談到“線性 (Linear)”，懂點數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)的人都知道是怎樣的概念?？赡苊總€人了解的定義或多或少有點不同，但大多數(shù)定義可能都包含這樣的陳述：線性是直線的，它非曲線。

因此，當我們探討一個線性模型時，首先需要回到對于“線性”的理解上。一個線性模型一定沒有曲線？未必！

統(tǒng)計學(xué)家可能會告訴你，線性模型的另一種理解是因變量Y與模型參數(shù)β之間是線性的。同大多數(shù)統(tǒng)計教科書一樣，這種解釋略顯晦澀，似乎并不能幫助我們理清思路。因此，讓我們來看一些線性模型。

統(tǒng)計學(xué)中一個簡單線性模型類似于我們在代數(shù)中學(xué)習(xí)的線性函數(shù)，可以寫成：
Y1=β0+β1X+ε (模型-1)

其可視化表達，如圖-1所示。

但如下圖-2所表達的模型，其實也可歸類為線性模型。

這些不是直線的線性模型，其表達式為：

Y2=β0+β1 X+β2X2+ε (模型-2)
Y3=β0+β1 ln?X+ε (模型-3)

在“模型-2”和“模型-3”中，β0、β1、β2是參數(shù)，X是自變量，Y是因變量，可以通過變量變換的方式，將“模型-2”和“模型-3”轉(zhuǎn)換為“模型-1”的形式，比如令X1=X，X2=X2，X3=lnX。因此，從因變量與模型參數(shù)之間的關(guān)系理解線性模型的方式是，在線性模型中，模型中的每個效應(yīng)項只有一個參數(shù)，并且每個參數(shù)都是該效應(yīng)項的乘法常數(shù)，盡管Y與X之間可能存在非線性關(guān)系，但Y與β之間為線性關(guān)系。相比之下，非線性模型就沒有這種簡單的形式，因變量Y和參數(shù)β之間不存在線性關(guān)系。非線性模型的示例如：

當我們繪制這些模型時（圖-3），雖然它們看起來可能與圖-2所提及的線性模型并沒有太大區(qū)別：

然而，在數(shù)學(xué)上它們是非常不同的，因為“模型-4”和“模型-5”對任何參數(shù)的導(dǎo)數(shù)都取決于該參數(shù)和其他參數(shù)。經(jīng)此對比，回首開篇，應(yīng)不再難理解統(tǒng)計學(xué)家關(guān)于線性模型的一種解釋，即“線性模型中，因變量Y與模型參數(shù)β之間是線性的”的含義。建立這些非線性模型需要一個迭代估計過程，而這與使用公式獲得線性模型的最小二乘估計有很大不同。因此，在擬合非線性模型時，我們必須指定要擬合的模型、要估計的參數(shù)以及這些參數(shù)的初始值，當然，這些設(shè)定可以在JMP中“擬合曲線”平臺輕松完成。另外，你也可以使用“非線性”平臺及其“模型庫”中的模型或自定義列公式。

本文與大家一起梳理了線性模型和非線性模型的含義與真正區(qū)別。我們將在后續(xù)文章中繼續(xù)探討并展示如何在JMP中輕松地進行非線性建模。敬請期待！

本文來自JMP User Community，原文鏈接：https://community.jmp.com/t5/JMPer-Cable/Nonlinear-modeling-part-1/ba-p/41575

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