正多邊形的不尋常作圖法（中-2）

注：作圖方法同前兩期，j，w1，w2的值在前兩期已約定。

一．21邊形、22邊形、25邊形（23邊形暫缺，因為按照現(xiàn)有工具是不能嚴格11等分角的）

????21邊形作法

1.如圖，作圓O半徑為OA0，直徑A0B，半徑OA垂直于A0B。

2.作OB中垂線交圓O于A7、A14。作半徑AB的圓B。

3.直尺繞著O點轉動，交直線A7A14于D，OD線段交圓B于F、交圓O于A6，直到OB=DF。此時A6A7就是圓O內接正21邊形的邊長。

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原理：3*pi/7-pi/3=2*pi/21。

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22邊形作法

可參考正11邊形的第二種做法。前7步不變，接下來直接以E1為圓心，E1O為半徑作圓E1，角OE1M為圓心角，是3/22個圓周。圖略。

原理：arctan(sqrt(11)-4*sin(2*pi/11))=3*pi/11。

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25邊形作法

1.如下圖，OA24為圓O半徑，半徑OA垂直于OA24，OA中點B，圓B以BA24為半徑，同直徑AA’交于C。

2.以A24C為半徑作圓A24交圓O于A4、A19。

3.雙段折疊直尺的一段貼緊A4點，兩段間的支點是D，貼在圓O上。另一段DE與A4D共線，且E是同直線OA24的交點。將DE旋轉到DF，F(xiàn)也在直線OA24上。不斷調節(jié)雙段尺，直到DE=OF，則將DO延長，交圓O于A23。那么角A24OA23是A24OA24的1/5倍，而后者是72度。A23A24是圓O內接正25邊形邊長。

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原理：通過正11邊形5等分角的方法可以5等分任意角，包括2*pi/5。

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二．26邊形、27邊形、28邊形（29形需要7等分特定角，現(xiàn)有條件不能作）

26邊形的作法

1.如圖以點A為圓心，BC=24為直徑作圓。作AC中垂線，交AC于D，并從該直線截取DF=sqrt(39)-sqrt(3)。

2.從AB截取AE=1+sqrt(13)。以EF=2*sqrt(26+2*sqrt(13))為半徑作圓E，并用繞F點轉動的刻度尺作1/3倍角FED=角HEB。

3.作圓心角HEJ=60度，注意要跨過線段BE。從J引出AB垂線交圓O于K，則BK是圓A內接正26邊形的邊長。

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原理：12*cos(pi/13)=1+sqrt(13)+2*sqrt(26+2*sqrt(13))*cos(X/3-pi/3)，其中X=arctan(sqrt(3)*B/A)，B=sqrt(13)-1，A=sqrt(13)+1。

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27邊形的作法

1.如圖作圓A，直徑BC。AC中垂線，交圓O于D。

2.三等分角DAC得到圓心角BAE，再三等分后者得到圓心角CAG。加倍之，得到圓心角GAH。GH是圓A內接正27邊形邊長。

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原理：2*((pi/3)/3)/3=2*pi/27。

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28邊形的作法

1.如下圖。作圓O，直徑A14A0。并作垂直于OA0的半徑OA7，以及OA0的垂直平分線l。

2.以A0A7為半徑作圓A0，直尺繞O點轉，交l于K，交圓A0于L，直到KL=OA0。此時OK交圓O于A6。A6A7是圓O內接正28邊形的邊長。

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原理：pi/2-3*pi/7=2*pi/28。

三．33邊形、35邊形、36邊形（31邊形暫緩推出，涉及的計算非常復雜）

33邊形的作法

1.如圖作圓O，直徑NA0=20。從ON截取OA=1，作半徑為2*sqrt(11)的圓A。

2.B在OA0線段上且AB=25*sqrt(5)/22。作半徑為89/22的圓B交OA0于C、交ON于D。從C、D引直徑NA0垂線，分別交圓A于E、F。

3.五等分角CAF并加上36度，得到角CAI，I在圓A上。五等分角EAD并加上36度，得到角DAJ，J也在圓A上。

4.I、J在NA0上的投影為L、K。延長線段AL到M使得LM=AK。

5.從M引垂線交圓上半圓O于A3，并作ON中垂線交上半圓O于A11。那么，圓心角A3OA11=8*(360/33)°。

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原理：

cos(2*pi/11)=-0.1+sqrt(11)*(cos(0.2*arccos((89-25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5)+cos(0.2*arccos((89+25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5))/5，cos(2*pi/3)=-1/2，2*pi/3-2*pi/11=8*(2*pi/33)。

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35邊形的作法

1.如圖作圓O，參照正7、14、21、28邊形的畫法構造圓心角A0OG=3*pi/7。

2.在第1步中已經構造了垂直于半徑OA0的半徑OC，作其中點D，射線DO上截取點E使得DE=DA0。

3.過點E作圓A0交圓O于A7。角A7OG翻倍后得到圓心角A7OA8=2*pi/35，A7A8是圓內接正35邊形的邊長。

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原理：

pi/35=3*pi/7-2*pi/5，(4*sin(pi/5))^2=4+(sqrt(5)-1)^2=10-2*sqrt(5)。

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36邊形的作法

1.如圖，作圓O，直徑A0A18，60度圓心角A0OA6。參照正9邊形的繪圖法作出20度圓心角A16OA18。

2.作垂直于OA16的半徑OA7（A7在弧A6A16上）。此時，A6A7是圓O內接正36邊形的邊長。

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原理：2*pi/36=8*pi/9-pi/3-pi/2。

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四．37邊形、38邊形、39邊形

37邊形的作法（比19邊形復雜，全章最高能部分）

1.如圖（1），作半徑OA0為18的圓O，從OA0截出OA=(-1+sqrt(37))/2，AB=3*sqrt(3)，線段BC=11+2*sqrt(37)垂直于AB。

2.作圓A其半徑為sqrt(74-10*sqrt(37))，3等分角BAC得角BAE，E在圓A上。

3.圓心角EAF=60度，E、F同在OA0一側。F投影到OA0上為G點。

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圖（1）

????4.如圖（2），作線段HI=6并延長到IJ=37-3*sqrt(37)。再延長到K、L使得JK=4*sqrt(37-3*sqrt(37))、JL=10.55（準確值），JL垂線段LM=27.6*sqrt(3)-2.25*sqrt(111)。

5.作圓心角KJN=1/3*角KJM，N投影到是P點。

6.作直徑為PH的半圓，從I點引垂線交其于Q。

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圖（2）

7.如圖（3），作線段RS=74-8*sqrt(37)并延長到V使得SV=sqrt(21386-3050*sqrt(37))，及T使得ST=38.97（準確值）。引ST的垂線段UT=(-4443.23*sqrt(3)+731.14*sqrt(111))。

8.作WZ為半徑的圓W，交線段WB2于B3，圓心角Z’WZ=角ZWB3/3。Z’在WZ投影為B4。

9.作圓心角VSW=角TSU/3，并把W投影到X于直線RS上，W、X十分接近，小心分離出X點。

10.作半徑為9*sqrt(74-10*sqrt(37))的圓X并于直線WX于Y點。以及圓心角YXY’=角BAE。

11.把Y’投影到點Z于直線WX上。

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圖（3）

12.回到圖（1），以IQ為半徑作圓G，并于OA0交于b點，作圓心角bGc=角SRZ。三等分之，得到圓心角bGd。自d點引OA0的垂線，同圓O交點A1、A36。那么，A0A1=A0A36，都是圓O內接正37邊形的邊長。

原理：設w1=(-1+sqrt(-3))/2，w2=(-1-sqrt(-3))/2，那么通過解兩回一元三次方程得到

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化簡需要龐大計算量。一個比較簡便的結果是：

-1+sqrt(37)+2*sqrt(74+10*sqrt(37))*cos(arctan(A)/3+pi/3)+2*sqrt(222-18*sqrt(37)+24*sqrt(37-3*sqrt(37))*cos(arctan(B)/3))*cos(arctan(C/D)/3)，其中：

A=(11*sqrt(3)+2*sqrt(111))/9，B=(552*sqrt(3)-45*sqrt(111))/211，C=9*sqrt(74-10*sqrt(37))*cos(arctan(E)/3)，D=74-8*sqrt(37)+sqrt(21386-3050*sqrt(37))*cos(arctan(F)/3)，E=A，F(xiàn)=(-444323*sqrt(3)+73114*sqrt(111))/3897。

要三等分四個角，一是(11*sqrt(3)+2*sqrt(111))/9反正切值，二是(552*sqrt(3)-45*sqrt(111))/211反正切值，三是(-444323*sqrt(3)+73114*sqrt(111))/3897反正切值，最后一個與前面的A和F有關。

第一部分：-1+sqrt(37)+2*sqrt(74+10*sqrt(37))*cos(arctan(A)/3+pi/3)，A=(11*sqrt(3)+2*sqrt(111))/9，在第1~3步得到體現(xiàn)，最終作出線段OG長度正是其1/2。

第二部分：模長參數(shù)sqrt(222-18*sqrt(37)+24*sqrt(37-3*sqrt(37))*cos(arctan(B)/3))用射影定理及三等分角作出。其中arctan(B)等于角KJM。HI=6，IP=37-3*sqrt(37)+4*sqrt(37-3*sqrt(37))*cos(arctan(B)/3，QI是這兩線段的幾何平均，正好是該模長參數(shù)。輻角參數(shù)arctan(C/D)，借用了角BAE做了線段XZ長為C。又新作了角arctan((-444323*sqrt(3)+73114*sqrt(111))/3897)去構造長度為D的線段RX。二線段垂直，還能三等分角XRZ移植到圓G的圓心角上。最終作出了線段sqrt(74+10*sqrt(37))*cos(arctan(A)/3+pi/3)+2*sqrt(222-18*sqrt(37)+24*sqrt(37-3*sqrt(37))*cos(arctan(B)/3))*cos(arctan(C/D)/3)。加上OG的1/2，正是cos(2*pi/37)的18倍！

38邊形的作法

1.如下圖。作圓O，半徑OA0=18，反向延長OA0到A使得OA=1。

2.從OA0截取出OB=6，從B引OA0垂線l，l上取一點C使得BC=3*sqrt(3)。

3.三等分角BAC得角BAD，D落在以AC為半徑的圓A上，投影到OA0是H點，圓心角DAE=60度跨過C點，C、D在OA0同側。圓A直徑是EF，F(xiàn)投影到OA0直線是G點。

4.作以2*sqrt(63+6*OH)為半徑的圓G，從線段GA0中截取GI=(297+60*OH-9*OG)/(2*OH+21)。作OA0的垂線IJ交圓G于J。

5.作角KGI=角JGI/3，K落在圓G上。從K引OA0垂線交圓O于A2。

6.平分角A0OA2同劣弧A0A2交于A1。此時A0A1是圓O內接正38邊形邊長。

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原理：

cos(2*pi/19)=(-2+w2*(532+228*sqrt(3)*j)^(1/3)+w1*(532-228*sqrt(3)*j)^(1/3)+(2736+18*((4215644+544236*sqrt(3)*j)^(1/3)+(4215644-544236*sqrt(3)*j)^(1/3))+162*j*((228*sqrt(3)+532*j)^(1/3)+(228*sqrt(3)-532*j)^(1/3)))^(1/3)+(2736+18*((4215644+544236*sqrt(3)*j)^(1/3)+(4215644-544236*sqrt(3)*j)^(1/3))-162*j*((228*sqrt(3)+532*j)^(1/3)+(228*sqrt(3)-532*j)^(1/3)))^(1/3))/36，而pi/19可以通過平分2*pi/19得到。

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39邊形的作法

1~3 同26邊形作法前3步。

4.作AB中垂線，同下半圓A交于L，則KL的弧度數(shù)是5/39個圓周。作圖圖片略。

原理：pi/3-pi/13=5*(2*pi/39)。

以上正多邊形借助現(xiàn)有工具還有其他畫法，歡迎大家留言討論！