對指數(shù)型極限

2023-06-30 21:02 作者:你不是我的小花生 0人讀過 | 我要投稿

今天聊一聊對指數(shù)型極限

????? ?常見的對指數(shù)一共有兩類，第一類是? $0%5E%E2%88%9E$ 、 $%E2%88%9E%5E0$ ?，第二類是? $1%5E%E2%88%9E$

????? ?但從做題的角度來說兩者沒有任何區(qū)別，都是使用對指數(shù)轉(zhuǎn)化，將底數(shù)固定后，轉(zhuǎn)而討論冪的極限，其實如果用戀愛的角度去分析對指數(shù)型極限會發(fā)現(xiàn)，學(xué)數(shù)學(xué)的活該單身：

????????雙向奔赴不值得（底數(shù)和冪次同時變化）

????????單相思賽高（固定底數(shù)或固定次數(shù)）

????????提到了固定底數(shù)，或者說是更換底數(shù)可能更為合適，這就一定會提及高中數(shù)學(xué)中的對指數(shù)轉(zhuǎn)換公式（換底公式其實不怎么用，畢竟我們基本上只討論 $e%2Cln$ ），然后公式就來咯~

? $x%5Ea%3De%5E%7Balnx%7D$ ? ???????? ???????????????? $f(x)%3Dln(e%5E%7Bf(x)%7D)%20$

????????第一類經(jīng)過對指數(shù)轉(zhuǎn)換后會發(fā)生如下變化：

????????????????? $0%5E%E2%88%9E%3De%5E%7B%E2%88%9E%5Ccdot%20ln0%7D$

????????從這里我們會發(fā)現(xiàn)一個極有意思的事情，由于? $lnx$ 的定義要求 $x%3E0$ ，而在? $x%E2%86%920$ ? ?的過程中，有? $0%5E%2B$ 和? $0%5E-$ 兩種情況，所以，底數(shù)的無窮小，一定是一個大于零的無窮??；

????????所以當(dāng)我們看到 $x%E2%86%920%5E%2B$ ??

?????????????????或是類似 $(1-cosx)$ ? 這種非負(fù)底數(shù)時就可以考慮考慮是不是對指數(shù)的題型。

????????由于 $ln0$ ? 是取到了 $-%E2%88%9E$ ? ，所以，冪次上就變成了 $0%5Ccdot%20%E2%88%9E$ 的情況，這時候我們可以選擇的方法就只剩下基礎(chǔ)的倒代換了。

栗01

? ? $%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%20(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20)%5E%7Btanx%7D$

? $%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%20x%5E%7Bln%5Cfrac%7B-1%2Blnx%7D%7B1%2Blnx%7D%20%7D$

????????? $%E2%88%9E%5E0$ 是同理的，我們不做過多陳述。

????????接著是第二類的? $1%5E%E2%88%9E$ ，很多人都是背了下面的這個公式：

$%20(1%2Bu)%5Ev%3De%5E%7Buv%7D$

? $u%5Ev%3D%20e%5E%7Bv(u-1)%7D$

????????我個人建議還是要理解一下或推導(dǎo)一次：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $u%E2%86%920$ ? ?

????????????????????????????????????? $%5Clim_%7B*%7D%20(1%2Bu)%5Ev%3D%5Clim_%7B*%7D%20(((1%2Bu)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%7D%7D)%5Eu)%5Ev%3D%5Clim_%7B*%7D%20e%5E%7Buv%7D$

? ? ???????????????????????? $u%E2%86%921$

????????????????????????????????????? $%5Clim_%7B*%7D%20u%5Ev%3D%5Clim_%7B*%7D%20(((1%2B(u-1))%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bu-1%7D%7D)%5E%7Bu-1%7D)%5Ev%3D%5Clim_%7B*%7D%20e%5E%7Bv(u-1)%7D$

????????所謂的第二類其實只是省略了對指數(shù)轉(zhuǎn)換的過程，直接套用了最后的結(jié)果，核心還是固定底數(shù)。

栗02

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(1%2Bx)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$

有點單調(diào)？冪次上可以將用常見的等價無窮小去代替x

$(1%2Bx)%5Ea-1%EF%BD%9Eax$

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(1%2Bx)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B(1%2Bx)%5Ea-1%20%7D$

再把x增加個符號，把冪次改成開根號

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(1-x)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B1-%5Csqrt%7B1-x%7D%20%7D$

栗03

當(dāng)然也可以用等價無窮小去替換底數(shù)的1

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%20(%5Cfrac%7Bsinx%7D%7Bx%7D%20)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B1-cosx%7D%20$

復(fù)雜點可以改變趨向性

$%5Clim_%7Bx%5Cto%E2%88%9E%7D%20(cos%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20)%5E%7Bx%5E2%7D$

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20(ntan%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20)%5E%7Bn%5E2%7D$

再難一些可以結(jié)合一下極限的運算規(guī)則——可拆性

$%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20(%5Cfrac%7Ba%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%2Bb%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%2Bc%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%7D%7B3%7D)%5Ex%2Ca%E3%80%81b%E3%80%81c%3E0$

本日練習(xí)

?? $%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20(x%2B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%20$
? ?? $%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(e%5E%7B2x%5E2%7D%2Bcosx-1)%5E%7Bcot%5E2x%7D$
? ?? $%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(%5Cfrac%7B1%2Bx%7D%7B1%2Bxe%5E%7B2x%7D%7D%20)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%7D%20$
??? $%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%20x%5E%7Bsinx%7D$
? ?? $%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(%5Cfrac%7Be%5Ex%2Be%5E%7B2x%7D%2B%E2%80%A6%2Be%5E%7Bnx%7D%7D%7Bn%7D)%5E%7B%5Cfrac%7Be%7D%7Bn%7D%7D%20%2Cn%E4%B8%BA%E7%BB%99%E5%AE%9A%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0$