MIMO 系統(tǒng)中，如果發(fā)射天線多于接收天線，那么我們不能做到每根發(fā)射天線都發(fā)射一個(gè)有效數(shù)據(jù)，例如 三發(fā)兩收的情況，我們不能同時(shí)發(fā)送三個(gè)數(shù)據(jù)出去。在前面幾篇文章和視頻中有做詳細(xì)介紹。

錄制的視頻：https://www.bilibili.com/video/BV17e4y1h7jY/

這篇文章的目的，是如何安排在三個(gè)發(fā)射天線上發(fā)送的數(shù)據(jù)？使得兩根接收天線能接收到兩個(gè)有效數(shù)據(jù)？當(dāng)然，這個(gè)可以很自然地?cái)U(kuò)展到更多的發(fā)射天線，前提是接收天線數(shù)量少于發(fā)送天線數(shù)量。

對(duì)本篇文章的理解，需要簡(jiǎn)單的線性代數(shù)的知識(shí)，包括矩陣乘法，正交向量，奇異值分解（SVD），線性空間?？幢酒恼虏恍枰辞懊娴膸灼恼?，當(dāng)然，先看看前面幾篇文章，會(huì)有更深的理解。

主要以三發(fā)兩收為例進(jìn)行講解，因?yàn)槿S空間和二維空間是我們?nèi)菀紫胂蠛屠斫獾目臻g。

系統(tǒng)的示意圖如下：

在下面這個(gè)文章中，我們討論了估計(jì)發(fā)送數(shù)據(jù)的方法：

MIMO初步（二）如何估計(jì)發(fā)送的數(shù)據(jù)

前面文章中提到的發(fā)送數(shù)據(jù)的方式，看起來(lái)很怪異，結(jié)構(gòu)化不是很好，第一時(shí)刻發(fā)送三個(gè)新數(shù)據(jù)，第二時(shí)刻只發(fā)送一個(gè)新數(shù)據(jù)，看起來(lái)不是很均勻地發(fā)送有效數(shù)據(jù)。那我們能否做到在每個(gè)時(shí)刻都是發(fā)送兩個(gè)新數(shù)據(jù)呢？但是，有三根發(fā)射天線，那怎么發(fā)的，這兩個(gè)新數(shù)據(jù)通過(guò)哪個(gè)或者哪些天線發(fā)呢？

這就是我們今天要講的，通過(guò) SVD 分解，來(lái)做 x1 和 x2 的線性組合。

從這里開(kāi)始，我們對(duì)有效數(shù)據(jù)的發(fā)送，引入新的記號(hào)，即我們要發(fā)送的有效數(shù)據(jù) 記為 c1 和 c2，通過(guò)三根天線打出去的信號(hào)數(shù)據(jù)，記為 x1,x2 和 x3.

信道的系數(shù)矩陣，我們記為：

則接收到的數(shù)據(jù)，我們記為 y1, y2, 暫時(shí)先不考慮噪聲的干擾，則：

即：

線性代數(shù)的基本知識(shí)告訴我們，信道系數(shù)矩陣 W 可以做 奇異值分解(SVD - Singular Value Decomposition):

其中 U 是 2x2 的酉矩陣（單位正交的復(fù)數(shù)矩陣，行向量間兩兩正交，列向量間兩兩正交，列向量的模長(zhǎng)為 1），V 是 3x3 的酉矩陣，S 是 2x3 的實(shí)數(shù)對(duì)角矩陣，且只有對(duì)角線上的元素才可能不為 0 ，且大于等于 0.

酉矩陣（或者對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)情況下的單位正交矩陣，后面就都用酉矩陣來(lái)說(shuō)明）的幾何意義，是對(duì)向量的剛性旋轉(zhuǎn)，不改變向量的長(zhǎng)度，只是改變向量的方向。 則? 矩陣，可以認(rèn)為是一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣。

我們來(lái)看上面公式 (1) 中：

對(duì)于酉矩陣（或單位正交矩陣），作用在一個(gè)向量上，就是對(duì)向量做了旋轉(zhuǎn)，由于? , 所以， V? 和? 互為逆旋轉(zhuǎn)。

三發(fā)兩收中，V 是一個(gè) 3x3 的矩陣，所以，可以理解為在三維空間中對(duì)一個(gè)向量 X 做旋轉(zhuǎn)。

假如發(fā)送的有效數(shù)據(jù)是 c1 和 c2，我們構(gòu)造一個(gè)向量：

令：
X = VC

相當(dāng)于對(duì) C 做了一個(gè)旋轉(zhuǎn)，那么對(duì) X 再做一個(gè) V 的逆旋轉(zhuǎn)，即乘以 ，我們就又可以得到 C:

至此，我們可以看到，信道系數(shù)矩陣做了 SVD 分解之后，本來(lái)是 一步作用在接收向量 X上的，但是，我們可以視為分三步按順序先后作用在 X上

作用完 VH 之后，我們已經(jīng)得到了 C，但是，后面兩步的效果，需要在接收端做一次逆左右，即

這是從數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)上，我們可以得到這個(gè)過(guò)程。

我們從空間幾何的角度，再重新理解一下上面的過(guò)程。

我們把

這是一個(gè)二維空間中的向量，我們把這個(gè)二維空間作為一個(gè)平面，再增加一維，構(gòu)成三維空間，新增加的一維與當(dāng)前這個(gè)二維空間平面正交，則在三維空間中，坐標(biāo)為：

我們用? V? 來(lái)在三維空間中做一個(gè)旋轉(zhuǎn)，得到 X.

也可以這樣理解，以三維空間中 兩個(gè)向量構(gòu)成的平面，用這兩個(gè)向量的線性組合，生成一個(gè)新的三維空間中的向量? X，

而? 作用在 X 上，相當(dāng)于把 兩個(gè)向量構(gòu)成的平面 旋轉(zhuǎn)到兩個(gè)軸構(gòu)成的平面上，讓第三個(gè)軸的坐標(biāo) 為 0. 本來(lái)，到這里我們已經(jīng)拿到了原始的數(shù)據(jù)。但是， H 中后面兩個(gè)部分，相當(dāng)于在這個(gè)二維平面上對(duì) 二維向量做了拉伸和旋轉(zhuǎn)的動(dòng)作，所以， 我們還要做一下逆拉伸和逆旋轉(zhuǎn)的動(dòng)作，只是這次的逆旋轉(zhuǎn)是用 。



令

則




由于 C 中第三個(gè)坐標(biāo)為 0，

所以

由于 S 的第三列為 0，所以


所以

這就是我們接收的數(shù)據(jù)，因此


如果我們對(duì)

不使用? ，而是使用其它的一個(gè)基（由另外兩個(gè)單位正交向量構(gòu)成的一個(gè)基），那會(huì)怎么樣？假如我們用

則再往下乘的時(shí)候，會(huì)丟棄掉 , 會(huì)丟失有用信息；另外，? 和? 會(huì)相互影響，就不容分離開(kāi)。

舉個(gè)例子：

Y1= [ 5.00000000e-01, -6.00000000e+00, ?0]

Y2= [ 0.99004132, -0.04847483]

Y = [-0.49681329, ?0.85773434]

C1= [ 0.99004132, -0.04847483]

C2 = [ 0.5, -6. , ?0. ]

CC = [ 0.5, -6. ?]

可以看到， 信號(hào) X 在通過(guò)信道的第一個(gè)階段 () 后，已經(jīng)變成 Y1，其中第三個(gè)軸的坐標(biāo)為 0，表明這個(gè) Y1 在另外兩個(gè)軸構(gòu)成的平面上。再經(jīng)過(guò)拉伸和旋轉(zhuǎn)，變成了接收天線拿到的數(shù)據(jù) Y.

Y 在二維平面上，經(jīng)過(guò)逆旋轉(zhuǎn) ()和逆拉伸( 乘以 V 的偽逆矩陣），得到三維空間中的坐標(biāo) C2，但是，第三軸坐標(biāo)是 0. 刪除第三個(gè)坐標(biāo)，我們拿到的就是發(fā)送的數(shù)據(jù) CC = C.

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