“親愛(ài)噠，今天是什么日子鴨？”

“當(dāng)然知道啦~”

“那你還不表示表示？”

“因?yàn)槲以缫褱?zhǔn)備好——水果派！”

“？？”

（白色情人節(jié)是要吃水果派嗎？）

“今天是π day耶~

π day 吃派，誰(shuí)都不愛(ài)~”

？！

?。?/p>

∵ π ≈ 3.14

∴ 3月14日又稱“π日”（Pi Day）,證完.

01?π Day 的來(lái)源

很久很久以前——1988年3月14日，在舊金山科學(xué)博物館，物理學(xué)家Larry Shaw帶頭整活——讓大家繞博物館紀(jì)念碑轉(zhuǎn)了3又1/7圈（π的近似值），然后一起吃了水果派（派，即π）。從此以后，這就成了舊金山科學(xué)博物館的傳統(tǒng)。2019年11月26日，聯(lián)合國(guó)科教文組織正式宣布3月14日為“國(guó)際數(shù)學(xué)日”，旨在慶祝“數(shù)學(xué)在我們?nèi)粘Ｉ钪械拿利惻c重要”，所以今年是第三個(gè)“國(guó)際數(shù)學(xué)日”哦~

02?人與人吃pi的方式并不相同

同一個(gè)世界同一個(gè)π——世界的圓不論大小，它的周長(zhǎng)與直徑的比值都是一樣的；然而不同的人有著不同的“吃法”。今天，我們就來(lái)盤點(diǎn)一下，那些經(jīng)典的吃piπ方法。

幾何人：我愛(ài)夾心派

幾何人最經(jīng)典的“割圓法”有著悠久的歷史。以古希臘的數(shù)學(xué)家阿基米德（前287年-前212年）為代表，他在一個(gè)圓里做內(nèi)接正多邊形。隨著邊數(shù)的增加，這個(gè)正多邊形將越來(lái)越接近圓。因此，只要算出正多邊形的周長(zhǎng)，再除以圓的直徑，便能得到π的近似值。由于兩點(diǎn)之間直線段比曲線段更短，所以內(nèi)接多邊形的周長(zhǎng)一定小于圓的周長(zhǎng)——因此，由內(nèi)接正多邊形算出來(lái)的，一定是π的下界。同理，若在圓外做外切正多邊形，便能得到π的上界。真正的π，就在兩者之間。

阿基米德一直劃分到了96邊形，得到的π值在3.1408和3.1429之間——這個(gè)精度已經(jīng)可以解決許多實(shí)際問(wèn)題了。值得一提的是，公元480年左右，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之用這個(gè)方法將π值精確到了小數(shù)點(diǎn)后7位，這個(gè)記錄持續(xù)了近800年。就這樣，人類在劃分正多邊形的路上一去不復(fù)返——16世紀(jì)的荷蘭數(shù)學(xué)家魯?shù)婪蚪K其一生，將π算到了小數(shù)點(diǎn)后35位。這對(duì)應(yīng)的正多邊形的邊數(shù)達(dá)到了2^62——也就是正4611686018427387904邊形。

當(dāng)然，算完這個(gè)的魯?shù)婪蛞彩欠浅Ｓ谐删透?，還把3.14159265358979323846264338327950288刻在了自己的墓碑上。這也是為什么，今天德國(guó)人常常稱圓周率為“魯?shù)婪驍?shù)”。

分析人：我愛(ài)無(wú)窮派

幾何人的割圓法簡(jiǎn)單直觀，就是太——費(fèi)勁。所以到了1666年，23歲的牛頓引入了一種全新的方法后，沒(méi)有人再執(zhí)著于割圓了。彼時(shí)彼刻正如此時(shí)此刻——疫情橫行（英國(guó)瘟疫爆發(fā)），賦閑在家的牛頓就尋思：整點(diǎn)啥活呢？那就從最簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式開(kāi)始吧：

這是當(dāng)時(shí)的人們已經(jīng)知道的二項(xiàng)式定理，但認(rèn)為n只能取正整數(shù)。所以牛頓想要拓展它，去尋找新的邊界。

其實(shí)觀察一下系數(shù)的形式不難發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)才是有限的；所以，當(dāng)牛頓把n換成了負(fù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)后，本來(lái)是有限項(xiàng)的二項(xiàng)式，就變成了一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)。在證明了n的確可以取負(fù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)后，他非常開(kāi)心——因?yàn)樗X海里還有另一個(gè)方程：

也就是

牛頓：艾瑪，這不就是我的二項(xiàng)式定理嘛（

所以，當(dāng)二項(xiàng)式定理中的n取1/2，x換為(-x2)時(shí)，就有了y的無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá)式：

可是這和π有什么關(guān)系呢？還記得“流數(shù)術(shù)”嗎——也就是微積分，牛頓剛好在前一年把它提出來(lái)。這不，趁熱將微積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)配合食使用：左邊將y從0→1積分，得到1/4個(gè)圓的面積，也就是π/4；而右邊每一項(xiàng)，都是簡(jiǎn)單的冪函數(shù)求積分。積分后就能得到π的無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá)式，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后任意位數(shù)：

從此以后，π的求解打開(kāi)了新世界的大門。

利用三角/反三角函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式，π的計(jì)算得到了更簡(jiǎn)練、也更實(shí)用（更快收斂）的表達(dá)。其中，最具應(yīng)用價(jià)值的應(yīng)該是1706年，英國(guó)數(shù)學(xué)家梅欽（John Machin）提出“梅欽公式”，直接將π值的計(jì)算突破100位小數(shù)大關(guān)：

接下來(lái)，許多“類梅欽公式”如同雨后春筍般涌出，形式與上式一致，僅僅是系數(shù)和項(xiàng)數(shù)的調(diào)整。人工計(jì)算圓周率的最高紀(jì)錄是π的小數(shù)點(diǎn)后808位，由弗格森（英）和倫奇（美）于1948年共同發(fā)表。

計(jì)算機(jī)：吃得越多越能耐

緊接著自然而然地，到了計(jì)算機(jī)時(shí)代。然后自然而然地，人類開(kāi)擺，計(jì)算機(jī)開(kāi)始比賽！這里小編為大家羅列了一部分里程碑事件:

1950年，世界第一臺(tái)電腦ENIAC計(jì)算出π的2037個(gè)小數(shù)位，用時(shí)70小時(shí)；

1955年，海軍兵器研究計(jì)算機(jī)IBM NORC 計(jì)算出π的3089個(gè)小數(shù)位，用時(shí)13分鐘；

1973年，電腦CDC 7600 計(jì)算出π的100萬(wàn)個(gè)小數(shù)位；

1989年，巨型電子計(jì)算機(jī)Cray-2和IBM-3090/VF計(jì)算出π的4.8億個(gè)小數(shù)位；

2010年，日本科學(xué)家近藤茂將家用計(jì)算機(jī)與云計(jì)算結(jié)合，計(jì)算出π的5萬(wàn)億個(gè)小數(shù)位；

2019年3月，谷歌工程師愛(ài)瑪利用谷歌云平臺(tái)計(jì)算出π的31415926535897個(gè)小數(shù)位（約31.4萬(wàn)億），歷時(shí)4個(gè)月；

2021年8月，瑞士DAViS團(tuán)隊(duì)創(chuàng)下最新記錄，將π計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后62.8萬(wàn)億位，歷時(shí)108天。

眼瞅著這精度逐漸走向離譜......其實(shí)對(duì)計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，π究竟是多少無(wú)所謂的，重要的還是通高精度計(jì)算來(lái)測(cè)試計(jì)算機(jī)處理能力。如果你還好奇計(jì)算機(jī)是用什么公式計(jì)算π的，歡迎快進(jìn)到參考文獻(xiàn)[9]，試試用自己的電腦能不能算叭！

π：沒(méi)戳，我的精度就是(電腦的標(biāo))尺！

物理人：一切皆可派

在物理人眼里，π是多少也無(wú)所謂，重要的還是和小滑塊一起玩（bushi

所以， 我們是否可以讓小滑塊自己撞出一個(gè)π來(lái)呢？

假設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊在一光滑水平面上，左邊是墻，右邊是一個(gè)質(zhì)量為M = Nm的大物塊（N > 1)。假設(shè)向左為正方向，碰撞為完全彈性碰撞。初始狀態(tài)下，小物塊靜止，大物塊速度為v > 0。假設(shè)小物塊與大物塊第i 次碰撞后，二者的速度分別為為ui和vi, 于是第i 次小物塊與墻壁碰撞后速度為?ui。

由能量守恒定理：

我們發(fā)現(xiàn)第二個(gè)方程是一個(gè)形如x2+y2=1的圓方程，這意味著每一次碰撞后的大小物塊的速度，都對(duì)應(yīng)單位圓上的一個(gè)點(diǎn)。設(shè)

于是大小物塊運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就在單位圓上折返前行,從最右側(cè)到最左側(cè)。

接下來(lái)要求這個(gè)過(guò)程中小物塊總的碰撞次數(shù)，這個(gè)運(yùn)用一下動(dòng)量守恒定理就ok啦：

由此可以看出，相位角α在每次碰撞后都改變了相同的角度！因此，單位圓會(huì)被這些狀態(tài)點(diǎn)按角度均勻分割。當(dāng)N →∞時(shí)，

有

這里我們考慮到半圓對(duì)應(yīng)的相位角為π, 當(dāng)狀態(tài)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相位角α增加到π 時(shí)，碰撞過(guò)程就停止了，i就是總的大小物塊間的碰撞次數(shù)。需要注意，因?yàn)榕鲎泊螖?shù)i只能取整數(shù)，所以第二個(gè)等式只是近似相等。

由上面的公式，小物塊與大物塊的碰撞總次數(shù)為0.5πN, 而小物塊與墻也會(huì)碰撞這么多次，所以整個(gè)過(guò)程中，小物塊碰撞次數(shù)為πN。當(dāng)N取100的冪次方倍時(shí)，小物塊的碰撞次數(shù)就會(huì)顯示出圓周率啦。

喵星人：吃派屬于常態(tài)

終于，在小編要收工的時(shí)候，衛(wèi)生間里傳來(lái)了一陣熟悉的詭秘聲音——

以前總覺(jué)得這是“沒(méi)有一只貓咪抵擋得住衛(wèi)生卷紙的誘惑”；而今天看來(lái)……貓咪極有可能是在計(jì)算π！所用的公式大概就是——卷紙的總長(zhǎng)度為

其中n為卷紙的層數(shù)（中間變量），

算得

l——卷紙總長(zhǎng)度

R——卷紙外徑

r——卷紙內(nèi)徑

t——單張卷紙厚度

所以只要測(cè)出了以上四個(gè)量，就能估計(jì)π值了！所以貓主子咬卷紙=測(cè)量卷紙半徑R和r，貓主子把卷紙纏身上=測(cè)量卷紙總長(zhǎng)度l——貓主子喜歡玩卷紙的謎團(tuán)解開(kāi)，以后請(qǐng)不要打擾它！

寫在最后

看到這里的都是真愛(ài)

話不多說(shuō)

就讓我們一起

吃個(gè)pi慶祝一下吧~

參考文獻(xiàn)

1. 高質(zhì)量科普：人類是如何計(jì)算出圓周率的？（雙語(yǔ)字幕）_嗶哩嗶哩_bilibili

2. 【官方雙語(yǔ)】為什么方塊碰撞能夠用來(lái)計(jì)算π？_嗶哩嗶哩_bilibili

3. What is Pi? | Pi Day

4. 魯?shù)婪颉し丁た埔羵恄百度百科 (baidu.com)

5. 國(guó)際圓周率日_百度百科 (baidu.com)

6. $pi$ and its computation through the ages (free.fr)

7. The constant (free.fr)

8. The geometric period (free.fr)

9. y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program (numberworld.org)

10. 超級(jí)計(jì)算機(jī)歷時(shí)108天創(chuàng)下紀(jì)錄 圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后62.8萬(wàn)億位_新聞?lì)l道_央視網(wǎng)(cctv.com)

11. 圓周率（圓的周長(zhǎng)與直徑的比值）_百度百科 (baidu.com)

12. 圓周率π的發(fā)展歷史，人類為何對(duì)它如此癡迷？- 知乎 (zhihu.com)

特別鳴謝：平平無(wú)奇小葉榕, Eric

表情包來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)

編輯：蕉