平平無奇的必要條件探路（2023全國甲導(dǎo)數(shù)）

2023-06-12 16:46 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2023全國甲，21）易知 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Dax-%5Cfrac%7B%5Csin%20%20x%7D%7B%5Ccos%20%5E3x%7D$ ， $x%5Cin%20%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ .

（1）當(dāng) $a%3D8$ 時，求 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的單調(diào)性；

（2）若 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C%5Csin%20%202x$ ，求 $a$ 的取值范圍.

解：（1）求導(dǎo)，得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%26%3Da-%5Cfrac%7B%5Ccos%20x%5Ccdot%20%5Ccos%20%5E3x-%5Csin%20x%5Ccdot%203%5Ccos%20%5E2x%5Ccdot%20%5Cleft(%20-%5Csin%20x%20%5Cright)%7D%7B%5Ccos%20%5E6x%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7Ba%5Ccos%20%5E4x%2B2%5Ccos%20%5E2x-3%7D%7B%5Ccos%20%5E4x%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

當(dāng) $a%3D8$ 時， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D8x-%5Cfrac%7B%5Csin%20%20x%7D%7B%5Ccos%20%5E3x%7D$ ，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09f%E2%80%99%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%26%3D%5Cfrac%7B8%5Ccos%20%5E4x%2B2%5Ccos%20%5E2x-3%7D%7B%5Ccos%20%5E4x%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(%204%5Ccos%20%5E2x%2B3%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Csqrt%7B2%7D%5Ccos%20x%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%5Ccos%20x-1%20%7D%5Cright)%7D%7B%5Ccos%20%5E4x%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

令 $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D0$ ，得 $x%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B4%7D$ ，

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B4%7D%5Cright)%20%7D$ ， $f%E2%80%99%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ ；

當(dāng) $x%5Cin%5Ccolor%7Bred%7D%7B%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B4%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%7D$ ， $f%E2%80%99%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ .

（2） $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C%5Csin%20%202x$ ，

即 $ax-%5Cfrac%7B%5Csin%20%20x%7D%7B%5Ccos%20%5E3x%7D%3C%5Csin%20%202x$ ，

即 $ax-%5Cfrac%7B%5Csin%20%20x%7D%7B%5Ccos%20%5E3x%7D-%5Csin%20%202x%3C0$ ，

令 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Dax-%5Cfrac%7B%5Csin%20%20x%7D%7B%5Ccos%20%5E3x%7D-%5Csin%20%202x$ ，

注意到 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bg%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D0%7D$ .

$g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7Ba%5Ccos%20%5E4x%2B2%5Ccos%20%5E2x-3%7D%7B%5Ccos%20%5E4x%7D-2%5Ccos%20%202x$

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bg'%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3Da-3%7D$ .

若 $a-3%3E0$ ，即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Ba%3E3%7D$ ，

則存在 $x_0%3E0$ ，

當(dāng) $x%5Cin%20%5Cleft(%200%2Cx_0%20%5Cright)%20$ ， $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cnearrow%20$ ，

則 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bg%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E%7Dg%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B0%7D$ ，不合題意.

故 $a%5Cleqslant%203$ 是原命題成立的必要條件.

下面證明： $a%5Cleqslant%203$ 是原命題成立的充分條件.

若 $a%5Cleqslant%203$ ，

則 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cleqslant%203x-%5Cfrac%7B%5Csin%20%20x%7D%7B%5Ccos%20%5E3x%7D-%5Csin%20%202x$ ，

故只需證 $3x-%5Cfrac%7B%5Csin%20%20x%7D%7B%5Ccos%20%5E3x%7D-%5Csin%20%202x%3C0$ .

令 $h%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D3x-%5Cfrac%7B%5Csin%20%20x%7D%7B%5Ccos%20%5E3x%7D-%5Csin%20%202x$ ，則

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09h%E2%80%99%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%26%3D%5Cfrac%7B3%5Ccos%20%5E4x%2B2%5Ccos%20%5E2x-3%7D%7B%5Ccos%20%5E4x%7D-2%5Ccos%202x%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B-%5Cleft(%20%5Ccos%20%5E2x-1%20%5Cright)%20%5E2%5Cleft(%204%5Ccos%20%5E2x%2B3%20%5Cright)%7D%7B%5Ccos%20%5E4x%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$