前言

這是我在上廁所時(shí)思考的一個(gè)問題，因?yàn)橛H戚跟我說，可以開一個(gè)小時(shí)空調(diào)，然后關(guān)兩個(gè)小時(shí)。這樣房間里總體上是溫暖的。等冷了之后再開，也是開一個(gè)小時(shí)。

乍一看是有道理的，因?yàn)檫@樣相當(dāng)于只有1/3的時(shí)間是開著的，其余2/3的時(shí)間關(guān)掉了空調(diào)，不消耗能源。但是細(xì)想又不一樣，似乎“冷了之后再開”，要消耗更多的能量來加熱。于是想著想著，我發(fā)現(xiàn)不能在上廁所時(shí)很好地解決這個(gè)問題。于是打算用數(shù)值模擬一下兩種開空調(diào)的方法。

設(shè)定

這里有必要說明一下我的假定。首先，空調(diào)設(shè)定多少度，不意味著吐出來多少度的氣流。設(shè)定的溫度，更多的是一個(gè)“停止標(biāo)志”，也就是空調(diào)的傳感器測(cè)到氣溫接近這個(gè)停止標(biāo)志時(shí)，就停止工作。比如設(shè)定制熱25℃，可能加熱到25℃就停止加熱，然后直到氣溫低于另一個(gè)閾值時(shí)（比如23℃），空調(diào)又重新開始工作。這樣，空調(diào)本身就是“開開停?！钡臓顟B(tài)。

空調(diào)和那種燈管的制熱器又不一樣，那種制熱器是直接加熱房間內(nèi)的氣體，而空調(diào)是向房間內(nèi)吐出溫度較高的氣體。房間不會(huì)完全密封，會(huì)從門縫、窗縫等處又有氣體流失。我們假定房間始終保持原有的氣壓，那么進(jìn)來多少氣體，就會(huì)流失掉多少氣體，只不過進(jìn)來的是相對(duì)熱的、流失的是相對(duì)冷的。

下面我對(duì)一些基本參數(shù)進(jìn)行設(shè)定?，F(xiàn)在普通人的臥室使用面積約10平米，高度約2.8米，那么容積大約28立方米。房間里其實(shí)有其它物件，這里忽略不計(jì)，假定是個(gè)空房間。外界的氣溫設(shè)定為恒定0℃，房間的初始溫度為10℃，空調(diào)的設(shè)定溫度為25℃，空調(diào)再次啟動(dòng)的閾值是23℃。

拉上窗簾，不透明的窗戶、門和墻面等很難讓紅外光流出，故而房間對(duì)外界的熱輻射忽略不計(jì)。熱對(duì)流如上文所述，空調(diào)向房間吹入相對(duì)熱的氣體，門縫窗縫等流出房間內(nèi)相同體積相對(duì)冷的氣體。下面就是相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)的熱傳導(dǎo)：

熱傳導(dǎo)其實(shí)在理論上類似于電學(xué)中的歐姆定律。一個(gè)介質(zhì)兩側(cè)電勢(shì)的差值越高，那么介質(zhì)上流過的電流也就越多。這個(gè)電流就體現(xiàn)了單位時(shí)間轉(zhuǎn)移的電荷量。早在初中階段，大家就接觸過歐姆定律

其中是電阻，電阻越大，那么介質(zhì)的絕緣效果也就越好。

熱傳導(dǎo)的過程也類似于電荷量的傳導(dǎo)。兩側(cè)的溫度差值為越高，那么介質(zhì)上單位時(shí)間、單位面積流過的熱量也就越多。

我們也用表示這個(gè)阻值，不過叫做熱阻。單位時(shí)間、單位面積流過的熱量單位為，意思是每平方米的介質(zhì)上每秒鐘流過多少焦耳的熱量。溫度差的單位是，那么熱阻的單位是。

為了方便計(jì)算，我們用熱導(dǎo)來代替熱阻，熱導(dǎo)的單位是。

我們的房間有多大的表面積？10平方米的房子暫且視為3.1*3.2米，高度2.8米，兩面墻對(duì)外，面積約17.7平方米，其余的墻面忽略不計(jì)。

窗戶面積1.5平方米，熱導(dǎo)為。參考南方典型省份的的標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)量級(jí)大概是單層透明玻璃。

外墻（去除窗戶）約16.2平方米，熱導(dǎo)同樣用南方夏熱冬冷地區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)，熱導(dǎo)取

窗戶和外墻是并聯(lián)的（熱流可以選擇其一穿過，而不是串聯(lián)式地穿過一個(gè)再穿過一個(gè)）。

空調(diào)以JD上某型號(hào)為例，風(fēng)量，額定制熱功率。也就是每秒鐘，把5000 J的熱量加熱給0.175立方米的空氣，恒壓過程，會(huì)使得這些空氣升溫22 K。如果室外溫度0℃，設(shè)定溫度25℃，那么永遠(yuǎn)都達(dá)不到設(shè)定溫度。所以空調(diào)不能開到最大風(fēng)量，如果風(fēng)量取，那么可以加熱32 K，這樣的話，如果室外0℃，那么空調(diào)吐出來的熱風(fēng)為32℃。根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，從273 K恒壓升溫到305 K，體積會(huì)增大11.7%。不過這里的風(fēng)量到底是吸入的風(fēng)量還是吐出的風(fēng)量……過于復(fù)雜，我們不妨認(rèn)為是吐出的風(fēng)量，這樣方便計(jì)算。

現(xiàn)在我們做好了各種基本假定：一個(gè)28立方米初始溫度10℃的房間，空調(diào)可以每秒鐘把0.12立方米32℃的熱空氣流入，有相同體積的房間氣體流出。房間還有對(duì)外的熱傳導(dǎo)，表現(xiàn)為16.2平方米的墻面和1.5平方米的窗戶，數(shù)據(jù)設(shè)定如上文所示。

即

不開空調(diào)

初始溫度10℃如上文設(shè)定的房間，如果不開空調(diào)，會(huì)怎樣呢？

我們一秒一秒地模擬房間的溫度（step = 1），模擬一個(gè)小時(shí)（3600秒）。

返回了三個(gè)數(shù)據(jù)，時(shí)間序列、溫度序列和加熱能耗。

簡(jiǎn)單地調(diào)用matplotlib庫，來繪制兩個(gè)序列的函數(shù)圖像。

這里把能量的單位從公制單位焦耳轉(zhuǎn)換成了常用單位千瓦時(shí)。

可以看到，如果不開空調(diào)，室內(nèi)溫度將會(huì)從10℃快速下降。在10分鐘后，下降到約7℃；在1小時(shí)后，下降到1.5℃。北方的墻面、窗戶會(huì)比南方更為絕熱（熱導(dǎo)更低），故而北方不會(huì)如此快速地降溫。

不調(diào)節(jié)的空調(diào)

我們假設(shè)有一個(gè)空調(diào)，不可以設(shè)定溫度，也不會(huì)達(dá)到溫度后自動(dòng)停止。

我們?cè)趂or循環(huán)里添加空調(diào)的模擬。

如此開一個(gè)小時(shí)

一個(gè)小時(shí)以5000 W的制熱功率開滿，恰好消耗5.0千瓦時(shí)的制熱能耗。

這款空調(diào)能力較強(qiáng)（也可能是我設(shè)定的房間較小，如果客廳的話，面積20平米相當(dāng)于大一倍），開啟后163秒后達(dá)到了20℃。（畢竟我這個(gè)空調(diào)不需要啟動(dòng)時(shí)間，一開啟就全功率運(yùn)作）

在開啟后721秒（約12分鐘）達(dá)到28℃，此后基本平穩(wěn)，保持室內(nèi)溫度在28℃以上，但未突破29℃。因?yàn)樵谶@種情況下，空調(diào)的制熱和房間的漏熱達(dá)到了動(dòng)態(tài)平衡。

調(diào)節(jié)的空調(diào)

也就是我在最開始所述，空調(diào)開始加熱，加熱到設(shè)定溫度后停止加熱。直到氣溫低于閾值溫度再恢復(fù)加熱。

我們引入變量on來表達(dá)空調(diào)是否工作。

得到的模擬圖像：

在開啟后346秒后（約6分鐘），房間達(dá)到設(shè)定的溫度25℃，隨后進(jìn)入起起伏伏的循環(huán)。循環(huán)周期約248秒（約4分鐘）?？照{(diào)的制熱功耗從5千瓦時(shí)降低到了2.18千瓦時(shí)，直接節(jié)約掉了一半多的制熱功耗。

如果開更久呢？下面設(shè)定開10小時(shí)。

制熱功耗19.3千瓦時(shí)，相當(dāng)于1.93 kW的平均功率。

開一會(huì)關(guān)一會(huì)

這里說的開一會(huì)關(guān)一會(huì)，指的是親戚說的手動(dòng)開關(guān)空調(diào)開關(guān)。并且現(xiàn)代的空調(diào)本身也有自動(dòng)調(diào)控的功能（上文248秒的循環(huán)）。

按照親戚的說法，開1個(gè)小時(shí)，停2個(gè)小時(shí)，每3小時(shí)一個(gè)循環(huán)。

模擬的結(jié)果如下圖

制熱功耗8.8千瓦時(shí)，相當(dāng)于0.88 kW。降低了一半以上。在關(guān)閉空調(diào)7分鐘后溫度低于20℃，在關(guān)閉空調(diào)26分鐘后溫度低于10℃。也就是說，關(guān)掉空調(diào)的兩個(gè)小時(shí)里，有一個(gè)半小時(shí)以上是房間溫度低于10℃的。

那必然是親戚說的不妥，不能開一個(gè)小時(shí)、關(guān)兩個(gè)小時(shí)。我們加快手動(dòng)調(diào)節(jié)的頻率，開十分鐘，關(guān)二十分鐘。

這樣制熱功耗又有所上升，達(dá)到了11.4千瓦時(shí)。不過只有二十分鐘的間隙，室內(nèi)溫度無法下降到10攝氏度，實(shí)際上下降到13攝氏度左右就重新開啟空調(diào)了。

進(jìn)一步思考

上面的這個(gè)模型，其實(shí)更接近設(shè)定閾值溫度為13℃、設(shè)定溫度25℃的自動(dòng)調(diào)節(jié)空調(diào)。

功耗10.5千瓦時(shí)，溫度也是在13~25℃來回振蕩?？梢婇撝禍囟仍降?，空調(diào)越晚恢復(fù)工作，越省制熱功耗，但是制熱效果也就越差。

1℃的影響

如果我們希望溫度在23~25℃之間來回振蕩，那么10小時(shí)的功耗是19.3千瓦時(shí)。如果我們調(diào)高溫度一度，也就是在24~26℃之間來回振蕩，功耗達(dá)到了23.1千瓦時(shí)。相對(duì)增加了19.7%。

也就是說，設(shè)定溫度從25℃調(diào)高到26℃，只提高了1度，人或許感覺不出來，但是制熱能耗增加了接近五分之一。

我好奇這一結(jié)論，如果制熱設(shè)定溫度分別是23~29℃，會(huì)怎樣呢？這里按10小時(shí)計(jì)算，更像是開一通宵的時(shí)長(zhǎng)。

如果設(shè)定溫度23℃，制熱能耗14.1千瓦時(shí)，如果設(shè)定29℃，制熱能耗50千瓦時(shí)（其實(shí)從未達(dá)到29℃）后者大約是前者的4倍。也就是說，設(shè)定氣溫高低一度，都可能會(huì)帶來比較大的制熱能耗差異。

“智能”空調(diào)

假設(shè)有一個(gè)空調(diào)，在達(dá)到設(shè)定溫度之后，就不再以額定功率工作。而是降低功率，保持制熱量和房間損失的能量相同。這樣，會(huì)不會(huì)更節(jié)能呢？

還是以上文的房間為例，假設(shè)設(shè)定溫度25℃。戶外還是設(shè)定0℃，這個(gè)時(shí)候墻壁和窗戶的熱傳導(dǎo)功率為485 W。如果是使用紅外燈管等制熱設(shè)備，那么只需要485 W的加熱器就可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)平衡?？照{(diào)最浪費(fèi)能源的地方，在于是從戶外吸入0℃的氣體，而不是加熱既有的氣體。

以1秒的時(shí)間來考慮，相當(dāng)于1秒讓房間丟失485 J的能量。能讓28立方米的空氣下降0.0217℃。這意味著空調(diào)要吐出0.12立方米30.06℃的氣體才能保持氣溫恒定。而把0.12立方米0℃恒壓加熱到30.06℃，需要4653 J的制熱能量。也就是空調(diào)的制熱功率需要4653 W，開10小時(shí)，就是46.5千瓦時(shí)。遠(yuǎn)高于23~25來回?cái)[動(dòng)的模型（19.3千瓦時(shí)）。

故而這種恒定氣溫來自動(dòng)調(diào)節(jié)功率的方法，反而更耗能。可以視為閾值溫度無限接近設(shè)定溫度。

小結(jié)

1. 開開關(guān)關(guān)會(huì)更加節(jié)省能量，但是制熱效果不好。短短幾分鐘就足以讓溫度下降到20℃以下。

2. 設(shè)定溫度26℃比設(shè)定溫度25℃多消耗制熱能量接近20%。故而能調(diào)低一度是一度。

3. 恒定氣溫來自動(dòng)調(diào)節(jié)功率的方法更加耗能。

4. 本文是純理想的數(shù)學(xué)建模，沒有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)加以佐證。

討論

關(guān)于氣體狀態(tài)：

本文中雖然氣體熱容是按照等壓膨脹的模型算的，但是計(jì)算體積時(shí)又忽略不計(jì)了。本文說的每秒0.12立方米都是指加熱后的吐氣量?？紤]到0℃到32℃，氣體體積變化在百分之十幾的數(shù)量級(jí)，并不適合忽略不計(jì)。故而其它人可以進(jìn)一步完善這方面的工作。

關(guān)于能耗：

另外本文中說的空調(diào)功率、能耗，都指的是制熱部分。制熱和制冷不一樣，制熱的熱力學(xué)模型簡(jiǎn)單，制冷還要卡諾循環(huán)，更加復(fù)雜。制熱的能量效率很高（某種意義上，制熱模塊用掉的電能最終都變成了內(nèi)能，100%），雖然空調(diào)外機(jī)的風(fēng)機(jī)還要消耗機(jī)械功率。所以算出來一晚上20千瓦時(shí)的制熱能耗，實(shí)際上消耗掉的電能可能更多。

關(guān)于0℃的戶外溫度：

我這里主要說的是南方冬季的晚上。根據(jù)Weather Spark的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，貴陽、長(zhǎng)沙在1月每日最低溫平均2℃；上海、杭州、武漢1℃；蘇州、黃山、安慶0℃；南京、合肥-1℃。在這些泛長(zhǎng)江流域的城市，冬季夜間氣溫0℃是可以達(dá)到的。要到大致福州-贛州-桂林一線，1月每日最低氣溫平均才有5℃以上，基本上就是泛珠江流域的嶺南了。

關(guān)于北方：

北方的冬季晚上的氣溫更低，以通遼為例，1月每日最低溫只有-19℃，遠(yuǎn)低于0℃。但是北方的墻體更加厚實(shí)、開窗更小，而是使用特殊的隔熱玻璃、多層玻璃，故而墻體和窗戶的熱導(dǎo)需要修改。另外，北方有集中供暖，開什么空調(diào)（狗頭）。