????遞增元序列?(Increase Unit Notation)，簡(jiǎn)稱IUN，是我第一個(gè)完全原創(chuàng)的較為強(qiáng)大的記號(hào)。

????本文約11000字，大部分內(nèi)容是分析大小，講原理的部分相對(duì)不復(fù)雜，但難度同樣不低。

目錄：
1：概念與定義
2：1,2,2,2,3之前的序列
3：1,2,2,3，等于Γ?
4：序列中的ψ外殼
5：解鎖反射序數(shù)記號(hào)
6：IUN的極限
7：歷史和擴(kuò)展

????本文分為上中下三個(gè)部分，本部分為上，包含“概念與定義”、“1,2,2,2,3之前的序列”、“1,2,2,3，等于Γ?”三個(gè)內(nèi)容。

1：概念與定義

????IUN雖然名字叫Notation，但是是一個(gè)自然數(shù)序列。一般情況下，IUN中能出現(xiàn)的最小數(shù)字是1，即用n個(gè)1表示序數(shù)n（當(dāng)然把每一項(xiàng)減1，用n個(gè)0表示序數(shù)n也不影響）；例如(1,1,1,1)[0]=序數(shù)4。

????對(duì)于后繼序數(shù)的處理，IUN類似于HH，即(A,1)[n]=(A)[n+1]，并定義()[n]=序數(shù)n，如(1,1,1,1)[0]=(1,1,1)[1]=(1,1)[2]=(1)[3]=()[4]=4。

????IUN的極限表達(dá)式是1,2,3,4,5,6,...，但僅在1,2,1,1,2之前與原始序列PrSS相同，因?yàn)镮UN的基本單位不是單個(gè)的項(xiàng)，而是后繼元。

????什么是后繼元呢？在某一個(gè)序列的表達(dá)式中（以1,2,3,4,2,3,4,4為例），選取任意一項(xiàng)（如1,2,3,4,2,3,4,4），以這一項(xiàng)為中心，找到包含這一項(xiàng)的 1,2,3,4,5,6,...中的一部分（1,2,3,4,2,3,4,4），這個(gè)2,3,4就是一個(gè)后繼元，每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的后繼（注意必須選取其中最大長(zhǎng)度的，這個(gè)后繼元不能是單獨(dú)的2,3）。

????名字叫“遞增元序列”，想必遞增元也是存在的。遞增元和后繼元類似，但每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)就能構(gòu)成遞增元（1,2,3,4,2,3,4,4）。

????在IUN中，后繼元遠(yuǎn)遠(yuǎn)比遞增元重要，只是因?yàn)樵贗UN的發(fā)展過程中，在2月20號(hào)之前，IUN的核心還是遞增元。

????以下為IUN的數(shù)學(xué)定義（不做嚴(yán)謹(jǐn)分析的可以跳過）

? ? 另外，我還寫了展開IUN表達(dá)式的程序（我只學(xué)過C，也不太會(huì)，所以代碼有點(diǎn)亂；若程序的展開結(jié)果與數(shù)學(xué)定義不同，以數(shù)學(xué)定義為準(zhǔn)；不想研究與數(shù)學(xué)定義不同之處的可以跳過）

????以下是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言描述（還是建議跳過）

????后繼元：序列中以某個(gè)項(xiàng)為中心取最長(zhǎng)的0,1,2,3,4,5,...中連續(xù)的一部分
????單后繼元：只由一個(gè)數(shù)構(gòu)成的后繼元
????遞增元：序列中以某個(gè)項(xiàng)為中心取最長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)數(shù)列是不減數(shù)列的一部分
????遞增元差：遞增元內(nèi)的末項(xiàng)減首項(xiàng)
????遞增元位差：遞增元內(nèi)某一個(gè)后繼元的末項(xiàng)減遞增元的首項(xiàng)
????待壞項(xiàng)：找到序列的末后繼元；如果這個(gè)后繼元不是單后繼元，那么待壞項(xiàng)是這個(gè)后繼元去掉末項(xiàng)；否則是單后繼元減1
????n階待壞項(xiàng)：待壞項(xiàng)的待壞項(xiàng)的待壞項(xiàng)的...的待壞項(xiàng)的待壞項(xiàng)，最高階待壞項(xiàng)就是1

如果末項(xiàng)是1，A,1[n]=A[n+1]；否則要找壞根：
????若前面有2個(gè)相連且等差的后繼元組，它們的首項(xiàng)與 單后繼元的末項(xiàng)-1 形成等差數(shù)列，或與末項(xiàng)-1形成非常數(shù)等差數(shù)列；同時(shí)其中第二個(gè)后繼元組的首項(xiàng)比它后面的項(xiàng)都要小(如果公差是0則可以并列最小)，則這個(gè)首項(xiàng)是壞根
????否則在序列中找所有階的待壞項(xiàng)，如果找到了，那么其中 待壞項(xiàng)末項(xiàng)序號(hào)最大的待壞項(xiàng) 的下一項(xiàng)就是壞根（該待壞項(xiàng)與末項(xiàng)不在同一個(gè)遞增元時(shí)，需滿足其所在的遞增元位差不小于末遞增元差），否則首項(xiàng)是壞根；

????設(shè)壞根是b，末項(xiàng)是x+1，令x=b+d，用A和C表示壞根前的項(xiàng)和壞根后的項(xiàng)，則整個(gè)序列等于A,b,C,x+1。A,b,C,x+1[n]=A,b,C,b+d,C+d,b+2d,C+2d,...,C+nd[n]，其中C+m表示C中的每一項(xiàng)都加上m。

2：1,2,2,2,3之前的序列

????在1,2,2,2,3之前，IUN只由1和2構(gòu)成，極限是ε?；僅僅在這里，就會(huì)用上所有的規(guī)則。

????在任何IUN表達(dá)式展開之前，如果對(duì)IUN不是十分了解，都要把這個(gè)表達(dá)式拆分成后繼元。例如1,2,2,1,2,1,2,2，拆分記為1,2? 2? 1,2? 1,2? 2

????然后是一個(gè)重要概念，待壞項(xiàng)。
????以1,2,2,1,1,2為例，找到最后一個(gè)后繼元，1,2,2,1,1,2；如果這個(gè)后繼元有多項(xiàng)，那么待壞項(xiàng)是這個(gè)后繼元去掉最后一項(xiàng)，也就是說，1,2,2,1,1,2，待壞項(xiàng)是“1”。而如果這個(gè)后繼元只有一項(xiàng)，那么待壞項(xiàng)是這個(gè)項(xiàng)減1，如1,2,2,1,2,2，待壞項(xiàng)也是“1”。

????找到待壞項(xiàng)之后要干什么呢？在序列中找到與待壞項(xiàng)完全相同的后繼元。在1,2? 2? 1? 1,2中，存在這樣的后繼元，于是，這個(gè)后繼元的下一項(xiàng)是壞根。

????壞根是用來展開極限表達(dá)式的。把壞根之前的項(xiàng)記作X，壞根記作b，壞根之后到倒數(shù)第二項(xiàng)記作Y，最后一項(xiàng)記作b+d+1，那么整個(gè)序列可以表示為X,b,Y,b+d+1[n]，它會(huì)展開為X,b,Y,b+d,Y+d,b+2d,Y+2d,...,b+nd,Y+nd[n]，其中Y+m表示Y中的每一項(xiàng)都加上m。

????回到1,2,2,1,1,2，X=1,2,2,1，b=1，Y=(什么都沒有)，d=0，于是1,2,2,1,1,2展開為1,2,2,1,1,1,1,1,1,...（不寫[n]一般表示n趨于無窮大）。

????一個(gè)類似的例子是1,2,2,1,1,2,2，它等于1,2,2,1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...，還請(qǐng)讀者自己思考一下這是為什么。

????除了找待壞項(xiàng)之外，還有一種方式會(huì)用來展開序列。

????現(xiàn)在來看1,2,2,1,2,1,2,2。1,2? 2? 1,2? 1,2? 2，末項(xiàng)的待壞項(xiàng)是1，但是序列中找不到1。一般情況下，遇到這種情況，會(huì)默認(rèn)首項(xiàng)是壞根，但如果就視壞根是首項(xiàng)的話，序列將陷入循環(huán)，展開永遠(yuǎn)不會(huì)停止：1,2,2,1,2,1,2,2→1,2,2,1,2,1,2,1,2,2→1,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,2→...

????現(xiàn)在要用另一種展開方式了：在末項(xiàng)的前面，如果有兩個(gè)相同的后繼元緊挨在一起，它們的首項(xiàng)是整個(gè)序列的末項(xiàng)減1，那么壞根是其中第二個(gè)后繼元的首項(xiàng)。

? ? 在1,2? 2? 1,2? 1,2? 2中，有兩個(gè)1,2滿足這個(gè)條件，所以倒數(shù)第三項(xiàng)是壞根，于是1,2,2,1,2,1,2,2展開為1,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...。

????同樣給一個(gè)類似的例子：1,2,2,2,2,1,2,1,2,2,2=1,2,2,2,2,1,2,1,2,2,1,2,2,1,2,2,...

????實(shí)際上，這里的兩個(gè)緊挨在一起的可以不只是一個(gè)后繼元，可以是多個(gè)，但仍然要完全相同：1,2? 2? 2? 2? 1,2? 2? 1,2? 2? 2? 2=1,2,2,2,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,...

????找待壞項(xiàng)這種展開方式稱為“待壞展開”，而后面這個(gè)找兩個(gè)相同后繼元的展開方式稱為“等差展開”。在準(zhǔn)備展開一個(gè)表達(dá)式時(shí)，“等差展開”是優(yōu)先于“待壞展開”的。

????在待壞展開中，還有一種特殊情況，在找不到待壞項(xiàng)時(shí)，規(guī)定壞根是首項(xiàng)。這種例子很常見，1,2,2，1,2,2,1,2，1,2,2,2,1,2,2,1,2，等等。

????根據(jù)規(guī)則，1,1,1,1,...,1,1，a個(gè)1，表示序數(shù)a
????1,2=1,1,1,1,1,1,...=
? ? 1,2,1,1,2=1,2,1,1,1,1,1,1,1,...=
? ? 1,2,1,1,2,1,1,2=1,2,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,...=
? ? 1,2,1,2=1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,...=
? ? 1,2,1,2,1,1,2=1,2,1,2,1,1,1,1,1,1,1,...=
? ?1,2,1,2,1,1,2,1,2=1,2,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1 ,...=
??1,2,1,2,1,2=1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,2,1,... =
? ? 1,2,2=1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...=
????1,2,2,1,1,2,2=1,2,2,1,1,2,1,2,1,2,...=
? ? 1,2,2,1,2=1,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,...=? ? ? ?
? ?1,2,2,1,2,1,2=1,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1, ...=
????1,2,2,1,2,1,2,2=1,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...=
????1,2,2,1,2,2=1,2,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,2,1,2,...=
????1,2,2,1,2,2,1,2,1,2,2,1,2,2=
????1,2,2,1,2,2,1,2,2=
????1,2,2,2=1,2,2,1,2,2,1,2,2,1,2,2,...=
????1,2,2,2,1,1,2,2,2=
????1,2,2,2,1,2,1,2,2,2=
????1,2,2,2,1,2,2,1,2,2,2=
????1,2,2,2,1,2,2,2=
????1,2,2,2,2=

????顯然，1,2,2,2,2,...的極限，1,2,2,2,3，等于

3：1,2,2,3，等于Γ?

????在1,2,2,2,3到1,2,2,3之間，并沒有新增什么規(guī)則，按照前面的規(guī)則就可以推出1,2,2,3是Γ?。

????先來回顧一下1,2,2,2,3之前的東西。

??? 1,2,2,2,2,2,...,2，這個(gè)1后面有很多2，暫且記作1,{2}吧，它對(duì)應(yīng)了。

????通過剛才的比對(duì)可以發(fā)現(xiàn)，1,{2},1,1,{2}，對(duì)應(yīng)的序數(shù)正好是1,{2}對(duì)應(yīng)的序數(shù)乘2。然后是1,{2},1,1,{2},1,1,{2},1,...的極限1,{2},1,2，是?=?；1,{2},1,2,1,2=1,{2},1,2,1,1,{2},1,2,1,1,{2},1,2,1,...則為。

????接下來并不是1,{2},1,2,2，而是1,{2},1,2,1,2,2=1,{2},1,2,1,2,1,2,1,2,...為，后面還有1,{2},1,2,1,2,2,2=，直到1,{2},1,2,1,{2}=。

????上面的例子分別是用后繼元“1”和后繼元“1,2”來分隔兩個(gè)較大的后繼元?？梢园l(fā)現(xiàn)，后繼元“1”的作用和加法類似，將兩邊的后繼元加起來，比如說1,{2},1,1,2,2是；而后繼元“1,2”也比較類似，是在一層ω指數(shù)塔上做加法運(yùn)算。

????后面的“1,2,2”等后繼元也是類似的，有幾個(gè)2就是在幾層的ω指數(shù)塔上做加法運(yùn)算?，F(xiàn)在可以繼續(xù)往后走了。

????1,2,2,2,3=1,2,2,2,2,2,2,2,...=
????1,2,2,2,3,1,2=1,2,2,2,3,1,1,2,2,2,3,1,1,2,2,2,3,...=?
? ? 1,2,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3=1,2,2,2,3,1,2,1,2,2,2,2,2,2,2,...=
????1,2,2,2,3,1,2,2=?
????1,2,2,2,3,1,2,2,2=

? ? 這樣下來，1,2,2,2,3,1,2,2,2,3就是給嵌套了ω層指數(shù)塔，也就是。后面的嵌套都是類似的：
????1,2,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3=
????1,2,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3=
????1,2,2,2,3,2=
????1,2,2,2,3,2,1,2,2,2,3=
????1,2,2,2,3,2,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3,2=
????1,2,2,2,3,2,1,2,2,2,3,2=
????1,2,2,2,3,2,2=

????可以看到，在1,2,2,2,3之后，再接上一些后繼元“2”，表示給的下標(biāo)加上對(duì)應(yīng)的1,2,2,...的數(shù)值（對(duì)比1,2,2,2,3,2和1,2；以及1,2,2,2,3,2,2和1,2,2）。所以，在1,2,2,2,3后面有ω個(gè)2時(shí)，它就來到了

? ? 1,2,2,2,3,2,2,3=
? ? 1,2,2,2,3,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3,2,2,3=
? ? 1,2,2,2,3,2,2,3,1,2,2,2,3,2=
????1,2,2,2,3,2,2,3,1,2,2,2,3,2,2,3=
????1,2,2,2,3,2,2,3,2=
????1,2,2,2,3,2,2,3,2,2,3=
????1,2,2,2,3,2,3=1,2,2,2,3,2,2,3,2,2,3,2,2,3,2,...=
????1,2,2,2,3,2,3,1,2,2,2,3=
????1,2,2,2,3,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3,2,3=
????1,2,2,2,3,2,3,1,2,2,2,3,2,2,3=
????1,2,2,2,3,2,3,1,2,2,2,3,2,3=

????后面的結(jié)構(gòu)依然是類似的，并沒有哪里出現(xiàn)了減弱。

????1,2,2,2,3,2,3,2=
????1,2,2,2,3,2,3,2,2,3=
????1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,2,3=
? ? 1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3=
????1,2,2,2,3,2,3,2,3=

????在1,2,2之后，后面有x個(gè)2,3就表示序數(shù)φ(x,0)；然而，后面強(qiáng)度突然發(fā)生了減弱，但這是為進(jìn)一步提升而做的準(zhǔn)備。

????1,2,2,2,3,3=1,2,2,2,3,2,3,2,3,2,3,...=
????1,2,2,2,3,3,3=1,2,2,2,3,3,2,3,3,2,3,3,...=? ? ? ? ? ? ?
????1,2,2,2,3,3,3,4=1,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,...=? ? ? ? ? ? ? ?

????在二元φ里面，后繼元“3”的作用變成了以前“2”的作用，因此
????1,2,2,2,3,3,3,4,3,4=
????1,2,2,2,3,3,3,4,4=
????1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5=

????1,2,2,3，1,2? 2,3，壞根是首項(xiàng)，但是首項(xiàng)比末項(xiàng)少2，因此展開后將呈現(xiàn)類似于等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)：1,2,2 2,3,3 3,4,4 4,5,5 5,6,6,...，也就是上面那些表達(dá)式的極限，

未完待續(xù)...