很水的微積分003：復(fù)合函數(shù)
- 特殊的函數(shù)
- Dirichlet 函數(shù) （帶名字的東西，一定是重要的東西）
- 定義域: \mathbb{R}
- 對(duì)應(yīng)法則: 有理數(shù) rational number \mathbb{Q} 取 1, 無理數(shù) \mathbb{R} \ \mathbb{Q} 取 0
- 德國數(shù)學(xué)家 Dirichlet，研究傅立葉級(jí)數(shù)的收斂
- 常規(guī)的分段函數(shù)，分段出來的定義域都是區(qū)間，但所有的有理數(shù)的集合并不連續(xù)
- 有理數(shù)/無理數(shù)都具有稠密性：任意兩個(gè)有理數(shù)/無理數(shù)之間一定還有有理數(shù)/無理數(shù)
- 所以 dirichlet 函數(shù)圖像存在，但畫不出來
- Thomae 函數(shù) （俄羅斯/蘇聯(lián) 稱為 Riemann 函數(shù)）
- 定義域: \mathbb{R}
- 對(duì)應(yīng)法則: 有理數(shù) 0 取 1，非 0 有理數(shù) p/q 取 1/q, 無理數(shù) \mathbb{R} \ \mathbb{Q} 取 0
- 其中 q>0, p,q 都是整數(shù)，且 p,q 互素
- 有理數(shù)總可以寫成分?jǐn)?shù)的形式可以通過 等比數(shù)列求和公式證明
- 值域是{y= 1/q : q 屬于正整數(shù)} \cup {0}
- nature number, which are used for counting and ordering. \mathbb{N}
- naturals with zero: $N_0, N^{0}, N^{*} \cup \{0\}, Z_0^{+}, Z_{\ge 0}$
- naturals without zero: $N^{*}, N^{+}, N_0 \setminus \{0\}, N_{1}, Z^{+}, Z_{> 0}$
- 復(fù)合函數(shù) composite function（映射的乘法）
- 定義在 D 上的函數(shù) f 和定義在 E 上的函數(shù) g，若 D 的一個(gè)子集 D_1 滿足 $f(D_1) \subseteq E$，可以得到
- 一個(gè)定義在 D 上的函數(shù) $(g \circ f)(x):= g[f(x)], \forall x \in D_1$
- 函數(shù)$(g \circ f)$ 是 g 和 f 的復(fù)合函數(shù)
- 判斷復(fù)合函數(shù)存在條件
- 是否存在$f(D_1) \subseteq E$
- 函數(shù)的復(fù)合，可以看作一種運(yùn)算
- 滿足結(jié)合律：$(f \circ g)\circ h=f \circ (g\circ h)$
- 不滿足交換律
- 函數(shù)自己和自己可以復(fù)合（迭代）
標(biāo)簽：
