今天終于開始第二講了，之前聊到的效用函數(shù)稱為“直接效用函數(shù)”，是關(guān)于消費計劃x的單調(diào)函數(shù)。第二講開始一個新話題——間接效用函數(shù)。

在第一講的最后，我們聊到了“預(yù)算集”和“消費者的基本問題”。

“預(yù)算集”指的是“花的錢<=賺的錢”情況下的所有消費情況。

1. 如果我們一共買了n件商品——第一件商品價格p1，我們買了x1件；第二件商品價格p2，我們買了x2件；……；第n件商品價格pn，我們買了xn件——那么“花的錢”便是，p1x1+p2x2+……+pnxn，聯(lián)想到兩個向量的點乘便是對應(yīng)坐標(biāo)乘積之和，我們可以把消費總額表示成向量的形式px，其中：

   a.“價格向量p”——一個n維向量，每個坐標(biāo)是該商品的價格，比如價格向量p=（p1，p2，……，pi，……，pn）中，pi是i商品的價格；

   b.“消費計劃x”——一個n維向量，每個坐標(biāo)是該商品的計劃購買量，比如在消費計劃x=（x1，x2,……，xi，……，xn）中，xi是i商品的計劃購買量。

2. 如果把“賺的錢”——收入用字母y表示，那么“預(yù)算集”中的消費計劃x所要滿足的條件便可以用不等式px<y即可。

消費者基本問題便是，“需求函數(shù)”在滿足“預(yù)算集”的限制條件下，所能取得的最大值是多少？

顯而易見，“需求函數(shù)u（x）最大值”直接受限于“預(yù)算集”里的元素x，而“預(yù)算集”則受限于“價格向量p”和“收入y”。

所以，“需求函數(shù)u（x）最大值”間接受限于“價格向量p”和“收入y”。

“直接效用函數(shù)”是關(guān)于“消費計劃x”的單調(diào)函數(shù)，“間接效用函數(shù)”則是關(guān)于“價格向量p”和“收入y”的函數(shù)。

進行簡單的推導(dǎo)便可以得到如下關(guān)系——

1. 我們知道“二維預(yù)算線”表達(dá)的是“針對兩件商品的消費計劃x=（x1，x2）”的二維圖線，其橫坐標(biāo)為x1，縱坐標(biāo)為x2，斜率為-p1/p2，橫坐標(biāo)為y/p1，縱坐標(biāo)為y/p2，學(xué)過多變量函數(shù)的寶寶能夠理解，這個表達(dá)的其實僅僅是“直接效用函數(shù)u（x）”的定義域；

2. 如果我們固定收入y不變，改變一件商品的價格p1或者p2，那么影響到的便是斜率-p1/p2，比如說如果增加x1的價格p1或者減小x2的價格p2，-p1/p2的絕對值p1/p2，都會變大，那么都會得到一個更加陡峭的“預(yù)算線”；

3. 如果固定斜率-p1/p2不變，收入y增加，那么橫坐標(biāo)y/p1與縱坐標(biāo)y/p2都增大，那么得到的預(yù)算線就會發(fā)生向右平移，同理，y減少，預(yù)算線向左平移。

比起消費計劃的復(fù)雜性和不可控性，價格和收入是現(xiàn)實可控的因素，這是研究“間接效用函數(shù)”的原因。

今天先聊到這里，明天我們繼續(xù)！