? ? 先問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（x，y）向右平移三個(gè)單位，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？明顯小學(xué)二年級(jí)都知道是（x+3，y）

那么我們把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移三個(gè)單位，得到的解析式是什么呢？根據(jù)基本函數(shù)變換知識(shí)，明顯答案是y=f（x-3）

? ? 問(wèn)題來(lái)了，同樣是向右平移三個(gè)單位，為什么點(diǎn)的平移與函數(shù)圖像的平移存在不同呢？

? 我們先用兩個(gè)具體函數(shù)y?=x?2與y?=（x?-3）2來(lái)研究一下這個(gè)問(wèn)題。

如圖，我們隨便代幾個(gè)點(diǎn)，當(dāng)x?=1時(shí)，y?=12=1，x?=4時(shí)，y?=（4-1）2=12=1；當(dāng)x?=0時(shí)，y?=0，x?=3時(shí)，y?=（3-3）2=0

有沒(méi)有感受到什么？當(dāng)x?=x?+3時(shí)，二者的函數(shù)值剛好相同，而（x?+3，y）剛好是（x?，y）向右平移后的點(diǎn)，將圖象上的所有點(diǎn)都向右平移，結(jié)果就是整個(gè)圖象向右平移，而在這個(gè)過(guò)程中，解析式中“x-3”的作用就是與點(diǎn)的變換中的“x+3”抵消掉，這樣說(shuō)未免有點(diǎn)抽象，于是我們可以把這個(gè)概念提煉出來(lái)。

定義：f?1（x）為f（x）的“逆運(yùn)算”，滿足關(guān)系式f?1（f（x））=x

如：若f（x）=x+3，∵（x+3）-3=x，∴f?1（x）=x-3

這樣我們就將上面抽象的概念賦予了具體的符號(hào)與運(yùn)算。

? 下面我們真正開始研究一般曲線的圖象變換

? 平面直角坐標(biāo)系中的曲線都可以寫成f（x，y）=0的形式，曲線上的任意一點(diǎn)都是方程f（x，y）=0的解， 方程f（x，y）=0的解都是曲線上的點(diǎn)。

? 那么f（x，y）=0與f［a（x），b（y）］的圖象有何聯(lián)系呢？

?假設(shè)點(diǎn)（x，y）在f（x，y）=0的圖象上，即f（x，y）=0，那么f（a（a?1（x）），b（b?1（y）））=f（x，y）=0，所以點(diǎn)（a?1（x），b?1（y））在方程f（a（x），b（y））=0的圖象上

不難看出，f（a（x），b（y））=0的圖象是由f（x，y）=0的圖象經(jīng)過(guò)a?1（x），b?1（y）所對(duì)應(yīng)的幾何變換得到的

有同學(xué)可能感到有點(diǎn)奇怪，為什么我上面的定義逆運(yùn)算函數(shù)f?1（x）跟反函數(shù)的符號(hào)一模一樣。其實(shí)這兩者是一個(gè)東西，下面我們給出證明

假設(shè)（x?，y?）是函數(shù)y=f（x）上的一點(diǎn)，則y?=f（x?），兩邊同時(shí)新定義的“逆運(yùn)算”，則f?1（y?）=x?，所以（y?，x?）在函數(shù)y=f?1（x）上，這不就是反函數(shù)嗎？

我們研究一下剛剛的y=x+3與y=x-3就會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)他們兩個(gè)也互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱

下面給出幾種常見的點(diǎn)的幾何變換對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變換

①左右平移a個(gè)單位，（x，y）→（x±a，y），左加右減。

②上下平移a個(gè)單位，（x，y）→（x，y

±a），上加下減。

③關(guān)于y軸對(duì)稱，（x，y）→（-x，y）。

④關(guān)于x軸對(duì)稱，（x，y）→（x，-y）。

⑤關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（x，y）→（-x，-y）。

⑥繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，（x，y）→（xcosα-ysinα，xsinα+ycosα）。

下面是函數(shù)圖象變換所對(duì)應(yīng)的解析式變換

①左右平移a個(gè)單位，y=f（x）→y=f（x±a），左減右加。

②上下平移a個(gè)單位，y=f（x）→y±a=f（x），上減下加。

③關(guān)于y軸對(duì)稱，y=f（x）→y=f（-x）。

④關(guān)于X軸對(duì)稱，y=f（x）→-y=f（x）（即y=-f（x），有沒(méi)有覺得和偶函數(shù)一模一樣）。

⑤關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y=f（x）→-y=f（-x）（即y=-f（x），有沒(méi)有覺得和奇函數(shù)一毛一樣）。

⑥將y軸右半部分的圖象沿y軸翻折，y=f（x）→y=f（|x|）。

⑦將圖像在水平方向拉長(zhǎng)a倍，y=f（x）→y=f（x/a）。

⑧繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，y=f（x）→ycosα-xsinα=f（xcosα+ysinα）。

在實(shí)際問(wèn)題中，往往還涉及以上變換的復(fù)合。例如f（-x+1）。 此類問(wèn)題的原則是：先計(jì)算離X較遠(yuǎn)的，在計(jì)算離X較近的（先遠(yuǎn)后進(jìn)）。

那么什么叫遠(yuǎn)近呢？先跟X進(jìn)行運(yùn)算算近，后跟X發(fā)生運(yùn)算算遠(yuǎn)。例如f（-x+1）中， X先跟-1進(jìn)行運(yùn)算，然后再+1，因此它是由f（x）先向左平移一個(gè)單位，然后再沿y軸對(duì)稱得到的。

也可以由復(fù)合函數(shù)角度來(lái)理解，令f（x）=-x，g（x）=x+1，則h（x）=-x+1=g（f（x）），h?1（x）=f?1（g?1（x））【讀者自證不難】，所以也是先向左平移，再對(duì)稱

下面給道練習(xí)，f[-（2x+3）] 是由f（x）經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的

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答案：先沿y軸對(duì)稱，再向左平移三個(gè)單位，最后將圖像壓縮到1/2倍

你答對(duì)了嗎？

再看一下實(shí)際應(yīng)用

原題等價(jià)于已知x?+x?=0，求f（x?）+f（x?）

將兩邊同時(shí)向左移1/2個(gè)單位，得到f（x）=-f（-x），故f（x）為奇函數(shù)，故選b

也可以像下面這么做

因?yàn)閒（x-0.5）=-f（0.5-x）=-f（-（x-0.5））

所以f（x）為奇函數(shù)。

注意，此題容易有以下錯(cuò)解

因?yàn)閒（x-0.5）=-f（0.5-x）=-f（-（x-0.5））

所以f（x-0.5）為奇函數(shù)，所以f（x）關(guān)于（-0.5,0）對(duì)稱，故選a。

錯(cuò)因：f（x-0.5）中自變量為x，當(dāng)你把x-0.5當(dāng)成自變量時(shí)，f（x-0.5）其實(shí)和f（x）沒(méi)有區(qū)別，所以得到的結(jié)果是f（x）為奇函數(shù)。

我們其實(shí)還可以用這個(gè)東西來(lái)弄個(gè)愛心桃（可以看看我8月發(fā)的專欄）

好了，本期到此結(jié)束，有問(wèn)題可以私信或加Q1748475972，求贊?(●′?`●)?