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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

在這文中，我將介紹非線性回歸的基礎(chǔ)知識(shí)。非線性回歸是一種對(duì)因變量和一組自變量之間的非線性關(guān)系進(jìn)行建模的方法。最后我們用R語言非線性模型預(yù)測(cè)個(gè)人工資數(shù)據(jù)（查看文末了解數(shù)據(jù)獲取方式）是否每年收入超過25萬。

相關(guān)視頻：非線性模型原理與R語言多項(xiàng)式回歸、局部平滑樣條、 廣義相加模型GAM分析

非線性模型原理與R語言多項(xiàng)式回歸、局部平滑樣條、 廣義相加模型GAM分析

，時(shí)長(zhǎng)05:41

這些數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一段時(shí)間內(nèi)的中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值或 GDP。

第一欄是年份，第二欄是中國(guó)當(dāng)年相應(yīng)的年國(guó)內(nèi)總收入。這就是數(shù)據(jù)點(diǎn)的樣子。現(xiàn)在，我們有幾個(gè)有趣的問題。

首先，GDP可以根據(jù)時(shí)間來預(yù)測(cè)嗎？

其次，我們可以使用簡(jiǎn)單的線性回歸對(duì)其進(jìn)行建模嗎？

的確。如果數(shù)據(jù)顯示曲線趨勢(shì)，則與非線性回歸相比，線性回歸不會(huì)產(chǎn)生非常準(zhǔn)確的結(jié)果。僅僅是因?yàn)?，顧名思義，線性回歸假定數(shù)據(jù)是線性的。

散點(diǎn)圖顯示 GDP 與時(shí)間之間似乎存在很強(qiáng)的關(guān)系，但這種關(guān)系不是線性的。如您所見，增長(zhǎng)開始緩慢，然后從 2005 年開始，增長(zhǎng)非常顯著。最后，它在 2010 年代略有減速。它看起來像邏輯函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。因此，它需要一種特殊的非線性回歸過程估計(jì)方法。

存在許多不同的回歸，可用于擬合數(shù)據(jù)集的外觀。你可以在這里看到二次和三次回歸線，它可以無限延伸。本質(zhì)上，我們可以將所有這些稱為多項(xiàng)式回歸，其中自變量 X 和因變量 Y 之間的關(guān)系被建模為 X 中的 N 次多項(xiàng)式。有多種回歸類型可供選擇，很有可能其中一個(gè)將非常適合您的數(shù)據(jù)集。請(qǐng)記住，選擇最適合數(shù)據(jù)的回歸非常重要。

什么是多項(xiàng)式回歸？

多項(xiàng)式回歸將曲線擬合到您的數(shù)據(jù)。Thetas 是要估計(jì)的參數(shù)，使模型完全適合基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。雖然這里 X 和 Y 之間的關(guān)系是非線性的，多項(xiàng)式回歸無法擬合它們，但多項(xiàng)式回歸模型仍然可以表示為線性回歸。

給定三次多項(xiàng)式方程，將模型轉(zhuǎn)換為具有新變量的簡(jiǎn)單線性回歸。這個(gè)模型在要估計(jì)的參數(shù)中是線性的，對(duì)吧？

因此，這種多項(xiàng)式回歸被認(rèn)為是傳統(tǒng)多元線性回歸的一個(gè)特例。因此，您可以使用與線性回歸相同的機(jī)制來解決此類問題。因此，多項(xiàng)式回歸模型可以使用最小二乘模型進(jìn)行擬合。最小二乘法是一種通過最小化給定數(shù)據(jù)集中觀察到的因變量與線性函數(shù)預(yù)測(cè)的因變量之間差異的平方和來估計(jì)線性回歸模型中未知參數(shù)的方法。

什么是非線性回歸？

首先，非線性回歸是一種對(duì)因變量和一組自變量之間的非線性關(guān)系建模的方法。

其次，對(duì)于一個(gè)被認(rèn)為是非線性的模型，Y必須是參數(shù)Theta的非線性函數(shù)，不一定是特征X。當(dāng)涉及到非線性方程時(shí)，它可以是指數(shù)，對(duì)數(shù)，和邏輯函數(shù)，或許多其他類型。正如您在所有這些方程中看到的那樣，Y 的變化取決于參數(shù) Theta 的變化，不一定只取決于 X。也就是說，在非線性回歸中，模型在參數(shù)上是非線性的。與線性回歸相比，我們不能使用普通的最小二乘法來擬合非線性回歸中的數(shù)據(jù)。一般來說，參數(shù)的估計(jì)并不容易。

讓我在這里回答兩個(gè)重要的問題。

首先，我怎樣才能以簡(jiǎn)單的方式知道問題是線性的還是非線性的？

要回答這個(gè)問題，我們必須做兩件事。首先是直觀地確定關(guān)系是線性的還是非線性的。最好用每個(gè)輸入變量繪制輸出變量的雙變量圖。此外，您可以計(jì)算自變量和因變量之間的相關(guān)系數(shù)，如果所有變量的相關(guān)系數(shù)為 0.7 或更高，則存在線性趨勢(shì)，因此不適合擬合非線性回歸。我們要做的第二件事是當(dāng)我們無法準(zhǔn)確地建模與線性參數(shù)的關(guān)系時(shí)，使用非線性回歸而不是線性回歸。

第二個(gè)重要問題是，如果我的數(shù)據(jù)在散點(diǎn)圖上顯示為非線性，我應(yīng)該如何建模？

要解決這個(gè)問題，您必須使用多項(xiàng)式回歸、使用非線性回歸模型或轉(zhuǎn)換您的數(shù)據(jù)。

R語言里的非線性模型：多項(xiàng)式回歸、局部樣條、平滑樣條、 廣義相加模型GAM分析

在這里，我們放寬了流行的線性方法的假設(shè)。有時(shí)線性假設(shè)只是一個(gè)很差的近似值。有許多方法可以解決此問題，其中一些方法可以通過使用正則化方法降低模型復(fù)雜性來??解決??。但是，這些技術(shù)仍然使用線性模型，到目前為止只能進(jìn)行改進(jìn)。本文本專注于線性模型的擴(kuò)展

• _多項(xiàng)式回歸_? ? 這是對(duì)數(shù)據(jù)提供非線性擬合的簡(jiǎn)單方法。

• _階躍函數(shù)_??將變量的范圍劃分為??_K個(gè)_??不同的區(qū)域，以生成定性變量。這具有擬合分段常數(shù)函數(shù)的效果。

• _回歸樣條_??比多項(xiàng)式和階躍函數(shù)更靈活，并且實(shí)際上是兩者的擴(kuò)展。

• _局部樣條曲線_??類似于回歸樣條曲線，但是允許區(qū)域重疊，并且可以平滑地重疊。

• _平滑樣條曲線_??也類似于回歸樣條曲線，但是它們最小化平滑度懲罰的殘差平方和準(zhǔn)則 。

• _廣義加性模型_??允許擴(kuò)展上述方法以處理多個(gè)預(yù)測(cè)變量。

多項(xiàng)式回歸

這是擴(kuò)展線性模型的最傳統(tǒng)方法。隨著我們?cè)黾?多項(xiàng)式的項(xiàng)，多項(xiàng)式回歸使我們能夠生成非線性的曲線，同時(shí)仍使用最小二乘法估計(jì)系數(shù)。

逐步回歸

它經(jīng)常用于生物統(tǒng)計(jì)學(xué)和流行病學(xué)中。

回歸樣條

回歸樣條是?擴(kuò)展多項(xiàng)式和逐步回歸技術(shù)的許多_基本_函數(shù)之一??。事實(shí)上。多項(xiàng)式和逐步回歸函數(shù)只是_基_??函數(shù)的特定情況??。

這是分段三次擬合的示例（左上圖）。

為了解決此問題，更好的解決方案是采用約束，使擬合曲線必須連續(xù)。

選擇結(jié)的位置和數(shù)量

一種選擇是在我們認(rèn)為變化最快的地方放置更多的結(jié)，而在更穩(wěn)定的地方放置更少的結(jié)。但是在實(shí)踐中，通常以統(tǒng)一的方式放置結(jié)。

要清楚的是，在這種情況下，實(shí)際上有5個(gè)結(jié)，包括邊界結(jié)。

那么我們應(yīng)該使用多少個(gè)結(jié)？一個(gè)簡(jiǎn)單的選擇是嘗試許多個(gè)結(jié)，然后看哪個(gè)會(huì)產(chǎn)生最好的曲線。但是，更客觀的方法是使用交叉驗(yàn)證。

與多項(xiàng)式回歸相比，樣條曲線可以顯示出更穩(wěn)定的效果。

平滑樣條線

我們討論了回歸樣條曲線，該樣條曲線是通過指定一組結(jié)，生成一系列基函數(shù)，然后使用最小二乘法估計(jì)樣條系數(shù)而創(chuàng)建的。平滑樣條曲線是創(chuàng)建樣條曲線的另一種方法。讓我們回想一下，我們的目標(biāo)是找到一些非常適合觀察到的數(shù)據(jù)的函數(shù)，即最大限度地減少RSS。但是，如果對(duì)我們的函數(shù)沒有任何限制，我們可以通過選擇精確內(nèi)插所有數(shù)據(jù)的函數(shù)來使RSS設(shè)為零。

選擇平滑參數(shù)Lambda

同樣，我們求助于交叉驗(yàn)證。事實(shí)證明，我們實(shí)際上可以非常有效地計(jì)算LOOCV，以平滑樣條曲線，回歸樣條曲線和其他任意基函數(shù)。

平滑樣條線通常比回歸樣條線更可取，因?yàn)樗鼈兺ǔ?huì)創(chuàng)建更簡(jiǎn)單的模型并具有可比的擬合度。

局部回歸

局部回歸涉及僅使用附近的訓(xùn)練觀測(cè)值來計(jì)算目標(biāo)點(diǎn)_x_?0?處的擬合度? 。

可以通過各種方式執(zhí)行局部回歸，尤其是在涉及擬合_p_??線性回歸模型的多變量方案中尤為明顯??，因此某些變量可以全局?jǐn)M合，而某些局部擬合。

廣義加性模型

GAM模型提供了一個(gè)通用框架，可通過允許每個(gè)變量的非線性函數(shù)擴(kuò)展線性模型，同時(shí)保持可加性。

具有平滑樣條的GAM并不是那么簡(jiǎn)單，因?yàn)椴荒苁褂米钚《?。取而代之?是使用一種稱為_反向擬合_的方法??。

GAM的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)

• GAM允許將非線性函數(shù)擬合到每個(gè)預(yù)測(cè)變量，以便我們可以自動(dòng)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)線性回歸會(huì)遺漏的非線性關(guān)系進(jìn)行建模。我們不需要對(duì)每個(gè)變量分別嘗試許多不同的轉(zhuǎn)換。

• 非線性擬合可以潛在地對(duì)因變量_Y_做出更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)??。

• 因?yàn)槟Ｐ褪强杉拥?，所以我們?nèi)匀豢梢詸z查每個(gè)預(yù)測(cè)變量對(duì)_Y_的影響，???同時(shí)保持其他變量不變。

缺點(diǎn)

• 主要局限性在于該模型僅限于累加模型，因此可能會(huì)錯(cuò)過重要的交互作用。

范例

多項(xiàng)式回歸和分段函數(shù)

1. 1. ?library(ISLR)

2. 


3. 2. ?attach(Wage)

4. 


5. 


我們可以輕松地使用來擬合多項(xiàng)式函數(shù)，然后指定多項(xiàng)式的變量和次數(shù)。該函數(shù)返回正交多項(xiàng)式的矩陣，這意味著每列是變量的變量的線性組合??age，??age^2，??age^3，和??age^4。如果要直接獲取變量，可以指定??raw=TRUE，但這不會(huì)影響預(yù)測(cè)結(jié)果。它可用于檢查所需的系數(shù)估計(jì)。

1. 1. ?fit = lm(wage~poly(age, 4), data=Wage)

2. 


3. 2. ?kable(coef(summary(fit)))

4. 


5. 


現(xiàn)在讓我們創(chuàng)建一個(gè)ages?我們要預(yù)測(cè)的向量。最后，我們將要繪制數(shù)據(jù)和擬合的4次多項(xiàng)式。

1. 1. ?ageLims <- range(age)

2. 


3. 2. ?age.grid <- seq(from=ageLims[1], to=ageLims[2])

4. 


5. 


6. 4. ?pred <- predict(fit, newdata = list(age = age.grid),

7. 


8. 5. ? ? ? ? ? ? ? ? ?se=TRUE)

9. 


10. 


1. 1. ?plot(age,wage,xlim=ageLims ,cex=.5,col="darkgrey")

2. 
   

3. 2. ? lines(age.grid,pred$fit,lwd=2,col="blue")

4. 
   

5. 3. ?matlines(age.grid,se.bands,lwd=2,col="blue",lty=3)

6. 
   

7. 
   

在這個(gè)簡(jiǎn)單的示例中，我們可以使用ANOVA檢驗(yàn) 。

1. 2. ?## Analysis of Variance Table

2. 


3. 3. ?##

4. 


5. 4. ?## Model 1: wage ~ age

6. 


7. 5. ?## Model 2: wage ~ poly(age, 2)

8. 


9. 6. ?## Model 3: wage ~ poly(age, 3)

10. 


11. 7. ?## Model 4: wage ~ poly(age, 4)

12. 


13. 8. ?## Model 5: wage ~ poly(age, 5)

14. 


15. 9. ?## ? Res.Df ? ? RSS Df Sum of Sq ? ? ?F Pr(>F)

16. 


17. 10. ?## 1 ? 2998 5022216

18. 


19. 11. ?## 2 ? 2997 4793430 ?1 ? ?228786 143.59 <2e-16 ***

20. 


21. 12. ?## 3 ? 2996 4777674 ?1 ? ? 15756 ? 9.89 0.0017 **

22. 


23. 13. ?## 4 ? 2995 4771604 ?1 ? ? ?6070 ? 3.81 0.0510 .

24. 


25. 14. ?## 5 ? 2994 4770322 ?1 ? ? ?1283 ? 0.80 0.3697

26. 


27. 15. ?## ---

28. 


29. 16. ?## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

30. 


31. 


我們看到，_M_1?與二次模型??相比，p值??_M_2?實(shí)質(zhì)上為零，這表明線性擬合是不夠的。因此，我們可以得出結(jié)論，二次方或三次模型可能更適合于此數(shù)據(jù)，并且偏向于簡(jiǎn)單模型。

我們也可以使用交叉驗(yàn)證來選擇多項(xiàng)式次數(shù)。

在這里，我們實(shí)際上看到的最小交叉驗(yàn)證誤差是針對(duì)4次多項(xiàng)式的，但是選擇3次或2次模型并不會(huì)造成太大損失。接下來，我們考慮預(yù)測(cè)個(gè)人是否每年收入超過25萬。

但是，概率的置信區(qū)間是不合理的，因?yàn)槲覀冏罱K得到了一些負(fù)概率。為了生成置信區(qū)間，更有意義的是轉(zhuǎn)換對(duì)??_數(shù)_??預(yù)測(cè)。

繪制：

1. 1. ?plot(age,I(wage>250),xlim=ageLims ,type="n",ylim=c(0,.2))

2. 


3. 2. ?lines(age.grid,pfit,lwd=2, col="blue")

4. 


5. 3. ?matlines(age.grid,se.bands,lwd=1,col="blue",lty=3)

6. 


7. 


逐步回歸函數(shù)

在這里，我們需要拆分?jǐn)?shù)據(jù)。

table(cut(age,?4))

1. 1. ?##

2. 


3. 2. ?## (17.9,33.5] ? (33.5,49] ? (49,64.5] (64.5,80.1]

4. 


5. 3. ?## ? ? ? ? 750 ? ? ? ?1399 ? ? ? ? 779 ? ? ? ? ?72

6. 


7. 


1. 1. ?fit <- lm(wage~cut(age, 4), data=Wage)

2. 
   

3. 2. ?coef(summary(fit))

4. 
   

5. 
   

1. 1. ?## ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Estimate Std. Error t value ?Pr(>|t|)

2. 
   

3. 2. ?## (Intercept) ? ? ? ? ? ? ?94.158 ? ? ?1.476 ?63.790 0.000e+00

4. 
   

5. 3. ?## cut(age, 4)(33.5,49] ? ? 24.053 ? ? ?1.829 ?13.148 1.982e-38

6. 
   

7. 4. ?## cut(age, 4)(49,64.5] ? ? 23.665 ? ? ?2.068 ?11.443 1.041e-29

8. 
   

9. 5. ?## cut(age, 4)(64.5,80.1] ? ?7.641 ? ? ?4.987 ? 1.532 1.256e-01

10. 
    

11. 
    

splines?樣條函數(shù)

在這里，我們將使用三次樣條。

由于我們使用的是三個(gè)結(jié)的三次樣條，因此生成的樣條具有六個(gè)基函數(shù)。

1. 2. ?## [1] 3000 ? ?6

2. 


3. 3. ?dim(bs(age, df=6))

4. 


5. 


6. 5. ?## [1] 3000 ? ?6

7. 


8. 6. ?## ? 25% ? 50% ? 75%

9. 


10. 7. ?## 33.75 42.00 51.00

11. 


12. 


擬合樣條曲線。

我們也可以擬合平滑樣條。在這里，我們擬合具有16個(gè)自由度的樣條曲線，然后通過交叉驗(yàn)證選擇樣條曲線，從而產(chǎn)生6.8個(gè)自由度。

1. 2. ?fit2$df

2. 


3. 


4. 4. ?## [1] 6.795

5. 


6. 5. ?lines(fit, col='red', lwd=2)

7. 


8. 6. ?lines(fit2, col='blue', lwd=1)

9. 


10. 7. ?legend('topright', legend=c('16 DF', '6.8 DF'),

11. 


12. 8. ? ? ? ? col=c('red','blue'), lty=1, lwd=2, cex=0.8)

局部回歸

執(zhí)行局部回歸。

GAMs

現(xiàn)在，我們使用GAM通過年份，年齡和受教育程度的樣條來預(yù)測(cè)工資。由于這只是具有多個(gè)基本函數(shù)的線性回歸模型，因此我們僅使用??lm()?函數(shù)。

為了擬合更復(fù)雜的樣條曲線 ，我們需要使用平滑樣條曲線。

繪制這兩個(gè)模型

year?是線性的。我們可以創(chuàng)建一個(gè)新模型，然后使用ANOVA檢驗(yàn) 。

1. 2. ?## Analysis of Variance Table

2. 


3. 3. ?##

4. 


5. 4. ?## Model 1: wage ~ ns(age, 5) + education

6. 


7. 5. ?## Model 2: wage ~ year + s(age, 5) + education

8. 


9. 6. ?## Model 3: wage ~ s(year, 4) + s(age, 5) + education

10. 


11. 7. ?## ? Res.Df ? ? RSS Df Sum of Sq ? ?F ?Pr(>F)

12. 


13. 8. ?## 1 ? 2990 3712881

14. 


15. 9. ?## 2 ? 2989 3693842 ?1 ? ? 19040 15.4 8.9e-05 ***

16. 


17. 10. ?## 3 ? 2986 3689770 ?3 ? ? ?4071 ?1.1 ? ?0.35

18. 


19. 11. ?## ---

20. 


21. 12. ?## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

22. 


23. 


似乎添加線性year?成分要比不添加線性??成分的GAM好得多。

1. 2. ?##

2. 


3. 3. ?## Deviance Residuals:

4. 


5. 4. ?## ? ? Min ? ? ?1Q ?Median ? ? ?3Q ? ? Max

6. 


7. 5. ?## -119.43 ?-19.70 ? -3.33 ? 14.17 ?213.48

8. 


9. 6. ?##

10. 


11. 7. ?## (Dispersion Parameter for gaussian family taken to be 1236)

12. 


13. 8. ?##

14. 


15. 9. ?## ? ? Null Deviance: 5222086 on 2999 degrees of freedom

16. 


17. 10. ?## Residual Deviance: 3689770 on 2986 degrees of freedom

18. 


19. 11. ?## AIC: 29888

20. 


21. 12. ?##

22. 


23. 13. ?## Number of Local Scoring Iterations: 2

24. 


25. 14. ?##

26. 


27. 15. ?## Anova for Parametric Effects

28. 


29. 16. ?## ? ? ? ? ? ? ?Df ?Sum Sq Mean Sq F value ?Pr(>F)

30. 


31. 17. ?## s(year, 4) ? ?1 ? 27162 ? 27162 ? ? ?22 2.9e-06 ***

32. 


33. 18. ?## s(age, 5) ? ? 1 ?195338 ?195338 ? ? 158 < 2e-16 ***

34. 


35. 19. ?## education ? ? 4 1069726 ?267432 ? ? 216 < 2e-16 ***

36. 


37. 20. ?## Residuals ?2986 3689770 ? ?1236

38. 


39. 21. ?## ---

40. 


41. 22. ?## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

42. 


43. 23. ?##

44. 


45. 24. ?## Anova for Nonparametric Effects

46. 


47. 25. ?## ? ? ? ? ? ? Npar Df Npar F ?Pr(F)

48. 


49. 26. ?## (Intercept)

50. 


51. 27. ?## s(year, 4) ? ? ? ?3 ? ?1.1 ? 0.35

52. 


53. 28. ?## s(age, 5) ? ? ? ? 4 ? 32.4 <2e-16 ***

54. 


55. 29. ?## education

56. 


57. 30. ?## ---

58. 


59. 31. ?## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

60. 


61. 


在具有非線性關(guān)系的模型中，???我們可以再次確認(rèn)year?對(duì)模型沒有貢獻(xiàn)。

接下來，我們 將局部回歸擬合GAM ?。

在調(diào)用GAM之前，我們還可以使用局部回歸來創(chuàng)建交互項(xiàng)。

我們可以 繪制結(jié)果曲面圖? 。

數(shù)據(jù)獲取

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本文選自《R語言里的非線性模型：多項(xiàng)式回歸、局部樣條、平滑樣條、 廣義相加模型GAM分析》。

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MATLAB最小二乘法：線性最小二乘、加權(quán)線性最小二乘、穩(wěn)健最小二乘、非線性最小二乘與剔除異常值效果比較

數(shù)據(jù)分享|R語言廣義線性模型GLM：線性最小二乘、對(duì)數(shù)變換、泊松、二項(xiàng)式邏輯回歸分析冰淇淋銷售時(shí)間序列數(shù)據(jù)和模擬

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