前言：up主抑郁癥復發(fā)，病情嚴重，只能休學在家（嚶嚶嚶）。為了避免自己無聊就開始研究數(shù)學（其實是在準備復讀）。在趁打折購買了《金考卷特快專遞第6期（新高考）》之后，發(fā)現(xiàn)上面的2023上海春季高考21題非常有意思，自己也想出了一種比較奇特的解法?，F(xiàn)就這種解法分享如下。

題目和手稿：

分析：材料中給出了兩個函數(shù)f(x)和g(x)，并定義了“控制函數(shù)”的概念，即若f(x)≤g(x)，則g(x)為f(x)的“控制函數(shù)”，還定義了一個“最小值函數(shù)”f?(x)=inf{g(x): g(x)為f(x)的控制函數(shù)}。這樣的新定義問題一上來非常嚇人，所以在不能理解定義的時候不妨先看題，從題目中理解。

第(1)問給定了f(x)和g(x)，需要判斷g(x)是否為“控制函數(shù)”。直接代入定義中，就可以得到一個證明不等式的問題，求導證明即可。

第(2)問實質(zhì)上也給定了f(x)和g(x)，參照上一問的方法判斷即可。至于求f?(?)的值的話，由于f(x)和g(x)相切，可以直接根據(jù)定義代入g(x)即可。

第(3)問由于up主不擅長復雜的計算，于是采用了一種比較離奇的方法。（以下涉及一些超出高考要求的數(shù)學知識）直覺上，應該可以判斷出題中的切線就是一個“控制函數(shù)”，接下來嘗試使用前兩問的類似方法證明這一點。

在排除了a為0的情況后，利用上圖的構造可以得出j(x)是一個三次多項式，j(x)=0應該有三個根（代數(shù)學基本定理）。由上可以判斷出x=x?是j(x)的一個二重根，所以可以因式分解j(x)如下：

至此已經(jīng)證明i(x)就是一個“控制函數(shù)”，則充分性已經(jīng)被證明，接下來證明必要性的過程采用反證法即可。

附上金考卷的參考答案

評價：解答這個題目的關鍵點在于準確理解材料中“控制函數(shù)”的意義，這樣即可直接拿下前兩問。至于第三問，我的想法比較奇特，所以也歡迎有其它想法的讀者一起交流。

祝大家學習進步！

By Dr.MRN(F)

2023.3.29