A-3-5簡(jiǎn)諧振動(dòng)(1/2)

2023-08-31 15:58 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

3.5.1 振動(dòng)周期

物體簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程的一般形式為

$x%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)$

其中A為振幅， $%5Comega$ 為圓頻率， $%5Cvarphi$ 為初相位， $%5Comega%20t%2B%5Cvarphi$ 為總相位。對(duì)上式求導(dǎo)，易得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cdot%20x%3D-%5Comega%20A%5Csin(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)%5C%5C%20%5Cddot%20x%3D-%5Comega%5E2%20A%5Ccos(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)%20%5Cend%7Bcases%7D$

其中 $%5Comega%20A$ 為最大速度， $%5Comega%5E2A$ 為最大加速度。由上面式子容易得到兩個(gè)恒等式

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cddot%20x%3D-%5Comega%5E2x%5C%5C%20x%5E2%2B%5Cdfrac%7B%5Cdot%20x%5E2%7D%7B%5Comega%5E2%7D%3DA%5E2%20%5Cend%7Bcases%7D$

上面兩個(gè)微分方程的解形式即為振動(dòng)方程，由此可得判斷簡(jiǎn)諧振動(dòng)的兩種方法。

回復(fù)力

由于

$F_%E5%90%88%3Dm%5Cddot%20x$

代入上面方程，得

$F_%E5%90%88%3D-m%5Comega%5E2x$

故只要將物體的指向平衡位置的合力寫成

$F_%E5%9B%9E%3D-kx$

的形式，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得

$%5Comega%5E2%3D%5Cdfrac%7Bk%7D%7Bm%7D$

故簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bk%7D%7D$

例1.如圖，兩個(gè)相同的圓柱狀滾輪在同一水平面內(nèi)平行放置，各繞自身的軸線按圖示方向等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，兩軸線間距離為2l.在兩滾輪上平放一塊重量為G的均勻木板，木板與滾輪之間的動(dòng)摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)均為 $%5Cmu$ ，若木板重心偏離兩軸中心位置一個(gè)微小的距離，而使該木板發(fā)生周期性運(yùn)動(dòng)，求該運(yùn)動(dòng)周期。

解：木塊對(duì)稱在中間的位置為平衡位置，當(dāng)木塊向右偏移距離x時(shí)，兩滾輪對(duì)木板的支持力分別為 $N_1%E3%80%81N_2$ ，摩擦力分別為 $f_1%E3%80%81f_2$ .支持力作用點(diǎn)到木板質(zhì)心的距離分別為 $l%2Bx%E3%80%81l-x$ ，

由受力平衡和力矩平衡得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N_1%2BN_2%3DG%5C%5C%20N_1(l%2Bx)%3DN_2(l-x)%20%5Cend%7Bcases%7D$
解得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N_1%3D%5Cdfrac%7Bl-x%7D%7B2l%7DG%5C%5C%20N_2%3D%5Cdfrac%7Bl%2Bx%7D%7B2l%7DG%20%5Cend%7Bcases%7D$
故滑動(dòng)摩擦力

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20f_1%3D%5Cdfrac%7Bl-x%7D%7B2l%7D%5Cmu%20G%5C%5C%20f_2%3D-%5Cdfrac%7Bl%2Bx%7D%7B2l%7D%5Cmu%20G%20%5Cend%7Bcases%7D$
木板所受水平合力

$F_%E5%90%88%3Df_1%2Bf_2%3D-%5Cdfrac%7B%5Cmu%20G%7D%7Bl%7Dx$
故周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bml%7D%7B%5Cmu%20G%7D%7D%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bl%7D%7B%5Cmu%20g%7D%7D$

能量法

在機(jī)械能守恒時(shí)，我們可以將位移平方和位移導(dǎo)數(shù)的平方寫成如下形式

$x%5E2%2B%5Cdfrac%7B%5Cdot%20x%5E2%7D%7B%5Comega%5E2%7D%3DA%5E2$

最常見的是彈簧振子中彈性勢(shì)能與動(dòng)能之和

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Cdot%20x%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2%3DE$

可以化簡(jiǎn)為

$x%5E2%2B%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bk%7D%5Cdot%20x%5E2%3D%5Cdfrac%7B2E%7D%7Bk%7D$

由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，同樣可得

$%5Comega%5E2%3D%5Cdfrac%7Bk%7D%7Bm%7D$

但是我們更習(xí)慣寫成

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Cdot%20x%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2%3D%E5%B8%B8%E6%95%B0$

的形式，可以用兩個(gè)系數(shù)的比值表示周期。一般右邊的常數(shù)對(duì)應(yīng)能量，所以我們也把這個(gè)方法稱為能量法。

能量法一般用來處理不太好分析受力的，比較復(fù)雜的問題。

例2.一構(gòu)件有質(zhì)量均為m的三個(gè)同樣小球組成，各球用長(zhǎng)為l的輕桿鉸鏈?zhǔn)竭B接（如圖）。構(gòu)件被勁度系數(shù)為k的豎直彈簧維持平衡位置且具有正方形。求下球小幅豎直振動(dòng)的周期。

解：假設(shè)平衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為 $l_0$ ，可以由虛功原理求出：

假設(shè)下方小球向下有一個(gè)虛位移 $%5Cdelta%20x$ ，則由幾何關(guān)系，兩側(cè)小球向下有虛位移 $%5Cdelta%20x%2F2$ ，此時(shí)彈力做虛功

$W_T%3D-kl_0%5Cdelta%20x$
重力做虛功

$W_G%3Dmg%5Cdelta%20x%2B2%5Ctimes%20mg%5Cdfrac%7B%5Cdelta%20x%7D%7B2%7D$
總虛功為零，得

$kl_0%3D2mg$
當(dāng)下方小球向下移動(dòng)小位移為x時(shí)，由幾何關(guān)系，兩側(cè)小球高度下降x/2.

下方小球此時(shí)速度 $%5Cdot%20x$ ，

由速度關(guān)聯(lián)，兩側(cè)小球速度

$v%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt2%7D%7B2%7D%5Cdot%20x$
假設(shè)初始重力勢(shì)能為0，由此可以寫出整個(gè)系統(tǒng)各能量

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20E_k%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Cdot%20x%5E2%2B2%5Ctimes%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2%5C%5C%20E_%7Bp%E5%BC%B9%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dk(x%2Bl_0)%5E2%5C%5C%20E_%7Bp%E9%87%8D%7D%3D-mgx-2%5Ctimes%20mg%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$
由系統(tǒng)總機(jī)械能守恒

$E%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D2m%5Cdot%20x%5E2%20%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%2B(kl_0-2mg)x%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dkl_0%5E2$
代入 $l_0$ ，上式可化為

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D2m%5Cdot%20x%5E2%20%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2%3D%E5%B8%B8%E6%95%B0$
故周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2m%7D%7Bk%7D%7D$
上面在寫能量關(guān)系式的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)一次項(xiàng) $(kl_0-2mg)x$ ，其實(shí)不需要求解 $l_0$ 也能得知，該項(xiàng)一定為0，不會(huì)影響后面周期的求解。

上面我們求解周期，都是假設(shè)的位移x，其實(shí)只要滿足形式，x也可以換成角位移 $%5Ctheta$ ，同樣可以求得周期。這樣處理，在研究很多轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí)會(huì)更方便。

例3.在天花板下用兩根長(zhǎng)度同為l的輕繩吊一質(zhì)量為M的光滑勻質(zhì)木板，板中央有一質(zhì)量為m的小滑塊，如圖所示。開始時(shí)系統(tǒng)靜止，然后使板有一個(gè)水平的橫向小速度 $v_0$ ，試求振動(dòng)周期。

解：假設(shè)輕繩轉(zhuǎn)動(dòng)小角度 $%5Ctheta$ ，則木板和滑塊上升高度

$h%3Dl(1-%5Ccos%5Ctheta)%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dl%5Ctheta%5E2$
由于木板光滑，木塊沒有水平速度。木板向右運(yùn)動(dòng)的速度

$v_x%3Dl%5Cdot%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%3Dl%5Cdot%5Ctheta$
由速度關(guān)聯(lián)，木板和滑塊豎直方向的速度為二階小量

$v_y%3Dl%5Cdot%5Ctheta%5Csin%5Ctheta$
對(duì)應(yīng)動(dòng)能為四階小量，故可以舍去。以平衡位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，由此可得整個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能

$E%3D(M%2Bm)gh%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DMv_x%5E2$
化簡(jiǎn)為

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(M%2Bm)gl%5Ctheta%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DMl%5E2%5Cdot%5Ctheta%5E2%3DE$
故周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BMl%7D%7B(M%2Bm)g%7D%7D$

3.5.2 等效擺長(zhǎng)

我們知道單擺的周期公式

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bl%7D%7Bg%7D%7D$

在一些特殊的情景中，我們依然可以套用單擺公式，但是此時(shí)需要代入等效的擺長(zhǎng)l和等效重力加速度g.

例4.如圖，一塊正三角形的剛性輕質(zhì)薄板，邊長(zhǎng)為a，邊AB兩端懸掛于兩固定點(diǎn)，AB與水平方向成 $%5Cvarphi$ 角，C點(diǎn)固定一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)。薄板通過A、B處的光滑鉸鏈可以在垂直于板平面無摩擦擺動(dòng)，求小擺動(dòng)周期。

解：如圖，分析可得C的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，圓弧半徑為 $%5Cdfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B2%7Da$ ，重力加速度沿著運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的分量為 $g%5Ccos%5Cvarphi$ .

故此時(shí)等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度分別為

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20l'%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B2%7Da%5C%5C%20g'%3Dg%5Ccos%5Cvarphi%20%5Cend%7Bcases%7D$
對(duì)應(yīng)振動(dòng)周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B%5Csqrt3a%7D%7B2g%5Ccos%5Cvarphi%7D%7D$

3.5.3 運(yùn)動(dòng)時(shí)間

相位

上面我們已經(jīng)介紹了振動(dòng)周期的求解方法，有時(shí)候我們需要求解物體在兩個(gè)位置之間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，令物體在兩個(gè)位置 $x_1%E3%80%81x_2$ 對(duì)應(yīng)的時(shí)間為 $t_1%E3%80%81t_2$ .

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20x_1%3DA%5Ccos(%5Comega%20t_1%2B%5Cvarphi)%5C%5C%20x_2%3DA%5Ccos(%5Comega%20t_2%2B%5Cvarphi)%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$

我們?nèi)绻阎?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=x_1%E3%80%81x_2%E3%80%81A%E3%80%81%5Comega" alt="x_1%E3%80%81x_2%E3%80%81A%E3%80%81%5Comega">，則有

$t_2-t_1%3D%5Cdfrac%7B%5Carccos(%5Cdfrac%7Bx_2%7D%7BA%7D)-%5Carccos(%5Cdfrac%7Bx_1%7D%7BA%7D)%7D%7B%5Comega%7D$

需要注意的是，物體在同一個(gè)位置時(shí)，對(duì)應(yīng)速度可能有2個(gè)方向，此時(shí)我們還需要聯(lián)系具體速度，求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

參考圓

除了上面利用運(yùn)動(dòng)方程的方法，我們還可以用參考圓來求解時(shí)間。我們知道，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在直徑上投影的運(yùn)動(dòng)方程

$x%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)$

即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，那么做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，反過來可以跟勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體對(duì)應(yīng)。周期相同，圓頻率也相同。定義圓周運(yùn)動(dòng)為逆時(shí)針方向，圖中，從 $x_1$ 到 $x_2$ 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，就等于從A到B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。由幾何關(guān)系求出對(duì)應(yīng)的 $%5Cvarphi$ ，則

$t%3D%5Cdfrac%7B%5Cvarphi%7D%7B%5Comega%7D$

振動(dòng)方程中的相位 $%5Comega%20t%2B%5Cvarphi$ ，其實(shí)就對(duì)應(yīng)參考圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度。

例5.一大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為 $%5Crho_1$ 和 $%5Crho_2(%5Crho_1%3C%5Crho_2)$ .現(xiàn)讓一長(zhǎng)為L(zhǎng)、密度為 $1%2F2(%5Crho_1%2B%5Crho_2)$ 的均勻木棍，豎直地放在上面的液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面距離為3/4L，由靜止開始下落。試計(jì)算木棍達(dá)到最低點(diǎn)所需的時(shí)間。假定由于木棍運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計(jì)，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都能豎直地在液體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，既未露出液面，也未與容器底相碰。

解：木棍下落的過程可以分為3段，完全在上方液體中，同時(shí)在兩種液體中，完全在下方液體中。其中第二段過程為常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，我們先求振動(dòng)的平衡位置和振動(dòng)圓頻率。

假設(shè)木棍靜止時(shí)，有長(zhǎng)為 $L_0$ 的部分在上方液體中，假設(shè)木棍截面積為S，此時(shí)木棍所受浮力等于重力

$%5Crho_1gSL_0%2B%5Crho_2gS(L-L_0)%3D%5Cdfrac%7B%5Crho_1%2B%5Crho_2%7D%7B2%7DgSL$
解得

$L_0%3D%5Cdfrac%7BL%7D%7B2%7D$
此為木棍的平衡位置。以豎直向下為正方向，木棍從平衡位置向下移動(dòng)距離x時(shí)，上方液體浮力減小，下方液體浮力增大，易得木棍所受合力向上

$F_%E5%90%88%3D%5Crho_1gSx-%5Crho_2gSx%3D-(%5Crho_2-%5Crho_1)gSx$
為線性回復(fù)力，木棍做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，對(duì)應(yīng)圓頻率

$%5Comega%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bk%7D%7Bm%7D%7D%20%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2(%5Crho_2-%5Crho_1)g%7D%7B(%5Crho_1%2B%5Crho_2)L%7D%7D$
剛開始，木棍完全在上方液體中，所受合力

$F_1%3D%5Cdfrac%7B%5Crho_1%2B%5Crho_2%7D%7B2%7DgSL-%5Crho_1gSL%20%3D%5Cdfrac%7B%5Crho_2-%5Crho_1%7D%7B2%7DgSL$
對(duì)應(yīng)加速度

$a_1%3D%5Cdfrac%7BF_1%7D%7Bm%7D%20%3D%5Cdfrac%7B(%5Crho_2-%5Crho_1)%7D%7B(%5Crho_1%2B%5Crho_2)%7Dg$
所花時(shí)間

$t_1%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2x%7D%7Ba_1%7D%7D%20%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B3(%5Crho_1%2B%5Crho_2)L%7D%7B2(%5Crho_2-%5Crho_1)g%7D%7D$
木棍下端剛接觸分界面時(shí)速度

$v_1%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cdfrac%7B%5Crho_2-%5Crho_1%7D%7B%5Crho_1%2B%5Crho_2%7DgL%7D$
有

$%5Cdfrac%7Bv_1%5E2%7D%7B%5Comega%5E2%7D%20%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7DL%5E2$
此時(shí)，木棍相對(duì)平衡位置的位移

$x_1%3D-%5Cdfrac%7BL%7D%7B2%7D$
由此可得木棍的振幅

$A%3D%5Csqrt%7Bx_1%5E2%2B%5Cdfrac%7Bv_1%5E2%7D%7B%5Comega%5E2%7D%7D%3DL$
當(dāng)木棍位移

$x_2%3D%5Cdfrac%7BL%7D%7B2%7D$
時(shí)，木棍完全進(jìn)入下方液體，由對(duì)稱性，從 $x_1%E5%88%B0x_2$ 所花時(shí)間（也可以由參考圓求得）

$t_2%3D2%5Cdfrac%7B%5Carccos(%5Cdfrac%7Bx_2%7D%7BA%7D)-%5Carccos0%7D%7B%5Comega%7D%20%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B(%5Crho_1%2B%5Crho_2)L%7D%7B2(%5Crho_2-%5Crho_1)g%7D%7D$
木棍在下方液體所受合力

$F_2%3D-%5Cdfrac%7B%5Crho_2-%5Crho_1%7D%7B2%7DgSL%3D-F_1$
故后續(xù)的運(yùn)動(dòng)與木棍進(jìn)入下方液體之前對(duì)稱，再運(yùn)動(dòng)\dfrac{L}{2}到達(dá)最低點(diǎn)。所花時(shí)間也與進(jìn)入下方液體之前相等。木棍到最低點(diǎn)的總時(shí)間

$t%3D2t_1%2Bt_2%3D(2%5Csqrt3%2B%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D)%20%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B(%5Crho_1%2B%5Crho_2)L%7D%7B2(%5Crho_2-%5Crho_1)g%7D%7D$