3.5.4 彈簧雙振子

當(dāng)一根彈簧兩側(cè)同時(shí)固定物體，兩物體同時(shí)振動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)周期與一個(gè)振子略有不同。此時(shí)在質(zhì)心系中分析，更加簡(jiǎn)單。

我們只考慮水平面光滑的情況，則質(zhì)心系為慣性參考系。在質(zhì)心系中，質(zhì)心C位置不變，可以看固定在C點(diǎn)的兩個(gè)彈簧振子同時(shí)發(fā)生振動(dòng)，容易證明，兩振子振動(dòng)周期相等。假設(shè)彈簧原長(zhǎng)為l，勁度系數(shù)為k，兩段彈簧原長(zhǎng)分別為

對(duì)應(yīng)勁度系數(shù)

由于

二者周期相等，而且我們發(fā)現(xiàn)，可以用約化質(zhì)量來(lái)直接求解周期。

我們把后續(xù)物體的運(yùn)動(dòng)，分解為質(zhì)心的勻速直線運(yùn)動(dòng)+物體相對(duì)質(zhì)心的振動(dòng)即可，容易寫出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程。

例6.質(zhì)量分別為M和3M的兩個(gè)小車用勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連，它們無(wú)外力地靜止在光滑水平桌面上。沿連接兩車的彈簧朝重車方向推輕車，使輕車具有速度， （1）求經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后輕車速度又變?yōu)槌跛俣戎怠?（2）求在這段時(shí)間內(nèi)輕車的位移。

解：（1）由上述結(jié)論易得兩小車振動(dòng)周期

質(zhì)心速度

輕車剛開始在平衡位置，在質(zhì)心系中，初速

質(zhì)心系中運(yùn)動(dòng)方程

地面系中

可知，至少經(jīng)過(guò)一個(gè)周期，輕車速度變?yōu)槌跏贾怠?/p>

（2）這段時(shí)間內(nèi)，輕車相對(duì)質(zhì)心位移為0，質(zhì)心位移

即為輕車位移。

3.5.5 平衡位置

彈簧振子在光滑水平面上自由振動(dòng)時(shí)，平衡位置在彈簧原長(zhǎng)位置，當(dāng)彈簧振子沿豎直方向自由振動(dòng)時(shí)，豎直方向的重力改變了彈簧的平衡位置，但是回復(fù)力的表達(dá)式卻沒(méi)有變化，故周期也沒(méi)有發(fā)生變化。

當(dāng)振子受到的外力一定時(shí)，平衡位置不變。如果外力大小或者方向發(fā)生改變，則平衡位置也會(huì)發(fā)生改變，改變量

其中F為除了彈力之外的沿振動(dòng)方向的力，k為彈簧的勁度系數(shù)。當(dāng)外力改變時(shí)，彈簧的平衡位置相應(yīng)的會(huì)發(fā)生改變。

例7.如圖，粗糙水平面上有一彈簧振子，振子質(zhì)量m=1kg，彈簧的勁度系數(shù)為k=100N/m，振子與水平面間的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)均為，滿足.O為彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)振子所在的位置，今將振子自彈簧伸長(zhǎng)量OA=7cm的A點(diǎn)由靜止釋放.求： （1）振子由圖中的A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最左端（設(shè)該點(diǎn)為B）所需的時(shí)間\Delta t=? （2）振子最后停在距O點(diǎn)多遠(yuǎn)的位置？以在O點(diǎn)右側(cè)為正，單位為cm.

解：（1）水平的摩擦力不會(huì)改變振子周期，從A到B時(shí)間為半個(gè)周期

（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，最后停止時(shí)位移為x，易知，當(dāng)

即

時(shí)，振子不再運(yùn)動(dòng)。對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)橄聢D陰影區(qū)域。

由于摩擦力方向不斷改變，振子的平衡位置也不斷改變，改變量

平衡位置坐標(biāo)分別為

剛開始最遠(yuǎn)距離

平衡位置

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振幅

故第二次最遠(yuǎn)位置位移

到O點(diǎn)距離大于0.02m，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，同理得第三次最遠(yuǎn)位置位移

振子不再運(yùn)動(dòng)，停在-0.01m.

上面問(wèn)題中，如果我們考慮一般情況，初始位置為x_0，l=\dfrac{f}{k}，則每次靜止的位置依次為

即

當(dāng)

時(shí)，不再振動(dòng)，可得振動(dòng)次數(shù)滿足

代入上題數(shù)據(jù)，

可以直接得到結(jié)果。

3.5.6 練習(xí)

練1.光滑的細(xì)桿組成夾角為的人字形架，一根長(zhǎng)度為l的輕線套在架子上，繩兩端共系一個(gè)重球，如圖所示，架豎直放置，試求重球在人字架平面內(nèi)做小振動(dòng)的周期。

答案：

練2.如圖所示的系統(tǒng)中，四根長(zhǎng)度均為l的輕質(zhì)剛性桿間用四只質(zhì)量均為m的小球A、B、C、D絞接起來(lái)（即每根桿可相對(duì)于其所連的球發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)而不可以與之分離）.另有一條自然長(zhǎng)度為2l、勁度系數(shù)為的輕彈簧連接于B、D兩球之間，今將A球懸掛于固定點(diǎn)上。求： （1）上述系統(tǒng)平衡時(shí)，的值； （2）設(shè)上述系統(tǒng)處于平衡后受外界一微小擾動(dòng)而使C球在豎直方向上發(fā)生振動(dòng)，試求其振動(dòng)周期。

答案：

練3.如圖所示，在光滑水平面上有三質(zhì)點(diǎn)A，B，C，質(zhì)量分別為，三質(zhì)點(diǎn)位于同一直線上，開始時(shí)B和C靜止，用勁度系數(shù)為k的彈簧（質(zhì)量忽略）相連.質(zhì)點(diǎn)A以初速沿連線方向與B做彈性碰撞。以A和B的碰撞點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，連線為x軸，試求碰后t時(shí)刻B的坐標(biāo).

答案：