【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】『數(shù)理化自學叢書』其實還有新版，即80年代的改開版，改開版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學基礎(chǔ)自學內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學的一條龍數(shù)理化自學教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因為6677版保留了很多古早知識，讓我終于搞明白了和老工程師交流時遇到的奇特專業(yè)術(shù)語和計算模式的來由。另外就是6677版的版權(quán)風險極小，即使出版社再版也只會再版80年代改開版。我認為6677版不失為一套不錯的自學教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時間，將『數(shù)理化自學叢書6677版』上傳成文字版。?

第三章光學器件

【山話||? 本系列專欄中的力單位達因等于10??牛頓；功的單位爾格等于10??焦耳；熱量的單位卡路里等于4.186焦耳；電荷的單位靜庫（1庫倫=3×10?靜庫）；電勢的單位靜伏等于300伏特。另外這套老教材中力的單位常用公斤、克等，但如今是不允許的，力是不能使用質(zhì)量單位的?！?/span>

§3-4球面鏡成象的公式

【01】除了用實驗方法、作圖方法來討論球面鏡成象的各種情況以外，還可以通過數(shù)學公式來計算成象的性質(zhì)、大小和位置等。

【02】下面先推導(dǎo)出凹鏡和凸鏡的成象公式，再討論它們的計算方法和具體的應(yīng)用。

【03】圖3·23是物體 AB 在凹鏡前成實象的情況。用 u 表示物體 AB 到頂點 O 的距離（簡稱物距），用 v 表示物體的象 A'B' 到頂點 O 的距離（簡稱象距），用 f 表示焦點 F 到頂點 O 的距離（簡稱焦距）。

【04】在圖3·23中，∵ △ABC∽△A'B'C，△PO'F∽△A'B'F；∴?，；又 ∵ AB＝PO'，O'F ≈ OF；∴?? 。

【05】用符號 u、v、f 代入得 BC＝2f－u，B'C＝v－2f，OF＝f，B'F＝v－f；即得?，化簡后 vf ＋uf＝uv，用 uvf 除等式兩邊得到公式?

【06】如果是物體在凹鏡中成虛象，這時情況如圖3·24所示。∵ △POF∽△A'B'F，△ABC∽△A'B'C；∴?，；又 ∵ AB＝PO'，O'F≈OF，∴?? 。

【07】用符號 u、v、f 代入得 OF＝f，B'F＝v＋f，BC＝2f－u，B'C＝v＋2f；即得，化簡后 fv－fu＝uv，用 uvf 除等式兩邊得?

【08】如果是物體在凸鏡中成象（如圖3·25所示），同樣有 △ABC∽△A'B'C 和 △PO'F∽△A'B'F；∴?，；?∵ AB＝PO'，O'F ≈ OF；?? 。

【09】同樣用符號 u、v、f 代入上式得 BC＝u＋2f，B'C＝2f－v，OF＝f，B'F＝f－v；即得，化簡后得 fv－fu＝－uv，用 uvf 除等式兩邊得

【10】現(xiàn)在我們把物體在球面鏡中成象的這幾種情況加以比較，以便得出一個統(tǒng)一的公式。如果統(tǒng)一地把成實象時的象距心看成正值，成虛象時的象距 v 看成是負值，那么，在凹鏡成虛象的公式(2)中以 v 代替－v，得出的結(jié)果便與(1)式相同；在凸鏡成虛象的情況下，由于凸鏡的焦距是虛焦距，虛焦距也看成是負值，在(3)式中分別以 f 代替－f，v 代替－v，那么，所得出的結(jié)果也和(1)式相同。即?? 。

【11】所以我們把這個公式看成是球面鏡成象的普遍公式，對于凹鏡來說，f 是正值，對于凸鏡來說，f 是負值；成實象時，v 是正值，成虛象時，v 是負值，這里 u 都是正值。

【12】根據(jù)這個成象公式，只要知道物距 u、焦距 f，就可以求出象距 v 來，從而知道象的位置和性質(zhì)。（v 是正值的時候，說明象是實象；v 是負值的時候，說明象是虛象）根據(jù)上面所得出的成象公式，物距 u、象距 v 和焦距 f 這三個量中，只要知道其中任意兩個量，就可以求出第三個量來。

例2.有一個凹鏡，半徑是 16 厘米，物體放在凹鏡前 20 厘米的地方，求所成象的性質(zhì)和位置。

【解】

????????根據(jù)題意，已知半徑 R，也就間接知道了凹鏡的焦距 f（因為焦距是半徑的一半），又知物距 u，于是可從成象公式中算出 v 來，從而知道象的性質(zhì)和位置。

????????已知：u＝20厘米，R＝16厘米，則厘米；代入公式??，，v＝13.3厘米。

????????從計算所得的結(jié)果知道：象的位置是在距離凹鏡頂點 13.3 厘米的地方，象距 v 是正值，說明象是實象，所以它一定是倒立的，和物體同在鏡面的一側(cè)。從已知條件 u＞R 來看，這個結(jié)果也是合理的。

例3.有一個物體放在離開球面鏡的頂點 R/4 的地方，R 是球面鏡的半徑，這時在鏡面的另一側(cè)離開頂點 10 厘米的地方，成一正立、縮小的象，問這個球面鏡是凸鏡還是凹鏡？為什么？這個球面鏡的焦距又是多大？

【解】

????????根據(jù)題意，已知物距 u 和象距 v，要求出 f 和判斷鏡是凸鏡還是凹鏡。由于題意沒有直接說明象是實象還是虛象，所以不能直接看出象距 v 是正值還是負值；由于不知道球面鏡是凸鏡還是凹鏡，所以也就不知道焦距 f 的正負，這樣，直接代入成象公式中去計算是有困難的，所以在具體計算以前，應(yīng)該根據(jù)題意判斷出象的性質(zhì)和鏡的種類，然后再計算焦距。

????????因為物體離開頂點的距離是 R/4，而焦點離開球面鏡頂點的距離總是 R/2，所以知道物體是放在球面鏡的焦點以內(nèi)的，同時根據(jù)成的象是正立的，可以判斷出這個象是虛象；又因為這個象是縮小的虛象，可以斷定這個球面鏡是凸鏡而不是凹鏡。（凹鏡所成的虛象總比原物大，只有凸鏡所成的虛象才比原物?。?/p>

????????已知：u＝R/4，v＝－10厘米，f＝－R/2；代入成象公式?，即 ? ，? ，，R＝60；厘米。

從計算的結(jié)果知道，這個凸鏡的焦距是30厘米。

習題3-4

1、用直尺和量角器，完成下列各光路圖：

(1)求發(fā)光點 A 在平面鏡中所成的象（附圖(a)）。

(2)求凹鏡主軸上發(fā)光點 A 的象（附圖(b)）。

(3)求凹鏡所成的物體的象（附圖(c)）。

(4)求凹鏡主軸上（焦點以內(nèi)）發(fā)光點 A 的象（附圖(d)）。

(5)求凸鏡主軸上發(fā)光點 A 的象（附圖(e)）。

2、試用直尺完成下列各光路圖：

(1)求凹鏡所成物體的象（附圖(a)）。

(2)求凹鏡所成物體的象（附圖(b)）。

(3)求凹鏡所成物體的象（附圖(c)）。

(4)從焦點 F 發(fā)出的光束，經(jīng)凹鏡反射后的光路（附圖(d)）

(5)求凸鏡所成物體的象（附圖(e)）。

(6)會聚于焦點 F 的會聚光束經(jīng)凸鏡反射以后的光路（附圖(f)）。

3、附圖中A是一個發(fā)光點，A' 是 A 經(jīng)球面鏡反射以后所成的象，橫線是這個球面鏡的主軸，試判斷這個球面鏡是凹鏡還是凸鏡？為什么？并通過作圖求出鏡的頂點、球心和焦點的位置。

4、人站在平面鏡的前面，如果人向著鏡面移近 1 米，這時候人跟平面鏡中所成的象的距離將比原來近多少？為什么？

5、在墻上掛著一個 1 米高的平面鏡，人站在離平面鏡 2 米遠的地方，如果人的頭部位置保持不動，那么，他在鏡子里能夠看見自已后面離鏡子 4 米遠的墻壁上多高一段范圍？

6、有一個凹鏡半徑是 50 厘米，平行光束沿著與主軸平行的方向射到這個凹鏡上來，問這束光線反射以后相交在距離鏡面多遠的地方？【25厘米】

7、有一個凹鏡半徑是 40 厘米，物體放在距離鏡面 30 厘米的地方，問象應(yīng)當成在什么位置？象是實象還是虛象？是正立的象還是倒立的象？【v=60厘米，倒立的實象】

8、把物體分別放在凹鏡的 2f 和 3f 的地方，象應(yīng)當各成在什么位置？【v=2f，v=3f/2】

9、凸鏡的焦距也可以用下面的方法來測定：以寬度為 a 的平行光束，射到凸鏡上，經(jīng)反射以后變成為發(fā)散光束，又投射到距離凸鏡為 l 的墻上，這時光束的寬度為 b，試證明：? 。

10、一個物體放在離開球面鏡 20 厘米遠的地方，這時在鏡面的另一側(cè)離開頂點 10 厘米的地方，形成一個正立的、縮小的虛象，試判斷這個球面鏡是凸鏡還是凹鏡？焦距是多大？并作圖驗證。【凸鏡，f=－20厘米】

11、一個物體放在球面鏡前面 20 厘米的地方，所成的象跟物體在鏡面的同一側(cè)，距離鏡面 40 厘米，試判斷這個球面鏡是凸鏡還是凹鏡？焦距是多大？并作圖驗證。如果所成的象是在鏡面的另一側(cè)，距離鏡面也是 40 厘米，那么這個球面鏡是凸鏡還是凹鏡？焦距又是多大？作圖驗證并且和前面的光路圖相比較。【凹鏡，f=13.3厘米；凹鏡，f=40厘米】

12、物體放在距離凹鏡 10 厘米遠的地方，已知球心在物體以外 40 厘米遠的地方，試用作圖法求出象的位置，并用計算的結(jié)果來驗證?！緑=－16.7厘米】