【趣味數(shù)學(xué)題】洞立方體

2021-07-23 18:24 作者:AoiSTZ23 0人讀過(guò) | 我要投稿

鄭濤 (Tao Steven Zheng) 著

【問(wèn)題】

我在UBC（英屬哥倫比亞大學(xué)）讀大二創(chuàng)造這個(gè)有趣的問(wèn)題：

想象一個(gè)立方體，每個(gè)面的中心穿了圓形的孔，每個(gè)孔寬度相等。我們稱之為 "洞立方體"（Holey Cube）。如果立方體的寬度為 $s$ ，每個(gè)孔的半徑為 $r$ ，求 "洞立方體" 的體積。

提示：先閱讀這兩篇文章
【趣味數(shù)學(xué)題】牟合方蓋的體積
 【趣味數(shù)學(xué)題】三圓柱體

【題解】

求解 "洞立方體"（Holey cube）的體積不容易。這道題需要應(yīng)用集合論（set theory）的容斥原理（inclusion-exclusion principle）。

當(dāng)立方體每個(gè)面的中心鉆了圓形的孔時(shí)，我們可以看到三個(gè)圓柱體被鑿空。但我們也要考慮圓柱的交集空間。由有三個(gè)圓柱體（A，B，C），所以有三個(gè)牟合方蓋（AB，AC，BC）需要補(bǔ)回去。我們還要也要注意到三個(gè)圓柱體的交集空間。最后，我們需要排除一個(gè)三圓柱體（ABC）。

立方體體積

$%20%7BV%7D_%7Bcube%7D%20%3D%20s%5E3$

圓柱體體積

$%7BV%7D_%7Bcylinder%7D%20%3D%20%5Cpi%20r%5E2%20s$

牟合方蓋體積

$%7BV%7D_%7Bbicylinder%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B16r%5E3%7D%7B3%7D$

三圓柱體體積

$%7BV%7D_%7Btricylinder%7D%20%3D%20%5Cleft(16%20-%208%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cright)%20r%5E3$

因此， "洞立方體" 的體積是

$%20V%20%3D%20%7BV%7D_%7Bcube%7D%20-%203%7BV%7D_%7Bcylinder%7D%20%2B%203%7BV%7D_%7Bbicylinder%7D%20-%20%7BV%7D_%7Btricylinder%7D$

$V%20%3D%20s%5E3%20-%203%20%5Cleft(%5Cpi%20r%5E2%20s%20%5Cright)%20%2B%203%5Cleft(%5Cfrac%7B16r%5E3%7D%7B3%7D%20%5Cright)%20-%20%5Cleft(16%20-%208%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cright)%20r%5E3$