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A-1-1相對運(yùn)動(2/2)

2023-08-28 13:43 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

1.1.2 運(yùn)動的分解與合成

由矢量的加減可知，任何一個矢量都可以寫成另外兩個分矢量之和。如果我們確定了分矢量的方向，其大小很容易由平行四邊形法則確定。

比如，已知位移 $%5Cvec%20x$ 的兩個分量沿著 $%5Cvec%20x_1$ 和 $%5Cvec%20x_2$ 的方向，過點(diǎn) $C$ 分別作 $%5Cvec%20x_1$ ， $%5Cvec%20x_2$ 的平行線，可得沿著兩個方向的位移分別為 $%5Coverrightarrow%7BOA%7D$ 和 $%5Coverrightarrow%7BOB%7D$ .

相應(yīng)的， $%5Cvec%20v$ 和 $%5Cvec%20a$ 也可以沿這兩個方向分解。

這意味著任何一個運(yùn)動都可以分解為兩個方向的直線運(yùn)動。我們把物體的實(shí)際運(yùn)動稱為合運(yùn)動，分解后的運(yùn)動稱為分運(yùn)動，兩個分運(yùn)動之間互不影響。

需要注意的是，當(dāng)我們討論 $C$ 沿著 $OA$ 方向的位移時，由于

$%5Cvec%20x%3D%5Cvec%20x_1%2B%5Cvec%20x_2$

各自沿 $OA$ 的投影也滿足相等關(guān)系：

$%5Cvec%20x_%7BOA%7D%3D%5Cvec%20x_%7B1OA%7D%2B%5Cvec%20x_%7B2OA%7D$

可以看出，物體實(shí)際位移沿 $OA$ 的投影，不只跟 $x_1$ 有關(guān)，跟 $x_2$ 也有關(guān)。

特別的，當(dāng) $OA$ 垂直 $OB$ 時， $OB$ 分位移沿 $OA$ 投影為0，此時物體沿 $OA$ 的運(yùn)動只與 $OA$ 分運(yùn)動有關(guān)。這樣的分量互相垂直的分解方式稱為正交分解。

比如平拋運(yùn)動，可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動，和豎直方向的自由落體運(yùn)動。此時水平位移只與水平運(yùn)動有關(guān)，豎直位移也只與豎直運(yùn)動有關(guān)。

靜止參考系

小河的兩岸平行，且相距 $d$ .河水速度為 $v_1$ .小船在靜水中航行速度為 $v_2$ ，小船從岸邊向河對岸劃去，想以最短時間過河，求過河的時間。

跟之前那道題不同，這道題是求最短時間。

我們可以把物體的實(shí)際運(yùn)動分解為垂直河岸的運(yùn)動和平行河岸的運(yùn)動，其中渡河時間僅由垂直河岸的運(yùn)動決定

$v_%7B%E8%88%B9%5Cperp%7D%3Dv_%7B%E6%B0%B4%5Cperp%7D%2Bv_%7B%E8%88%B9%E6%B0%B4%5Cperp%7D$

已知 $v_%7B%E6%B0%B4%5Cperp%7D%3D0$ ， $v_%7B%5Cperp%7D%3Dv_%7B%E8%88%B9%E5%AF%B9%E6%B0%B4%5Cperp%7D$ ，故垂直河岸的速度最大就是 $v_2$ ，最短時間 $t%3D%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bv_2%7D$ .

某物體沿著兩個方向的速度分別為 $v_1$ 和 $v_2$ ，且兩方向之間夾角為 $%5Calpha$ ，求物體實(shí)際速度大小。

注意：我們在討論沿著某個方向的速度時，做的是正交分解。所以這道題其實(shí)是將實(shí)際速度做了兩次正交分解。第一次沿 $v_1$ 和垂直 $v_1$ 分解，第二次沿 $v_2$ 和垂直 $v_2$ 分解，所以實(shí)際速度矢量的終點(diǎn)，既在過 $B$ 點(diǎn) $v_1$ 的垂線上，又在過 $C$ 點(diǎn) $v_2$ 的垂線上，即為 $AD$ .由幾何關(guān)系， $A%2CB%2CC%2CD$ 四點(diǎn)共圓， $AD$ 是對應(yīng)外接圓的直徑，故由正弦余弦定理得：

$AD%3D%5Cdfrac%7BBC%7D%7B%5Csin(%5Cpi-%5Calpha)%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Bv_1%5E2%2Bv_2%5E2-2v_1v_2%5Ccos%5Calpha%7D%7D%7B%5Csin%5Calpha%7D$

運(yùn)動參考系

有時會遇到多個物體參與運(yùn)動的情況，這時我們可以將相對運(yùn)動進(jìn)行分解：

如圖所示，三位芭蕾演員同時從邊長為l的三角形頂點(diǎn) $A%E3%80%81B%E3%80%81C$ 出發(fā)，以相同的速率 $v$ 運(yùn)動，運(yùn)動中始終保持 $B$ 朝著 $A$ ， $A$ 朝著 $C$ ， $C$ 朝著 $B$ ．試問：

（1）經(jīng)多少時間三人相聚？（2）相聚時每個演員跑了多少路程？

如圖，我們研究 $B$ 相對 $A$ 的運(yùn)動，則

$%5Cvec%20v_%7BBA%7D%3D%5Cvec%20v_%7BB%7D%2B(-%5Cvec%20v_A)$

以 $BA$ 方向?yàn)?img type="latex" class="latex" src="https://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=x" alt="x">方向，垂直 $BA$ 方向?yàn)?img type="latex" class="latex" src="https://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y" alt="y">方向，此時 $B$ 相對 $A$ 的運(yùn)動可以分別沿著 $x%2Cy$ 方向分解， $x$ 方向的運(yùn)動使得 $AB$ 距離縮短， $y$ 方向的運(yùn)動使得 $B$ 繞著 $A$ 轉(zhuǎn)動。其中 $x$ 方向縮短距離的速度