前天我們介紹了，正實數(shù)a的整數(shù)n次根的算術(shù)值的存在唯一性，即，正實數(shù)a的1/n次冪的存在唯一性，進而導出了，正實數(shù)a的有理數(shù)m/n次冪的存在唯一性。

而假如所求次數(shù)為無理數(shù)，我們可以用逼近的形式去求解所求根。

于是，昨天我們驗證了，正實數(shù)a的任意實數(shù)次冪的存在唯一性。

今天，我們繼續(xù)聊聊實數(shù)范圍內(nèi)的另一種運算，已知一個不是1的正實數(shù)a和它的冪，求這個冪是a的幾次方；

比如說，3^2=9，所以9是3的2次方，所以我們要求的數(shù)值即為2；

——稱之為，求以不是1的正數(shù)a為底數(shù)，任意正實數(shù)g的對數(shù)值；——

20對數(shù)

書中先指出了“以不是1的正數(shù)a為底數(shù)，任意正實數(shù)g的對數(shù)值"的存在，我們以a>1的情況為例，給出對數(shù)的定義——

接著按照對數(shù)為有理數(shù)和對數(shù)不是有理數(shù)兩種情況討論——

1.所求對數(shù)為有理數(shù)的定義——

如果我們能夠找到一個有理數(shù)r滿足a^r=g，那么r即為我們所求對數(shù)。

2.所求對數(shù)不是有理數(shù)的定義——

該定義用到了“有理數(shù)分劃”這個工具——

1. 取a^b<g的b為下組，取a^b'>g的b‘為上組，此處a>1，顯然下組的任意數(shù)b小于上組的任意數(shù)a；

2. 首先驗證上組非空——

   a.由阿基米德公理，我們能取得n>g/（a-1）；

   b.由a，結(jié)合伯努利不等式，我們知道，a^n>1+n（a-1）>n（a-1）>[g/（a-1）]*（a-1）=g；

   c.所以上組必然至少包含所有滿足上述條件的n，非空；

   注——

   顯然第a步n的取值是從第b步中推得的，這一步可以在草稿紙上進行；

   伯努利不等式的作用就是將任何一個位于指數(shù)上的變量向分式轉(zhuǎn)化，所以遇到指數(shù)上有變量的形式，伯努利不等式都是一個思考方向；

   存在性命題我們只需要舉出一個例子既可以證明結(jié)論，要證明非空，只要找出一個位于集合內(nèi)的元素即可，用“構(gòu)造法”；驗證下組非空思路大同小異——

3. 再驗證下組非空——

   a.由阿基米德公理，我們能取得n'>1/[g（a-1）]，即，1/n'<g（a-1）；

   b.由a，結(jié)合伯努利不等式，我們知道，a^n'>1+n'（a-1）>n'（a-1），則1/（a^n'）<1/[n'（a-1）]<（1/n'）[1/（a-1）]<g（a-1）[1/（a-1）]=g，

   c.所以下組必然至少包含所有滿足上述條件的n'，非空；

4. 對實數(shù)a>1，它的任意有理數(shù)次冪都是存在的，且g不是a的任意有理數(shù)次冪，所以根據(jù)排中律，對于a的任意有理次冪，要么滿足a^b<g，要么滿足a^b'>g，故而這個分組的取值覆蓋了所有有理數(shù)；

5. 由1、2、3、4，我們得到一個有理數(shù)分劃，下組包含所有b，上組包含所有b'，于是我們得到界數(shù)u，那么由有理數(shù)分劃定義，b和b'可以無限靠近；

6. 由1，我們知道a^b<a^u<a^b'，由5，b和b’無限靠近，對于任意小正數(shù)e，我們可以得出a^b'-a^b<e——（昨天的文章里面由詳細地證明，用到了伯努利不等式），即a^b與a^b'之間的取值是唯一的，即為g=a^u；

7. 所以，我們要求的對數(shù)就是上述有理數(shù)分劃確定的實數(shù)u，記作u=loga g。

我們由此給出了，以大于1的正實數(shù)a為底數(shù)，任意正實數(shù)g的對數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)的定義。

而對于0<a<1的情況下，1/a>1，所以1/a的對數(shù)都是可以按照上述方法定義的，我們只需要取一次相反數(shù)即可，因為對于任意實數(shù)u，a^u=（1/a）^（-u）。

明天給實數(shù)論簡單收個尾，下周進入“極限論”！