本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻譯：野呂侯奈因
僅供學(xué)習(xí)交流使用
譯者按：
?????? 本書在幾何愛好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯．鑒于目前通行的數(shù)學(xué)教學(xué)中對于二次曲線問題的處理方式過于單一，希望能借翻譯本書的機會來推廣一下二次曲線的射影幾何視角．

? ? ???接下來的定理實際上可以理解為定理1.9的結(jié)論．但我們會用到西姆松線(Simson's line)來證明它，而這則可以引出拋物線更有趣的結(jié)論．

定理1.10.?若外接于一拋物線（即直線都與拋物線相切），則有拋物線的焦點落在的外接圓上．

證明. 由引理1.1的推論，焦點在每一邊上的投影都會落在一條直線上（即該拋物線在其頂點處的切線）．而接下來我們將用到西姆松引理(Simson's?lemma)．

引理1.3（西姆松）.?在上的投影共線當(dāng)且僅當(dāng)在的外接圓上時成立．

證明.?設(shè)和分別是在和上的投影．我們在此只考慮圖1.31中的形式，不過其余情況的證法也類似．

????? ?由四點共圓，有．同理，有．而三點共線當(dāng)且僅當(dāng)時成立，也就是當(dāng)時，而這意味著會落在的外接圓上，其余情況也同理．

???????其逆命題的證明也別無二致．若落在的外接圓上，則會有（第二個等號是因為四點共圓）．同理，．故有三點共線．

???????于是也就證明了定理1.10．

???????該線通常被叫做點的西姆松線．

???????因此對于的外接圓上任意一點，都能確定出一條唯一的拋物線與三邊都相切．更準(zhǔn)確地說，在外接圓上取任意一點并作出其關(guān)于三邊的對稱點，分別設(shè)其為和，就會有它們?nèi)c共線．而以為焦點，為準(zhǔn)線確定的拋物線會與的每一邊相切（以下圖為例，拋物線會與切于于以為垂足的的垂線的交點上；見圖1.32）．

???????（譯者注：其中三個對稱點共線是由其兩兩確定的任一直線都與西姆松線關(guān)于的位似比相同．）

???????西姆松線還有著更多有趣的性質(zhì)．

引理1.4.?若點落在的外接圓上，在外接圓上再取一點使得直線垂直于直線．則有平行于的西姆松線（圖1.33）．

證明.?在此只考慮圖1.33中的情形，其余情形證法類似．設(shè)和分別為在和上的投影．由同弧所對圓周角相等有．而又由四點共圓（其中為該圓直徑）及圓的內(nèi)接四邊形對角互補有．故可得平行于．

推論1. 當(dāng)在圓上運動時，西姆松線會以變化率一半為速度向相反方向旋轉(zhuǎn)．

（譯者注：沿用圖1.33中的記號，注意到與的變化率相同而方向相反，再結(jié)合同弧所對圓周角等于其所對圓心角的一半，該推論就是顯然的結(jié)果了．）

推論2. 關(guān)于的西姆松線平分線段（其中為的垂心）．（圖1.34）

證明.?不難發(fā)現(xiàn)，故有關(guān)于的對稱點落在的外接圓上．由于和都垂直于，四邊形也就是一個梯形；又由其內(nèi)接與一圓，故其也必為等腰梯形．因此與關(guān)于（顯然其平行于該梯形的一條對稱軸）對稱的平行于（其中為關(guān)于的對稱點），也就平行于西姆松線．而由（在上的投影）為的中點有西姆松線為的中位線，也就平分了．

定理1.11. 拋物線外切三角形的垂心總會落在其準(zhǔn)線上（圖1.35）．

（譯者注：由引理1.1及其推論再結(jié)合引理1.4的推論2，該結(jié)論同樣是顯然的．）