? ? ? 話說在十九世紀末，非歐幾何已經(jīng)建立，并受到廣泛承認。非歐幾何的創(chuàng)立使數(shù)學家開始重新審視歐氏幾何，發(fā)現(xiàn)歐氏幾何的問題不在第五公設，而在于它的邏輯體系還有殘缺之處。例如，它的公理嚴重不足，以至于后來的有些證明要么暗含了其他結(jié)論，要么借助直觀。并且有些所謂“公理”并非不證自明，而是可以從其他公理推出的(例如所有的直角都相等)。

? ? ? ?在這種背景下，德國數(shù)學家希爾伯特在1889年出版了《幾何基礎》，在這部著作中，希爾伯特創(chuàng)立了一個新公理系統(tǒng)(史稱“希爾伯特公理系統(tǒng)”)。他從敘述20條公理開始，其中涉及六個本原概念(作為元素的點、線、面和它們之間的三種關(guān)系“關(guān)聯(lián)于”、“介于”、“全等于”)和五類公理，分別處理關(guān)聯(lián)、順序、全等、平行和連續(xù)性。

? ? ? ? 這部書的貢獻不僅僅是創(chuàng)造了一個公理體系，還詳細地論證了這些公理體系的完備性、相容性和獨立性，這一點大大突破了原有的幾何體系，是對幾何研究的新突破。?

? ? ?? 這部著作使希爾伯特確立了“形式主義領(lǐng)軍人物”的地位，他的工作大大加強了數(shù)學公理化的傳統(tǒng)，把數(shù)學進程推向更加抽象的方面。

附錄：五組公理

第一組：關(guān)聯(lián)公理

1，過兩點有一條直線。

2，過兩點最多有一條直線。

3，一條直線上至少有兩點，至少有三點不在同一直線上。

4，不過同一直線三點在一平面上，一平面上至少有一點。

5，不過同一直線三點在至多一平面上。

6，若一條直線上有兩點在一平面上，則這條直線每一點都在這平面上。

7，兩個平面若有交點A，則至少還有一交點B。

8，至少有四點不在同一平面上。

第二組，順序公理

1，若點B介于A,C兩點，則這三點共線，且點B也介于C,A兩點。

2，直線上兩點A,B，至少有一點C，使得B介于A,C兩點。

3，直線上三點中，至多有一點介于另外兩點之間。

4，若有一直線與一三角形的一邊交于非端點處，則這條直線也與三角形的另外兩邊之一相交。

第三組，合同（相等，全等）公理

1，設有一線段AB和另一點A’，必有一點B‘，使得AB與A'B'合同，即AB=A'B'。

2，若兩線段與第三條線段相等，則它們彼此相等。

3，一條直線上依次有三點A,B,C，另一條依次有三點A’B'C'，若AB=A'B'，BC=B'C'，則AC=A'C'

4，設有一角和一條射線，則有共端點的另一條射線使得兩條射線組成的角與原角相等。

5，若兩三角形的兩邊和兩邊夾角相等（SAS），則它另外兩角也有一角相等。

第四組，平行公理

過直線外一點，至多有一條直線與已知直線平行。

第五組，完備公理

1，有兩條線段AB,CD，必存在一個正整數(shù)n，使得AB>n*CD（阿基米德公理）。

2，不可能在直線上添加一點，使得原來的元素，和它們由1,2,3組公理、阿基米德公理所推出的一切性質(zhì)關(guān)系不變。

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