有很多人依舊認為樂器是憑借老法師的手感設計和制造的。但2019年了，基本上任何行業(yè)都有計算機輔助設計和有限元仿真設計。

Comsol是聲學屆最著名的有限元仿真軟件。1986年7月，公司成立于瑞典，斯德哥爾摩。目前分公司已遍布全球十多個國家，包括丹麥、芬蘭、法國、德國、荷蘭、挪威、印度、意大利、瑞士、巴西、英國和美國。

以下內容為轉載Linus Andersson的文章。

從 10 世紀到 18 世紀，小提琴的音孔從圓形逐漸演變?yōu)榧氶L的?f?形。在最近發(fā)布的一篇研究論文中，美國麻省理工學院的科學家和波士頓北本尼特街學校（North Bennet Street School）的小提琴制造商研究了這種形狀變化對音質的影響。他們認為 f 形孔能夠增強氣流，將小提琴低音的響度增加兩倍。今天，我們將使用 COMSOL Multiphysics 重現(xiàn)他們的研究結果。

小提琴背后的物理學

小提琴背后的科學與它們彈奏的音樂一般復雜多樣。與小提琴相關的研究主題包羅萬象，從運弓的生物力學，到被蒙住眼睛的出色小提琴家能否辨認出正宗的斯特拉迪瓦里（Stradivarius）和現(xiàn)代小提琴（劇透：他們不能）。

一把小提琴。

同麻省理工的研究人員一樣，我們的研究重點是 280 至 300 Hz 附近的基本空氣共振模態(tài)。在較高的頻率下，小提琴主要靠琴身振動來增強聲音，但在這個頻率下，小提琴內的空氣會產(chǎn)生共鳴。因此，低音音符的大部分聲音是通過 f 孔發(fā)射出來的。

作為一次近似，該空氣模態(tài)通常被視為完全發(fā)生在空氣中的亥姆霍茲共振。研究小組在實驗中引入了模擬和測量方法，試圖弄清小提琴琴身的振動如何影響共振頻率。您或許好奇控制琴身振動需要哪些實驗條件，請不要擔心——沒有必要特意使用混凝土制作一把小提琴。該團隊巧妙地將普通的小提琴固定在合適的位置上，幾乎能消除所有振動。

當然，借助 COMSOL Multiphysics 模型，這種類型的實驗可以變得更簡單。建立聲-結構相互作用模型后，共振將自動耦合到實體上。然后禁用結構，便只留下空氣振動。我沒有適用于此模型的小提琴 CAD 文件，因此創(chuàng)建了一個相當逼真，但不至于太復雜的原始幾何。在線搜索了小提琴的構造圖后，我決定創(chuàng)建一個如下圖所示的幾何結構。

小提琴的模型幾何，包括平坦的頂板和底板、剛性側面、f 孔（黑色）、固定在頂板下的加固低音梁（灰色）和連接上下板的音柱（黃色）。

我沒有試著重新創(chuàng)造一把屬于某個品牌的小提琴，而是徒手勾畫了琴身和 f 孔，并將其縮放到小提琴實物的標準尺寸。小提琴琴身的側板通常非常堅硬，應該不會主動影響共鳴，所以被模擬為硬聲場邊界。對于琴身的其他部分，我采用了楊氏模量為 10 GPa 的云杉材料。

定音調：模擬聲-結構相互作用

下圖顯示了壓力聲學的計算結果，其中整個琴身被設為聲學剛性。顏色標度表示小提琴內部和f 孔內的聲壓級。我們在小提琴外添加了空氣半球的輪廓，目的是讓模態(tài)自由衰減，而不是在孔的正上方被人為地切斷。此分析得到的特征頻率為 304 Hz。

空氣共振模態(tài)的壓力聲學計算結果顯示了聲壓級分布，頻率為 304 Hz。聲壓級范圍從藍色（低）升高為紅色（高）。我們計算了各處的聲壓級，但隱藏了外部空氣中的分布。

通過添加上述結構，我們增加了系統(tǒng)的靈活性，同時期望特征頻率會降低。這正是模型中所發(fā)生的情況。雖然聲學模態(tài)的基本形狀（圖中未顯示）仍基本相同，但是頂板和底板現(xiàn)在開始充當彈簧，進而增加了系統(tǒng)的柔度。正如下圖所示，頂板和底板都向外彎曲，以適應腔體內的壓力。這將特征頻率降低到 287 Hz。

在腔體承受最大壓力的階段，小提琴體變形的四分之三側面圖和側視圖。特征頻率目前降到了 287 Hz。

在計算中增加實體導致特征頻率降低 17 Hz（6％），這與研究人員的發(fā)現(xiàn)相當一致。他們曾使用真正的小提琴來做實驗，報告顯示自由狀態(tài)和受鉗制狀態(tài)下的特征頻率均略高于我們的仿真結果。然而，6％ 的差異是相同的，這支持了團隊提出的兩者之比對樂器細節(jié)相對不敏感的觀點。既然得到清晰的結論，您便可以在此確認：6％ 的特征頻率下降是一個完整的半音。如果要好好給樂器調音，就需要考慮到聲-結構相互作用！

定音量：模擬氣流

回顧一下本文開篇時提出的主要問題：音孔形狀會產(chǎn)生什么影響？該研究論文討論了無限大的硬聲場表面上各式音孔的解析結果和模擬結果。如果我們想要將音孔形狀變化與長期以來的其他設計變化帶來的影響區(qū)分開，這種理想化方法當然是個好主意。不過，既然我們建立了小提琴的模型幾何，不妨利用這些信息找出音孔形狀對音量的影響。

研究人員想出了一個相當簡單的氣流模型：在無限硬聲場表面（此例為小提琴）外的空氣中求解勢流方程。至于邊界條件，將音孔表面的勢函數(shù)設為常數(shù)值，并將無限遠端的勢函數(shù)設為零。然后對從音孔中的總通量進行積分，即可測量氣流的相對大小。

COMSOL Multiphysics 的可壓縮勢流?接口可以求解與論文中相似，但更高級一些的方程。我們將零勢函數(shù)條件應用到小提琴周圍的空氣球體表面。為保證一致性對比，圓孔面積必須與 f 孔完全相等。

圓形和 f 形音孔上方的速度勢分布和空氣流動。繪圖僅顯示其中一個孔的流動情況。

不同幾何形狀的流量比為 1.51，這對 f 孔更加有利。若我們假設聲功率與流量的平方成正比，則小提琴音量的最大比值為 1.512 = 2.28。但是該比值卻大于論文所述的比例因子——2。這次模型結果是否達到了目標？事實再次證明，沒有實體振動和沒有實體傳輸?shù)哪J假設并不完美。根據(jù)研究小組估算，真正的、具有柔性的小提琴在空氣共振模態(tài)發(fā)出聲音的情況下，更加接近計算出來的氣流，此時指數(shù)為 1.7。我很樂意為了探究該命題再建立一個模型。但就目前而言，1.511.7 = 2.01 ≈ 2 足以令我滿意。

了解更多使用 COMSOL Multiphysics 模擬樂器的知識

• 親手操作：下載“小提琴中的聲-結構相互作用和氣流”教學模型
• 閱讀本文中討論的研究論文：H.T?！癟he evolution of air resonance power efficiency in the violin and its ancestors,” The Royal Society, 2015.