Part 1?一個基本的示例

如圖所示，鏈寫法如下：

它的邏輯大致是這樣的：設r7c2(1)為假，則得到r7c6(8)為假時分兩種情況討論，一個是r7c6 = 2，另外一個則是r7c6 = 5。但不管r7c6是數字2還是5，都能得到r5c8(1)為假，于是又可以得到r5c2(1)為真、r7c2(1)為假。這樣就首尾拼接成環(huán)了。

可是稍微奇怪的是，r7c6分了兩種情況討論，也就是這里產生了分支，那么，這個環(huán)的刪數仍然還是所有弱關系對應位置嗎？

想一下邏輯，如果把邏輯抽象出來，就是下面這個樣子：

首先，大體下，F(xiàn)-A部分是可以刪除的，不過B-C和D-E兩處是兩種不同的情況，它們是“或”的關系（注意“或”的關系是指兩個部分至少有一個為真，而不是有且僅有一個為真），所以我們無法判斷到底B-C還是D-E是一直都可以的，也就不能找到分支條件下的刪數。所以總體來看，刪數只有F-A。

對于圖上來說，只有r5c2(1)-r7c2(1)和r7c2(8)-r7c6(8)兩處弱關系可以刪數。

這個結構稱為動態(tài)標準環(huán)（簡稱動態(tài)環(huán)，Dynamic Continuous (Nice) Loop）。有時候也將這種帶有兩部分子環(huán)形式的結構稱為雙環(huán)（Double Loop）。

我們再給出一個示例，請自行推理其推進過程。

這個鏈的刪數特別奇怪，所以請注意實際的推導過程。這個環(huán)的理解比較難，希望你能慢慢地、細致地注意到每一個細節(jié)。

Part 2?原理進一步剖析

2-1?#1：動態(tài)環(huán)的刪數是否有定式？

動態(tài)環(huán)的刪數實際上在前面已經說了，所以我們可以在這里直接總結出來了。所以答案肯定是有刪數的定式的。而且還比較明顯。如果是讀者你的話，不用看這一節(jié)的問題，自己思考一段時間，我想你也可以想到它——所有主干上的弱關系的區(qū)域都可以刪數，而分支上的弱關系不可以。

可以從例子里看到，分支之間是或的關系，所以顯然不可以刪數，我們無法斷言出刪數一定能產生在分支上。所以不可以。主干上的弱關系有時候會很多，但有時候會少得可憐，看看上面的例子你就明白我在說什么了。

2-2?#2：英文名里的Nice有沒有很重要嗎？

是的。在Nice的原文描述里提到，“當且僅當環(huán)內的每一個弱關系都可以刪數時，稱為Nice Loop；否則稱為Loop”。換句話說，如果我們現(xiàn)在有一個環(huán)，不論動態(tài)環(huán)還是標準環(huán)，如果環(huán)的每一個弱關系都可以實現(xiàn)刪數（即使它在這個題目里找不到刪數，但理論上可以刪的話），就稱為這個環(huán)是Nice的；否則就不能使用Nice。

可以看到，任意一個標準環(huán)都一定是Nice的，因為標準環(huán)的特征就是每一個弱關系都可以視為強關系，所以它們所在的區(qū)域上一定會出現(xiàn)一個節(jié)點包含需要填的數字，所以每個弱關系的對應區(qū)域都一定是可以刪的；而動態(tài)環(huán)不同，由于動態(tài)環(huán)具有分支，所以分支上的弱關系我們并不能保證是否可以刪除，所以動態(tài)環(huán)里不一定所有的環(huán)都能加上Nice一詞。實際上，大多數動態(tài)環(huán)都無法實現(xiàn)全部弱關系都可以刪除，只有很少一部分可以實現(xiàn)，所以大部分的動態(tài)環(huán)都不帶Nice一詞，即Dynamic Continuous Loop；而少部分動態(tài)環(huán)才稱為Dynamic Continuous Nice Loop。所以前面給出的示例是不能加Nice的，因為它還有分支上的弱關系不能刪數。

Part 3?嵌套結構的動態(tài)環(huán)

說完了基本的動態(tài)環(huán)的刪數原則，我們來看一些嵌套結構的動態(tài)環(huán)結構。

3-1?動態(tài)環(huán)

如圖所示，這個鏈內嵌入了毛刺隱性數對結構。鏈的寫法如下：

這個題的推導和剛才的動態(tài)環(huán)差不多。刪數也是找總體下的弱關系?？傮w下的弱關系有r9c1(1-7)、{r4c7, r5c8}(27)-r4c7(1)、r4c5(1)-r9c5(1)這三個。那么刪數也就在這里面去找。需要提到的地方就是這里的r4c7和r5c8的2、7隱性數對的刪數了。我們之前說到的是，刪數是看兩端都能刪的地方，雖然這個2、7隱性數對確實可以刪r5c8(8)，但是r4c7(1)為什么也能保證r5c8(8)可以刪呢？因為此時r4c7(1)和r5c8(8)都是弱關系。如果r4c7(1)和r5c8(8)同真時，b6內數字2沒有位置可填。所以r4c7(1)和r5c8(8)確實是弱關系，也就確實是可以刪的。

這個題目帶有一個ALS，所以稱為嵌套ALS的動態(tài)環(huán)（Dynamic Grouped Continuous (Nice) Loop With ALS）。同樣，此題不加Nice。

我們再來看一個動態(tài)環(huán)。

3-2 Nice的動態(tài)環(huán)

獲取你注意到了，前后兩個示例的標題大致一樣，就是英文名里，一個有nice，一個沒有。下面我們來嘗試理解一下它。

如圖所示。這個動態(tài)環(huán)比較復雜。我們先從r2c2(2)開始設為假進行推理。

如果r2c2(2)為假，而此時r2c28是一個ALS區(qū)域，所以r2c8(3)必須此時為真才行。那么此時，由于r2c8 = 3的緣故，r2c5和r2c9都不能是3，所以此時r2c5(3)和r2c9(3)是同時為假的。我們先嘗試走左邊。

假設r2c5(3)為假，則r23c6(3)區(qū)塊為真（當然，這里一般是當得到r2c8(3)為真后，r2c56(3)同為假，于是r3c6(3)為真，也可以這么理解），r5c6(3)為假，r5c1(3)為真，r6c2(3)為假；而假設r2c9(3)為假，則r2c9(7)為真，r4c9(7)為假，r6c7(7)為真，r6c2(7)為假。

此時可以發(fā)現(xiàn)，由于剛才假設的情況的成立，我們先得到了r2c8(3)為真的結果，并同時得到了兩個分支的走向?？墒巧衿娴牡胤皆谟?，兩個分支竟然最終匯聚到了同一個單元格：r6c2。

由于是兩個分支的推導同時通過一個結論得到，所以兩個不同分支得到的結論就應當是同時成立的，即這里的r6c2(3)為假和r6c2(7)為假此時必須是同時成立的，所以，r6c2此時只能放入2，故r6c2(2)此時為真，于是r2c2(2)為假，環(huán)便出現(xiàn)了。

那么，可以發(fā)現(xiàn)到的是，主線肯定是r6c2-r2c2(2)=r2c8(3)這一部分，但剩下的部分，都在分支上。按照原本的推導思路，主線上的所有弱關系是可以刪除的，并且由于ALS區(qū)域處于主線上，所以ALS的額外刪數：r2的其余位置的5也可以刪除掉。不過，這個例子里我們可以刪除太多其它的刪數了，這些又是為什么呢？試想一下，這個結構帶有兩個不同的分支，但這兩個不同的分支的特殊之處在于，它們以同一個節(jié)點延伸出去，這意味著兩個分支應該是同時成立的，這一點我已經在前文里說過了。而在環(huán)結構的結論里，我們知道，環(huán)結構的內部填數只可以有兩種情況；而在動態(tài)鏈里，分支里可能有不同的情況，所以不一定只有兩種。但仔細觀察這個示例就可以發(fā)現(xiàn)，這個分支是同時成立的，所以要么分支1成立，要么分支2成立。我們不必注意分支內部的填數模式，這兩種情況我們便可直接作為整體動態(tài)環(huán)的兩種不同的填數模式。

而環(huán)只有兩種填數模式，且弱關系都可以刪除，所以我們可以認為，這兩個分支上面的所有弱關系都可以作為刪除項，故兩個分支的弱關系完全都可以作為這里所說的刪除項而刪掉。

可以看到，這個示例里，所有的弱關系全部都可以被刪除，所以我們應為這個結構的技巧名加上nice一詞，即動態(tài)的（dynamic）、嵌套結構的（grouped）、連續(xù)的（continuous）、刪數完整的（nice）環(huán)結構（loop）。

Part 4 最后來個小練習？

之前我們已經給出了三道魚圖題目了，這里再來一道題。請找出所有不能填入的位置（可以刪除的位置）。

答案