高等代數(shù)科屬于理學(xué)，對(duì)于想要報(bào)考高等代數(shù)學(xué)科碩士的考生來(lái)說(shuō)，考研大綱一直是考生關(guān)心的重點(diǎn)，有了大綱，才能更明確自己的備考方向，少走很多的復(fù)習(xí)彎路。為幫助考生了解院校招考信息，研晟考研整理了高等代數(shù)考研大綱，供考生參考。

本《高等代數(shù)》考試大綱適用于暨南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)與控制輪）碩士研究生入學(xué)考試。高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課。它的主要內(nèi)容包括多項(xiàng)式理論、行列式、線性方程組、矩陣?yán)碚?、二次型理論、線性空間、線性變換、λ- 矩陣、歐氏空間。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問(wèn)題能力。

?一、考試的基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。?

二、考試內(nèi)容

（一） 多項(xiàng)式

1． 一元多項(xiàng)式的整除、最大公因式、帶余除法公式、互素、不可約、因式分解、重因式、根及重根、多項(xiàng)式函數(shù)的概念及判別；

2． 復(fù)根存在定理（代數(shù)基本定理）；

3． 根與系數(shù)關(guān)系；

4． 一些重要定理的證明，如多項(xiàng)式的整除性質(zhì)，Eisenstein 判別法，不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)，整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理等；

5． 運(yùn)用多項(xiàng)式理論證明有關(guān)命題，如與多項(xiàng)式的互素和不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題的證明與應(yīng)用；

6． 用多項(xiàng)式函數(shù)方法證明有關(guān)結(jié)論。

（二） 行列式

1． n -級(jí)排列、對(duì)換、 n -級(jí)排列的逆序及逆序數(shù)和奇偶性；

2． n -階行列式的定義，基本性質(zhì)及常用計(jì)算方法（如三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行或一列展開(kāi)法、Laplace 展開(kāi)法、Vandermonde 行列式法）；

3． Vandermonde 行列式；

4． 行列式的代數(shù)余子式。

（三） 線性方程組

1． 向量組線性相（無(wú)）關(guān)的判別及相應(yīng)齊次線性方程組有（無(wú)）非零解的相關(guān)向量判別法、行列式判別法；

2． 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的性質(zhì)，向量組之間秩的大小關(guān)系定理及其三個(gè)推論， 向量組的秩的概念及計(jì)算，矩陣的行秩、列秩、秩概念及其行列式判別法和計(jì)算；

3． Cramer 法則，線性方程組有（無(wú)）解的判別定理，齊次線性方程組有（無(wú)）非零解的矩陣秩判別法、基礎(chǔ)解系的計(jì)算和性質(zhì)、通解的求法；

4． 非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)定理；

（四） 矩陣?yán)碚?/span>

1． 矩陣基本運(yùn)算、分塊矩陣運(yùn)算及常用分塊方法并用于證明與矩陣相關(guān)的結(jié)論，如有關(guān)矩陣秩的不等式；

2． 初等矩陣、初等變換及其與初等矩陣的關(guān)系和應(yīng)用；

3． 矩陣的逆和矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的概念及計(jì)算，矩陣可逆的條件及其與矩陣的秩和初等矩陣的關(guān)系，伴隨矩陣概念及性質(zhì)；

4． 行列式乘積定理；

5． 矩陣的轉(zhuǎn)置及相關(guān)性質(zhì)；

6． 一些特殊矩陣的常用性質(zhì)，如，對(duì)角陣、三角陣、三對(duì)角陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣、冪等矩陣、冪零矩陣、正交矩陣等；

7． 矩陣的跡、方陣的多項(xiàng)式；

8． 矩陣的常用分解，如等價(jià)分解、滿秩分解、實(shí)可逆矩陣的正交三角分解、約當(dāng)分解；

9． 應(yīng)用矩陣?yán)碚摻鉀Q一些問(wèn)題。

（五） 二次型理論

1． 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念和計(jì)算，慣性定理及其應(yīng)用；

2． 實(shí)二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定的概念及判定條件和應(yīng)用；

3． 實(shí)二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的求法。

（六） 線性空間；

1． 線性空間、子空間的定義及性質(zhì)；

2． 線性空間中一個(gè)向量組的秩及計(jì)算方法；

3． 線性（子）空間的基和維數(shù)與向量關(guān)于基的坐標(biāo)，子空間的基擴(kuò)充定理，基變換與坐標(biāo)變換，生成子空間，子空間的直和，一些常見(jiàn)的子空間，如線性方程組的解空間，矩陣空間，多項(xiàng)式空間，函數(shù)空間；

4． 子空間的直和、維數(shù)公式；

5． 線性空間的同構(gòu)；

6． 向量組線性相關(guān)或無(wú)關(guān)及子空間直和等相關(guān)結(jié)論的綜合證明；

（七）線性變換

1． 線性變換定義與運(yùn)算及其矩陣表示；

2． 矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式及其有關(guān)性質(zhì)；

3． 線性變換及其對(duì)應(yīng)矩陣的特征值和特征向量的概念和計(jì)算；

4． 線性變換及其矩陣的線性無(wú)關(guān)特征向量的判別和最大個(gè)數(shù)及特征子空間；

5． 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)；

6． 矩陣相似的概念及同一個(gè)線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系；

7． 線性變換的不變子空間、核、值域的概念及關(guān)系和計(jì)算；

8． 線性變換和矩陣可對(duì)角化的概念和條件；

9． Hamilton-Caylay 定理。

（八） λ-矩陣

1． λ-矩陣的初等變換、標(biāo)準(zhǔn)型、行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關(guān)系；

2． 矩陣的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的存在唯一性定理的證明及其應(yīng)用。

（九） 歐氏空間

1． 內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)，如柯西—布涅可夫斯基不等式、三角不等式、勾股定理等；

2． 歐氏空間的度量矩陣的概念及性質(zhì)；

3． 歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基概念及其求法和性質(zhì)的證明與應(yīng)用；

4． 正交變換和正交矩陣的等價(jià)條件；

5． 對(duì)稱變換的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)；

6． 實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化定理及其相應(yīng)正交矩陣和對(duì)角矩陣的求法；

7． 線性無(wú)關(guān)向量組的施密特（Schmidt）正交化方法；

8． Gram 行列式、初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換、酉空間和酉變換；

9． 正交相似變換和酉相似變換；

10． 最小二乘法。

?三、考試方法和考試時(shí)間

高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時(shí)間為 180 分鐘。?

四、 考試題型

填空題、單項(xiàng)選擇題、計(jì)算題、證明題。?

考研上岸在很多人的心里估計(jì)都是比較難的，不論是在職還是在校，專業(yè)課想拿高分?復(fù)習(xí)全局難把握？經(jīng)驗(yàn)貼踩雷無(wú)數(shù)，關(guān)鍵期錯(cuò)過(guò)提升，各種各樣的備考問(wèn)題是不是一大堆?靠自學(xué)，沒(méi)有方法，沒(méi)有動(dòng)力，相信這是很多人的內(nèi)心寫照，研晟考研，助力考生有效備考，專屬學(xué)習(xí)方案，一戰(zhàn)上岸。