hello,大家好！

早在高中物理的必修課程中，我們就學過了開普勒三定律，它是行星運動的三條定律：

①橢圓定律：行星運動的軌跡是橢圓，且恒星處于橢圓的一個焦點上；

②面積定律：行星與恒星的連線在相同時間內(nèi)掃過相同的面積；

③調和定律：行星軌跡的半長軸立方與行星公轉周期平方的比為定值。

今天，我們就來用微分方程來推導這三條定律吧。

在此之前先明確幾點：

①認為恒星靜止不動，不受行星引力的影響

②只研究一個行星的運動，且該行星僅受恒星的引力影響

③不考慮相對論，只使用經(jīng)典力學的觀點

ok!開始吧！

首先，以恒星為原點建立平面直角坐標系。設 ?時刻行星的坐標為??，其中??與??都是關于時間??的函數(shù)；引力常數(shù)為?，恒星質量為?，行星質量為??。

將引力分解到??方向與??方向，根據(jù)牛頓第二定律有：

?方向：

?方向：

（注意引力的方向，要添個負號）

加速度是位移的二階導數(shù)，因此有：

（注意復合函數(shù)求導）

可將括號內(nèi)的式子看作整體

記?，

可得：

解得：

?①，?②

先研究 ② 式，分離變量，得到：

?即?

兩邊積分，得到：

這個式子很重要，我們記為(*)式。將(*)式代入 ① 式得到：

這是一個不含一階導數(shù)的式子，我們有一種常用的降次方法：兩邊同時乘?。得到：

即

積分得：

將??分離出來，再結合(*)式替換掉??得到：

我們終于得到了關于??和??的微分方程:

解之得：

不妨取?,整理得：

令，

得到：

這是圓錐曲線的極坐標方程，另外行星運動的軌跡應是封閉的，于是行星的運動軌跡為橢圓，且恒星位于坐標原點，也就是橢圓的一個焦點，這便是開普勒第一定律。

回到(*)式，由極坐標面積公式，任意??時間內(nèi)，行星與恒星的連線掃過的面積

? ??

這表明任意??時間內(nèi)行星與恒星連線掃過的面積為定值，這便是開普勒第二定律。

而一個周期內(nèi)，連線掃過的面積是整個橢圓的面積 ，再結合軌跡方程有：

，

可得?

即半長軸立方與周期平方之比為定值，這便是開普勒第三定律。

至此我們就證明了開普勒三定律！

進一步觀察行星運動軌跡的方程，它包含了所有二次曲線。也就是說，只要某個天體的速度合適，它的離心率??就足夠大，只要大于等于?，它就能脫離恒星引力的束縛，逃逸出去，這也為航空航天奠定了理論基礎。

好了，就玩這么多，感謝大家收看！

拜拜～～