一、理論基礎(chǔ)

假如分析(0,0)點

（1）判斷是否連續(xù)

只需要分析lim(x→0，y→0)f(x,y)是否等于f(0,0)

（2）判斷偏導(dǎo)是否存在

只需要分析fx(0,0)=lim(x→0)[f(x,0)-f(0,0)]/x是否存在。故在題中原極限式令y=0加以分析。分析fy(0,0)同理，在原式中令x=0。

（3）判斷偏導(dǎo)是否連續(xù)

求fx(x,y)和fy(x,y)，判斷l(xiāng)im(x→0,y→0)fx(x,y)是否等于fx(0,0)，lim(x→0,y→0)fy(x,y)是否等于fy(0,0)）

（4）判斷是否可微

①如果兩個偏導(dǎo)數(shù)不存在，則不可微；任意一個偏導(dǎo)數(shù)不存在即可推不可微。

②如果偏導(dǎo)連續(xù)，則可微；如果偏導(dǎo)不連續(xù)，不能推出不可微。

③如果lim(x→0,y→0)[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/√(x2+y2)=0，根據(jù)可微定義的極限形式可知此時可微，其中A=fx(0,0)，B=fy(0,0)。顯然滿足f(x,y)=f(0,0)+Ax+By+o(√(x2+y2))

二、具體事例

1、

（1）是否連續(xù)

x2+y2為無窮小，sin[1/√(x2+y2)]有界，故lim(x→0,y→0)f(x,y)=0=f(0,0)。

所以，連續(xù)。

（2）偏導(dǎo)是否存在

同理，fy(0,0)=0，也存在。

所以，兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在。

（3）偏導(dǎo)是否連續(xù)

所以，兩個偏導(dǎo)都不連續(xù)。

（4）是否可微

所以，可微。

上述是一個典型的偏導(dǎo)不連續(xù)但可微的例子。