很榮幸，網(wǎng)上有數(shù)學(xué)老師邀請(qǐng)我解答一個(gè)問(wèn)題——

春游時(shí)，全班38人要坐船游玩，每只大船可以坐10個(gè)人，租金為90元；每只小船可以坐4人，租金為40元，那么應(yīng)該租幾只大船幾只小船才能使總花費(fèi)最少？網(wǎng)上某老師提問(wèn)

【序】

既然是老師提問(wèn)，就不能只講這一道題怎么做，而是深入講一講這一類(lèi)題怎么做，或是這一種數(shù)學(xué)模型有何特征，有何通用解決方案.

以下是我的嘗試，雖然有些標(biāo)題黨嫌疑，但仍希望能讓大家對(duì)這類(lèi)租船問(wèn)題有一種全新的認(rèn)識(shí).

【思路】

1. 本題是多個(gè)約束條件下對(duì)大船數(shù)x與小船數(shù)y在自然數(shù)范圍內(nèi)尋求最優(yōu)方案[1]的應(yīng)用題；

2. 本題在小學(xué)階段我們更多采用枚舉法[2]嘗試；

3. 枚舉前應(yīng)先確定枚舉類(lèi)型[3]和枚舉方向[4]；

4. 確定枚舉類(lèi)型的依據(jù)是船的理論人均花費(fèi)[5]，理論人均花費(fèi)較少者為枚舉對(duì)象；

5. 為了讓總花費(fèi)最少，要盡可能多用理論人均花費(fèi)少的船只，所以枚舉方向應(yīng)是從多到少；

6. 如果理論人均花費(fèi)少的那類(lèi)船全都坐滿[6]，就已經(jīng)達(dá)到總花費(fèi)最優(yōu)；

7. 如果最后一艘船沒(méi)有坐滿，且最后一艘船的實(shí)際人均花費(fèi)[7]大于另一類(lèi)船的理論人均花費(fèi)時(shí)，應(yīng)當(dāng)繼續(xù)枚舉，不斷減少理論人均花費(fèi)少的船只數(shù)量，并相應(yīng)增加另一類(lèi)船只數(shù)量；

8. 直到首次出現(xiàn)兩類(lèi)船的每一艘都坐滿[8]，代入此時(shí)的x、y即可求出最少總花費(fèi).

【步驟】

【講解】

1. 大船租金90元，大船可坐10人，大船理論人均花費(fèi)：90÷10=9（元/人），括號(hào)內(nèi)單位這樣寫(xiě)是為了提醒同學(xué)們這個(gè)9元是“人均”；小船租金40元，小船可坐4人，小船理論人均花費(fèi)：40÷4=10（元/人）；由于大船的人均9元/人小于小船的人均10元/人，所以我們應(yīng)該盡量使用大船；

2. 38人除以10人等于3整艘大船余8人，所以最多租4艘大船，此時(shí)總花費(fèi)：90×4=360（元）；

3. 但最多可坐10人的第4艘大船只坐了8人，該艘大船的實(shí)際人均花費(fèi)為：90÷8=11.25（元/人），這個(gè)人均11.25元已經(jīng)大于了小船的理論人均10元，說(shuō)明如果把這8人放在若干小船上并坐滿，是比租一艘大船更劃算的；

4. 而如果租3艘大船，剩余8人租小船：8÷4=2（艘），總花費(fèi)：90×3+40×2=350（元）；

5. 4艘大船的總花費(fèi)360元大于3艘大船2艘小船的總花費(fèi)350元，所以第二種方案更優(yōu)；

6. 若繼續(xù)枚舉2艘大船、1艘大船、0艘大船，均不能找到更優(yōu)方案[9][10]，因此確定“3艘大船2艘小船”為最優(yōu)方案.

【總結(jié)】

1. 這類(lèi)題目的本質(zhì)是在多種約束條件下解非負(fù)整數(shù)不定方程mx+ny=A，（m、n、A均為已知數(shù)）；

2. 一定要事先計(jì)算x和y的理論人均從而確定枚舉x還是枚舉y（不妨設(shè)x為枚舉對(duì)象）；

3. 若x最大等于x0時(shí)已經(jīng)有(x0,y0)滿足不定方程，則(x0,y0)已是最優(yōu)解；

4. 若上一條不滿足，則繼續(xù)從大到小枚舉x，直到第一次出現(xiàn)(x1,y1)滿足不定方程，此時(shí)(x1,y1)是最優(yōu)解[11].

參考

1. ^其實(shí)就是中學(xué)的線性規(guī)劃：設(shè)大船x只小船y只，滿足：①x,y為整數(shù)②0≤x≤4③0≤y≤10④10x+4y≥38，使目標(biāo)函數(shù)：90x+40y最小.

2. ^枚舉法多適用于整數(shù)不定方程，如2x+y=10，我們對(duì)x按從小到大的順序依次枚舉有以下非負(fù)整數(shù)解(x,y)：(1,8)(2,6)(3,4)(4,2)(5,0).

3. ^對(duì)大船數(shù)x枚舉還是對(duì)小船數(shù)y枚舉

4. ^從多到少枚舉還是從少到多枚舉

5. ^租整艘船的花費(fèi)除以最多可坐人數(shù).

6. ^假如全班40人，租大船90元坐10人，租小船40元坐4人，因?yàn)榇蟠司?元小于小船人均10元，所以選大船，又因?yàn)?0人÷10人/艘=4艘，所以租4艘大船，并且每艘船都滿員.

7. ^租整艘船的花費(fèi)除以船上實(shí)際人數(shù).

8. ^根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，題目至少有一種兩類(lèi)船都坐滿的方案

9. ^設(shè)大船數(shù)為x，小船數(shù)為y，非負(fù)整數(shù)解(x,y)滿足10x+4y=38時(shí)一定比滿足10x+4y＞38更優(yōu)，因?yàn)槔碚撊司欢ㄐ∮趯?shí)際人均.

10. ^若非負(fù)整數(shù)解(x1,y1)與(x2,y2)都滿足不定方程10x+4y=38，且x1＞x2，則(x1,y1)更優(yōu)，因?yàn)榇蟠碚撊司∮谛〈碚撊司?，這也是為什么我們要從多到少去枚舉大船數(shù)x，這樣做保證了最少的枚舉次數(shù).

11. ^再次強(qiáng)調(diào)，由于是對(duì)x從大到小枚舉，枚舉到的x1一定比枚舉到后面的某個(gè)x2大

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