù)來(lái)說(shuō)，方程左右兩邊的代數(shù)式都是整式的方程，叫做整式方程。只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)只有一次的整式方程，叫做一元一次方程。.

【04】例如，上面一些方程都是一元一次方程；而方程 x＋y＝4，x2＋x＝5，3/(y－1)＝1－2/y 等都不是一元一次方程。

【說(shuō)明】在方程 x＋y＝4 里，有兩個(gè)未知數(shù) x 和 y，所以它不是一元一次方程。在方程 x2＋x＝5 里，雖然只有一個(gè)未知數(shù) x，但是 x 的次數(shù)有 2 次的，所以他不是一元一次方程，在方程 3/(y－1)＝1－2/y?里，最然只有一個(gè)未知數(shù) y，但是方程兩邊的代數(shù)式不都是整式，所以也不是一元一次方程。

習(xí)題1-5(1)

在下列方程里，哪些是一元一次方程？哪些不是？為什么？（題中字母 x,y 都表示未知數(shù)）

【1、是；2、不是；3、是；4、不是；5、是；6、不是；7、是；8、不是】

【05】解方程的方法，就是根據(jù)方程的兩個(gè)基本性質(zhì)，把原方程逐步變形成比較簡(jiǎn)單的方程，直到最后得出象 x＝a 這樣的最簡(jiǎn)單的方程。因?yàn)楦鶕?jù)方程的兩個(gè)基本性質(zhì)所變形得來(lái)的方程，和原方程是同解方程，所以最后得到的方程 x＝a 的根 a，就是原方程的根。

【06】在解方程的時(shí)候，為了使計(jì)算方便，我們常常利用移項(xiàng)的方法，把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，不含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的右邊。

【07】下面我們分別來(lái)研究數(shù)字系數(shù)的一元一次方程和含有字母系數(shù)的一元一次方程的解法。

2、數(shù)字系數(shù)的一元一次方程的解法

例1.解方程：4x＋1＝6x－5? 。

【解】

????????移項(xiàng)，得 4x－6x＝－5－1??

????????合并同類(lèi)項(xiàng)，得－2x＝－6

????????兩邊都除以－2，得 x＝3? 。

【08】為了檢驗(yàn)解方程時(shí)計(jì)算有沒(méi)有錯(cuò)誤，可以把求得的根代替原方程里的未知數(shù)，檢查方程左右兩邊的值是不是相等。如果相等，說(shuō)明計(jì)算沒(méi)有錯(cuò)誤；如果不等，說(shuō)明計(jì)算有錯(cuò)誤，就應(yīng)該重做。檢驗(yàn)的方法如下：

【檢驗(yàn)】用 3 代替原方程里的，得

????????左邊＝4×3＋1－13，

????????右邊＝6×3－5＝13，

????????∵ 左邊＝右邊，

????????∴ 3是原方程的根。

【注意】檢驗(yàn)時(shí)左右兩邊應(yīng)該分別計(jì)算，不能寫(xiě)成下面的形式：4×3＋1＝6×3－5，13＝13? 。因?yàn)樵跈z驗(yàn)時(shí)，左右兩邊的值是不是相等還沒(méi)有確定，就不應(yīng)該用等號(hào)把它們連結(jié)起來(lái)。

例2.解方程：? 。

【分析】解這個(gè)方程的時(shí)候，要先算出方程里所有分母的最小公倍數(shù)，然后把方程的兩邊都乘以這個(gè)最小公倍數(shù)，使所得的方程不再含有分母。方程的這種變形叫做去分母。這個(gè)方程里分母的最小公倍數(shù)是60，所以我們按照下面方法來(lái)解方程。

【解】

????????去分母（兩邊都乘以60），得

????????就是 5x－60＝8x

????????移項(xiàng)，得 5x－8x＝60

????????就是－3x＝60

????????兩邊都除以－3，得 x＝－20? 。

【檢驗(yàn)】用－20 代替原方程里的 x，得

????????

????????∵ 左邊＝右邊，

????????∴－20 是原方程的根。

例3.解方程 5(x－1)＝3(2－3x)－2(x＋5)? 。

【解】

????????去括號(hào)，得 5x－5＝6－9x－2x－10

????????移項(xiàng)，得 5x＋9x＋2x＝6－10＋5

????????合并同類(lèi)項(xiàng)，得 16x＝1

????????兩邊都除以 16，得 x＝1/16? 。

【檢驗(yàn)】用 1/16 代替原方程里的，得

????????

????????∵ 左邊＝右邊，

????????∴ 1/16 是原方程的根。

例4.解方程：? 。

【解】

????????去分母（兩邊都乘以 10），得 2(y－4)＝3y－10

????????去括號(hào)，得 2y－8＝3y－10

????????移項(xiàng)，得 2y－3y＝－10＋8

????????合并同類(lèi)項(xiàng)，得－y＝－2

????????兩邊都乘以－1，得 y＝2? 。

【檢驗(yàn)】用 2 代替原方程里的 y，得

????????

????????∵ 左邊＝右邊，

????????∴ 2是原方程的根。

例5.解方程。

【解】

????????去分母（兩邊都乘以12），得 3(3x＋2)－6(5x＋1)－24－4(7x－1)??

????????去括號(hào)，得 9x＋6－30x－6＝24－28x＋4

????????移項(xiàng)，得 9x－30x＋28x＝24＋4

????????合并同類(lèi)項(xiàng)，得 7x＝28

????????兩邊都除以 7，得 x＝4? 。

【檢驗(yàn)】用 4 代替原方程里的 x，得

????????

????????∵ 左邊＝右邊，

????????∴?4是原方程的根。

【注意1】去分母和去括號(hào)時(shí)要注意符號(hào)。

【注意2】本題中去括號(hào)后，方程左邊有“＋6”和“－6”兩項(xiàng)，顯然，在合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)可以消去，所以移項(xiàng)時(shí)，可以不列入計(jì)算，減少運(yùn)算手續(xù)。

【09】從上面幾個(gè)例子里解方程的過(guò)程，我們可以概括出解一元一次方程的一般步驟是：

????????(ⅰ)方程里如果有分?jǐn)?shù)系數(shù)，先去分母；

????????(ⅱ)方程里如果有括號(hào)，先去括號(hào)；

????????(ⅲ)移項(xiàng)；

????????(ⅳ)合并同類(lèi)項(xiàng)；

????????(ⅴ)方程的兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)。

【10】在解方程的時(shí)候，由于方程的形式不同，上面所說(shuō)的幾個(gè)步驟并不一定都要用到，并且也不定都按照上面的順序進(jìn)行演算。例如，例 1 就用不到去分母、去括號(hào)；例 2 就用不到去括號(hào)。

習(xí)題1-5(2)

解下列各方程，并且加以檢驗(yàn)(1~22)：

23、x 等于什么數(shù)值時(shí)，代數(shù)式 x－(1＋x)/3 的值等于 2？

24、x 等于什么數(shù)值時(shí)，代數(shù)式 (2x－3)/5 與 2x/3－3 的值相等？

【1、2；2、1；3、2；4、－3；5、－1/2；6、2/7；7、1；8、2/5；9、－1/4；10、－1；11、1；12、－17；13、2；14、16；15、5；16、1.11；17、1又5/12；18、－1；19、－3又1/4；20、－7又4/5；21、6；22、6又2/13；23、3又1/2；24、9】

例6.解方程。

【解】去括號(hào)，得

????????

????????去分母（兩邊都乘以12），得 3x＋18＝8

????????移項(xiàng)并且合并同類(lèi)項(xiàng)，得－5x＝－18

????????兩邊都除以－5，得? 。

【檢驗(yàn)】后可以知道 x＝3(3/5)確實(shí)是本題所求的根。

【說(shuō)明1】這個(gè)題目應(yīng)該先去括號(hào)，化簡(jiǎn)后再行去分母，這樣做，比較簡(jiǎn)便。

【說(shuō)明2】前面所說(shuō)的檢驗(yàn)，雖然不是解方程中的必要步驟之一，但是為了檢查計(jì)算有沒(méi)有錯(cuò)誤，讀者還應(yīng)該進(jìn)行檢驗(yàn)。除了按照上面的方式來(lái)檢驗(yàn)外，也可以利用心算來(lái)檢驗(yàn)。本書(shū)為了節(jié)省篇幅起見(jiàn)，以下各例檢驗(yàn)都從略。

例7.解方程? 。

【分析】這個(gè)方程里，分母含有小數(shù)，并且還有分?jǐn)?shù)，為了運(yùn)算簡(jiǎn)便，可以先把分母上的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后使分母變成整數(shù)，并且把帶分?jǐn)?shù)也化成假分?jǐn)?shù)后再解。0.3＝3/10，所以2x/0.3＝20x/3；? 0.2＝2/10，所以 (1.4－3x)/0.2＝(14－30x)/2；? 2(2/3)＝8/3? 。

【解】

????????原方程可以變形成為

????????去分母（兩邊都乘以 6），得 40x＋16－42＋90x＝0??

????????移項(xiàng)并且合并同類(lèi)項(xiàng)，得 130x＝26

????????兩邊都除以 130，得 x＝26/130＝1/5? 。

【說(shuō)明】方程的右邊是 0，因?yàn)?0 乘以任何數(shù)的積總是 0，所以去分母后右邊仍舊是 0? 。

習(xí)題1-5(3)

解下列各方程：

【1、1；2、5；3、6；4、2；5、－1又4/9；6、1又28/31；7、5/13；8、6.4；9、9；10、0.1】

【11】上面幾個(gè)例子中，解方程的步驟都是按步標(biāo)明，有利于正確掌握解方程的方法。但是在熟練以后，為了迅速運(yùn)算起見(jiàn)，寫(xiě)法和步驟都可以簡(jiǎn)化，舉例說(shuō)明如下。

例8.解方程 (x－1)2－(x＋3)(x－3)＝(x＋1)(x＋2)－(x－1)(x＋4)? 。

【解】

????????x2－2x＋1－(x2－9)＝x2＋3x＋2－(x2＋3x－4)

????????x2－2x＋1－x2＋9＝x2＋3x＋2－x2－3x＋4

????????－2x＋10＝6

????????－2x＝－4

????????∴ x＝2? 。

【說(shuō)明1】這個(gè)方程雖然形式上不是一元一次方程，但是經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化以后，就成為一元一次方程，所以仍舊可以用一元一次方程的解法來(lái)解。

【說(shuō)明2】在簡(jiǎn)化寫(xiě)法和步驟的時(shí)侯，必須特別注意去括號(hào)時(shí)各項(xiàng)的正負(fù)符號(hào)以及移項(xiàng)的法則。

例9.解方程 (2x－1)(4x2＋2x＋1)－(2x＋1)3＝1－12(x－2)3? 。

【解】

????????8x3－1－(8x3＋12x2＋6x＋1)＝1－12(x2－4x＋4)

????????8x3－1－8x3－12x2－6x－1＝1－12x2＋48x－48

????????－6x－2＝48x－47

????????－54x＝－45

????????∴ x＝5/6? 。

【說(shuō)明】演算本題時(shí)應(yīng)該盡量利用乘法公式。如右邊的 (2x－1)·(4x2＋2x＋1) 可以利用 (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3 的公式直接得出；(2x＋1)3 和 (x－2)2 可以分別利用 (a＋b)3 和 (a－b)2 的公式展開(kāi)，不要硬乘出來(lái)。這樣，可以一方面熟練鞏固過(guò)去學(xué)過(guò)的乘法公式，另一方面可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。

習(xí)題1-5(4)

解下列各方程（可以用簡(jiǎn)化步驟演算）：

【1、10；2、1又1/29；3、1；4、3又3/4；5、3/4；6、22/81；7、－8又3/5；8、－4】

3、含有字母系數(shù)的一元一次方程的解法

【12】前面我們所解的一些方程都是數(shù)字系數(shù)的方程，除了數(shù)字系數(shù)的方程，我們還經(jīng)常會(huì)遇到具有字母系數(shù)的方程。例如在方程 ax＝b 里，把 x 作為未知數(shù)時(shí)，那末 a 作為 x 的系數(shù)，叫做 x 的字母系數(shù)。解含有字母系數(shù)的一元一次方程的步驟和解數(shù)字系數(shù)的一元一次方程的步驟是一樣的，只是要注意用字母表示的那些已知數(shù)容許取的值有什么限制?，F(xiàn)在舉例來(lái)說(shuō)明。

例10.解關(guān)于 x 的方程 ax＋b＝cx＋d（a≠c）。

【分析】在這個(gè)方程里，有五個(gè)不同的字母。所謂解關(guān)于 x 的方程，就是把 x 作為這個(gè)方程里的未知數(shù)，那末其余四個(gè)字母 a,b,c,d 就看做是已知數(shù)，其中 a 和 c 是 x 的字母系數(shù)。又，題目里注明一個(gè)條件 a≠c，因此，我們?cè)诮夥匠痰倪^(guò)程中，就要根據(jù)這個(gè)已知條件進(jìn)行演算。

【解】

????????移項(xiàng)，得 ax－cx＝d－b??

????????合并同類(lèi)項(xiàng)，得 (a－c)x＝d－b

????????因?yàn)?a≠c，所以 a－c≠0? 。

????????方程的兩邊都除以 a－c，得 x＝(d－b)/(a－c)? 。

【說(shuō)明】根據(jù)題目條件?a≠c，所以 a－c≠0，也就是說(shuō)，未知數(shù)的系數(shù)不等于零；因此，方程的兩邊才可以都除以 a－c? 。如果沒(méi)有?a－c≠0 這個(gè)條件，我們就不可以進(jìn)行這樣的演算。

【13】對(duì)于含有字母系數(shù)的一元一次方程，隨著字母之間關(guān)系的不同，它的解可以有三種不同情況。例如，方程 ax＝b 的解有下列三種情況：

????????(1) 如果 a≠0，那末 x＝b/a? 。就是說(shuō)，方程 ax＝b 有一個(gè)解。

????????(2) 如果 a＝0,b＝0，那末原方程變成 0·x＝0，所以 x 可以取任意值，我們說(shuō)，方程 ax＝b 有無(wú)限多個(gè)解。

????????(3) 如果 a＝0,b≠0，那末方程變成 0·x＝b，所以 x 不論取什么值，都不能適合這方程，我們說(shuō)，方程 ax＝b 沒(méi)有解。

例11.解關(guān)于 x 的方程 ax－b＝cx＋d，并且加以討論。

【解】移項(xiàng)并且整理后，得 (a－c)x＝b＋d? 。

【討論】

????????(1) 如果 a≠c，那末 a－c≠0，所以這個(gè)方程有一個(gè)解，這個(gè)解是 x＝(b＋d)/(a－c)

????????(2) 如果 a＝c，b＝－d，那末 a－c＝0，b＋d＝0，所以這個(gè)方程有無(wú)限多個(gè)解。

????????(3) 如果 a－c，,b≠－d，那末 a－c＝0，b＋d≠0，所以這個(gè)方程沒(méi)有解。

例12.解關(guān)于 y 的方程（a＋b≠0）。

【分析】根據(jù)題意，a 和 b 都不能等于零（因?yàn)槿绻?a 或者 b 等于零，分式 (y－b)/a 或者 (y－a)/b 就沒(méi)有意義，那末原方程也就沒(méi)有意義），因此，ab≠0? 。

【解】

????????去分母（方程兩邊都乘以ab），得 b(y－b)＝2ab－a(y－a)

????????去括號(hào)，得 by－b2＝2ab－ay＋a2??

????????移項(xiàng)，得 ay＋by＝a2＋2ab＋b2

????????合并同類(lèi)項(xiàng)，得 (a＋b)y＝(a＋b)2

????????因?yàn)?a＋b≠0，方程的兩邊都除以 (a＋b)，得 y＝a＋b? 。

習(xí)題1-5(5)

1、由等式 ad＝bc，(a,b,c,d 都不等于零)：(1)用 b,c,d 表示 a；(2)用 a,b,d 表示 c；(3)用 a,b,c 表示 d? 。[解法舉例：(1) 把 a 看做未知數(shù)，b,c,d 看做已知數(shù)，那末這個(gè)等式可以看做關(guān)于 a 的一元一次方程。兩邊都除以 d，得 a＝bc/d】

2、在等式 v＝s/t 中，v 表示速度，s 表示走過(guò)的距離，t 表示行走的時(shí)間。設(shè) v 和 t 都是已知數(shù)，求 s? 。

解下列關(guān)于 x 的方程(3~11)：

12、

(1) 由 v＝v?＋at，用 v，v?，a 表示 t；

(2) 由 v2＝2as，用 v，a 表示 s；

(3) 由 F＝f·m?m?/r2，用 F,f,m?,r表示 m?? 。

13、解下列各方程：

(1) y＝mx＋b，x 是未知數(shù)，m≠0；

(2) ax＋by＋c＝0，y 是未知數(shù)，b≠0；

(3)?，v 是未知數(shù)，t≠0；

(4)?，a 是未知數(shù)，t≠0? 。

解下列各方程，方程中 x，y，z，t 是未知數(shù)(14~19)：

20、解關(guān)于 x 的方程，并且加以討論。

【答案】