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A-1-1相對(duì)運(yùn)動(dòng)(1/2)

2023-08-28 13:42 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過(guò) | 我要投稿

1.1.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)

牽連運(yùn)動(dòng)

我們先來(lái)看一個(gè)例子：

如圖，陰影長(zhǎng)方形以速度v_1向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)相對(duì)長(zhǎng)方形以v_2沿著AE做勻速直線運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)的實(shí)際軌跡如圖，也是勻速直線運(yùn)動(dòng)。

從位移開(kāi)始分析，由矢量的運(yùn)算易得

$%5Coverrightarrow%7BOC%7D%3D%5Coverrightarrow%7BOA%7D%2B%5Coverrightarrow%7BAC%7D$

這里其實(shí)對(duì)應(yīng)2個(gè)參考系，一個(gè)是地面靜止參考系，一個(gè)是長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)參考系。我們一般將 $%5Coverrightarrow%7BOC%7D$ 稱(chēng)為絕對(duì)位移， $%5Coverrightarrow%7BAC%7D$ 稱(chēng)為相對(duì)位移， $%5Coverrightarrow%7BOA%7D$ 稱(chēng)為牽連位移。即

$%5Cvec%20x_%7B%E7%BB%9D%E5%AF%B9%7D%3D%5Cvec%20x_%7B%E7%9B%B8%E5%AF%B9%7D%2B%5Cvec%20x_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D$

由于上述等式恒成立，我們可以將等式兩側(cè)同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：

$%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20x_%7B%E7%BB%9D%E5%AF%B9%7D%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20x_%7B%E7%9B%B8%E5%AF%B9%7D%7D%7Bdt%7D%2B%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20x_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D%7D%7Bdt%7D$

即

$%5Cvec%20v_%7B%E7%BB%9D%E5%AF%B9%7D%3D%5Cvec%20v_%7B%E7%9B%B8%E5%AF%B9%7D%2B%5Cvec%20v_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D$

同理，我們可以得出三者加速度之間的關(guān)系：

$%5Cvec%20a_%7B%E7%BB%9D%E5%AF%B9%7D%3D%5Cvec%20a_%7B%E7%9B%B8%E5%AF%B9%7D%2B%5Cvec%20a_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D$

其中 $%5Cvec%20x_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D%EF%BC%8C%5Cvec%20v_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D%EF%BC%8C%5Cvec%20a_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D$ 均由于參考系的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致。

同時(shí)考慮位移、速度、加速度時(shí)，則有

絕對(duì)運(yùn)動(dòng)=相對(duì)運(yùn)動(dòng)+牽連運(yùn)動(dòng)

需要說(shuō)明的是，上面我們將等式兩側(cè)同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，默認(rèn)了不同參考系內(nèi)時(shí)間變化相同，即時(shí)間間隔是絕對(duì)的，這也是伽利略的想法，以后我們學(xué)習(xí)相對(duì)論之后，會(huì)對(duì)上述等式作相應(yīng)的修正。

參考系說(shuō)明

平動(dòng)參考系

所謂平動(dòng)，指的是物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上任兩點(diǎn)連線始終保持平行，此時(shí)物體上任一點(diǎn)軌跡都相同。在平動(dòng)參考系中，\vec x_{牽連}，\vec v_{牽連}，\vec a_{牽連}分別等于參考系自身的位移，速度和加速度。

轉(zhuǎn)動(dòng)參考系

轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的運(yùn)動(dòng)，比較復(fù)雜，我們放到圓周運(yùn)動(dòng)部分再作介紹。

靜止參考系

某人以 $2m%2Fs$ 的速度向正西方向跑時(shí)，感到風(fēng)來(lái)自正北。如他將速度增加一倍，則感到風(fēng)從正西北方向吹來(lái)，求風(fēng)速大小。

這里人感到風(fēng)的方向，指的是風(fēng)相對(duì)人的速度，所以我們選地面為靜止參考系，人為運(yùn)動(dòng)參考系，有

$%5Cvec%20v_%E9%A3%8E%3D%5Cvec%20v_%7B%E9%A3%8E%E5%AF%B9%E4%BA%BA%7D%2B%5Cvec%20v_%7B%E4%BA%BA%7D$

本題中人的速度已知，我們先畫(huà)一個(gè)向西的人的速度 $%5Cvec%20v%3D%5Coverrightarrow%7BAB%7D$ ，此時(shí)風(fēng)相對(duì)人速度方向向南，但是大小未知，我們過(guò)B作一條垂直于 $AB$ 的垂線，則風(fēng)速矢量的終點(diǎn)在這條垂線上。

當(dāng)人的速度變?yōu)?倍，

$2%5Cvec%20v%3D%5Coverrightarrow%7BAC%7D$

此時(shí)風(fēng)相對(duì)人速度方向?yàn)闁|南，過(guò)點(diǎn) $C$ 作一條南偏東45°的直線，則風(fēng)速矢量的終點(diǎn)也在這條直線上，由于前后過(guò)程風(fēng)速不變，風(fēng)速矢量的終點(diǎn)為一固定點(diǎn)，則兩條直線的交點(diǎn)即為風(fēng)速矢量的終點(diǎn)。 $v_%E9%A3%8E%3D%5Coverrightarrow%7BAD%7D$ ，由幾何關(guān)系得

$v_%E9%A3%8E%3D%5Csqrt%7B2%7Dv%3D2%5Csqrt%7B2%7Dm%2Fs$

這道題中蘊(yùn)含了算兩次的想法，這是我們后面經(jīng)常使用的方法，核心是將一個(gè)矢量用兩種方式表示，相當(dāng)于聯(lián)立了一個(gè)”矢量的方程“求解。

這道題中蘊(yùn)含的另一個(gè)想法是，我們?cè)诋?huà)矢量圖時(shí)，如果只知道一個(gè)矢量的方向，不知道其大小，在確定矢量的起點(diǎn)之后，我們可以用一條射線來(lái)表示矢量終點(diǎn)的所有可能位置，為后續(xù)的分析做準(zhǔn)備。

同樣的，如果我們只知道一個(gè)矢量的大小，不知道其方向，可以用一個(gè)圓來(lái)表示矢量終點(diǎn)的所有可能位置。

小河的兩岸平行，相距 $d$ .河水速度為 $v_1$ ，小船在靜水中航行速度為 $v_2$ ，小船從岸邊向河對(duì)岸劃去，求以最短航程過(guò)河時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間。

最短航程，是相對(duì)地面參考系而言。

$%5Cvec%20v_%E8%88%B9%3D%5Cvec%20v_%7B%E8%88%B9%E5%AF%B9%E6%B0%B4%7D%2B%5Cvec%20v_%E6%B0%B4$

這里

$%5Cvec%20v_%E6%B0%B4%3D%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D%5Cvec%20v_1$

$%5Cvec%20v_%7B%E8%88%B9%E5%AF%B9%E6%B0%B4%7D$ 的大小已知，方向未知，可以畫(huà)一個(gè)以 $B$ 為圓心，半徑為 $v_2$ 的圓， $C$ 點(diǎn)在圓上。此時(shí)畫(huà)出的矢量圖有兩種情況：

1.當(dāng) $v_2$ 大于 $v_1$ 時(shí)， $A$ 點(diǎn)在圓的內(nèi)部，航程最短為 $d$ ，此時(shí)實(shí)際速度垂直河岸

$v%3D%5Csqrt%7Bv%5E2_2-v%5E2_1%7D$

過(guò)河時(shí)間

$t%3D%5Cdfrac%7Bd%7D%7B%5Csqrt%7Bv%5E2_2-v%5E2_1%7D%7D$

2.當(dāng) $v_2$ 小于 $v_1$ 時(shí)， $A$ 點(diǎn)在圓的外部，航程最短時(shí)，對(duì)應(yīng) $%5Cangle%20BAC$ 最大，此時(shí)實(shí)際速度剛好與圓相切， $v%3D%5Csqrt%7Bv%5E2_1-v%5E2_2%7D$ ，由幾何關(guān)系，總航程 $x%3D%5Cdfrac%7Bv_1%7D%7Bv_2%7Dd$ ，過(guò)河時(shí)間

$t%3D%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bv%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_1d%7D%7Bv_2%5Csqrt%7Bv%5E2_1-v%5E2_2%7D%7D$

運(yùn)動(dòng)參考系

以上兩個(gè)問(wèn)題，我們研究的都是靜止參考系中的運(yùn)動(dòng)，有的問(wèn)題我們可以在運(yùn)動(dòng)參考系中研究。

在寬度為 $d$ 的街上，有一連串汽車(chē)以速度 $u$ 魚(yú)貫駛過(guò)，已知汽車(chē)的寬度為 $b$ ，兩車(chē)間的距離為 $a$ ，如圖所示。一行人想用盡可能小的速度 $v$ 沿一直線穿過(guò)此街，試求此人過(guò)街所需的時(shí)間。

這里人和車(chē)都在運(yùn)動(dòng)，不好分析。由于人可以看成質(zhì)點(diǎn)，車(chē)不能看成質(zhì)點(diǎn)，我們可以選取汽車(chē)為參考系，此時(shí)

$%5Cvec%20v_%7B%E4%BA%BA%E5%AF%B9%E8%BD%A6%7D%3D%5Cvec%20v_%7B%E4%BA%BA%7D-%5Cvec%20v_%7B%E8%BD%A6%7D%3D%5Cvec%20v_%7B%E4%BA%BA%7D%2B(-%5Cvec%20v_%7B%E8%BD%A6%7D)%3D-%5Cvec%20u%2B%5Cvec%20v$

與上題類(lèi)似，畫(huà)矢量圖如下：

要使得人能夠過(guò)街，則人相對(duì)車(chē)的速度與街道的夾角 $%5Cbeta$ 必須大于 $%5Calpha$ ，臨界情況對(duì)應(yīng) $%5Calpha%3D%5Cbeta$ ，此時(shí)要使得速度最小，則 $v$ 矢量剛好與虛線垂直。此時(shí)人相對(duì)車(chē)的速度大小為 $u%5Ccos%5Cbeta$ ，由幾何關(guān)系，過(guò)街過(guò)程中人相對(duì)車(chē)的總位移為 $%5Cdfrac%7Bd%7D%7B%5Csin%5Cbeta%7D$ ，故人過(guò)街的時(shí)間