第十三章 中值定理（1）——費馬引理

一、知識點

1. 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)——中值定理：
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   02:17

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2. 中值定理的本質(zhì)：建立函數(shù)f與導(dǎo)數(shù)f'之間的關(guān)系。
3. 整個中值定理推理結(jié)構(gòu)圖：
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   03:22

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4. 費馬引理（函數(shù)極值點的必要條件）
5. 羅爾定理
6. 拉格朗日中值定理（柯西中值定理的特例）
7. 柯西中值定理（拉格朗日的推廣）
8. 泰勒中值定理
9. 函數(shù)的極值點與極值：
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   04:31

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10. x0是極值點的前提：在x0這點的鄰域內(nèi)有定義。（鄰域不強(qiáng)調(diào)大小，只要存在即可）
11. 極值點：指的是自變量x的取值。（與拐點區(qū)分開來，拐點要寫完整坐標(biāo)）
12. 極值是一個局部概念，強(qiáng)調(diào)局部性、鄰域內(nèi)。
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    10:42

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13. 探討極值點的必要條件：
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    13:44

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14. 可能為極值點=>f'(x0)=0【駐點】，或f'(x0)不存在【不可導(dǎo)點】
15. 強(qiáng)調(diào)：這是必要非充分條件。
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    25:39

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16. 駐點未必是極值點
17. 不可導(dǎo)點未必是極值點
18. 費馬引理：
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    28:38

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19. 內(nèi)容：設(shè)f(x)在點x0某鄰域內(nèi)有定義，且在x0處可導(dǎo)，若x=x0為極值點，則f'(x0)=0.
20. 費馬引理是整個中值定理推理的邏輯起點
21. 費馬引理提供了證明一點導(dǎo)數(shù)為0的一個思路：證明函數(shù)的最值在區(qū)間內(nèi)取到，則該最值點就是極值點。如果函數(shù)可導(dǎo)，則該點導(dǎo)數(shù)為0.

二、證明

1. 證明極值點的必要條件：
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   16:01

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   （利用極限的保號性）
2. 證明導(dǎo)數(shù)零點定理：
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   35:18

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3. 定理內(nèi)容見圖1.
4. 視頻中提及的相關(guān)定理在第八講
5. 推論：
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   46:05

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6. 如果f'(x)不等于0 => 則f'(x)保號（恒正或恒負(fù)）
7. 證明“如果f'(x)不等于0 => 則f'(x)保號（恒正或恒負(fù)）”：
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   48:41

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8. 可以用三種方法解：
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   49:35

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   （費馬、零點+羅爾、拉格朗日中值定理(看到題中有三個點)+導(dǎo)數(shù)零點定理）
9. 第一次看完全沒思路：
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   57:25

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   （多看幾遍）
10. 還沒有看解題思路，題見圖2.自己嘗試嘗試再看。

圖1：導(dǎo)數(shù)零點定理：

圖2：