這篇文章介紹 Reed-Muller 碼的第三種構造方法，通過計算出生成矩陣來做編碼。這個方法通過遞推的方式來計算生成矩陣，可以看成是一種遞推方法(Recursive).

（視頻在：https://www.bilibili.com/video/BV1k14y1c7xG/）

?Reed-Muller 碼是記為 R(r,m)，對應的生成矩陣，記為 G(r,m)，則計算生成矩陣的遞推公式為：

公式 (1) 中的遞推的結束條件是有兩種，一個是碰到 R(r=m,m) 的生成矩陣 G(r=m,m)，另外一個是碰到 R(0,m) 的生成矩陣 G(0,m).

在前面的文章中我們分析過，R(m,m) 這個編碼器，其輸入的比特數(shù)量等于輸出的比特數(shù)量，都是 ，所以相當于沒有編碼，那么，沒有編碼的 "編碼器"，其對應的生成矩陣就是一個單位矩陣，維度是

一個長度為 的輸入向量，乘以 G(m,m)，得到的還是輸入的向量。



而對于 R(0,m) 這個編碼器，是輸入一個符號，輸出重復的 個符號，則其生成矩陣為一個全 1 的行向量，長度為

輸入比特 0，乘以 G(0,m)? 得到一個全 0 的長度為 的序列；輸入比特 1， 乘以 G(0,m)? 得到一個全 1 的長度為 的序列，所以這是一個重復碼。



我們下面舉個例子來說明這個過程，我們以 R(2,4) 為例子，這樣可以與前面文章（本系列文章的第二個：第二種構造方法）中得到的生成矩陣做對比。

根據(jù) (1) 的遞推，我們有：

繼續(xù)遞推公式 (2) :

以及

再繼續(xù)遞推公式 (3) (4)

公式 (5) 中的:

以及：


把公式 (6) (7) 代入公式 (5) 有：
公式 (4) 中的

把公式 (8) (9) 代入公式 (4) 有：

公式 (3)? 中的:
把公式 (11) 和公式 (10) 代入公式 (3)有：

把公式 (12)(10) 代入公式 (2) :

在前面的文章中，我們通過第二種構造方法也得出了一個生成矩陣，如下：

表面上看 (13) 與 (14) 的結果不同，但是，其實都是 16 維空間中 的 11 維子空間中的基，只是選取的基不同。 (13) 式可以通過適當?shù)男凶儞Q，得到 (14).

我們把公式 (13) 中矩陣的各個行，記為 [1] [2],...., [11]，則 (14) 的矩陣就是：

所以，這兩個生成矩陣是等價的，雖然輸入相同的數(shù)據(jù)，得到的是不同的輸出，但是，他們在性能上，結構上是完全等價的。