梅涅勞斯定理

梅涅勞斯(Menelaus)，有翻譯為門納勞斯的，是公元一世紀，古希臘亞歷山大后期的數學家，天文學家，球面三角術的創(chuàng)始人之一。他寫過六本關于圓中的弦的書，可惜都失傳了，現存的著作只有《球面論(Spherics)》以阿拉伯文本保存了下來。該著作一共有三冊，第一冊討論球面集合，第二冊以天文為主題，第三冊是球面三角術。其中第三冊的第一個命題，即為梅涅勞斯球面三角形定理。該定理由于涉及六個量，因此，在中世紀，又稱為“六量律(regula sex quantitatum)”。

今天我們稱為梅涅勞斯定理，即為該命題的平面情況，梅涅勞斯并沒有證明平面情況，直接是將之當做已知的定理，用來證明梅涅勞斯球面三角形定理。

現在的梅涅勞斯定理，對于現在的競賽生來說，應該相當熟悉，一般而言使用該定理判定三點共線。

梅涅勞斯定理

設分別是的三邊或延長線上的三點，若三點共線，則

證明

過作直線交的延長線于,則

因此

證明還是比較簡單的。

接下來，我們介紹一下梅涅勞斯球面三角形定理，這里采用的證明方法，就是梅涅勞斯《球面論》上的證明。以下證明過程是完整地參照Rani Hermiz的《English Translation of the Sphaerica of Menelaus》，這個英文翻譯，沒有附加圖像，也沒有數學公式，只是純粹的英文文字說明。看得讓人頭大，我就將之翻譯了一下，并且將圖也加上去了。注意在《球面論》原書沒有使用正弦，而是使用希帕霍斯發(fā)明的弦函數(chord)，即圓心角所對應的弦長，這個和現在的正弦函數有如下關系。

為了方便理解，我們將使用弦函數的地方等價用正弦函數替代。

梅涅勞斯球面三角形定理

假設兩個弧和在點相交，我們從點和繪制兩個弧和，它們在點相交，這四個弧都來自球面上大圓的周長，每個弧都小于半周長。那么我說，弧的正弦與弧的正弦的比值等于弧的正弦與弧的正弦的比值與弧的正弦與弧的正弦的比值的乘積。

證明

設為球的中心，我們畫出線段、和，并連接和。

那么弦和半徑在同一平面內，

因此要么與平行，要么不平行。

如果不平行，則它們在兩側的其中一側相交。

如果它們在的一側相交，那么讓它們在點相交，

我們畫出弦，它與半直徑相交，交點為，

我們畫出弦，它與半直徑相交，交點為。

由于所有的線、和都從的中心點引出到其周長，

因此它們都在同一個平面內，點、和在這個平面內。

在兩側和的平面內，

這個平面是直接從其中取出的，以使點在該平面內。

因此，點、和在兩個平面中，即的平面和的平面中，

因此它們在相交平面的公共部分上，這是一條直線。

因此，線段和夾在和之間，在點相交，

因此與的比等于與的比與與的比的乘積。

與的比值與弧的正弦與弧的正弦的比值相同，

與的比值與弧的正弦與弧的正弦的比值相同，

與的比值與弧的正弦與弧的正弦的比值相同，

因此，弧的正弦與弧的正弦的比值等于弧的正弦與弧的正弦的比值與弧的正弦與弧的正弦的比值的乘積。

對于其他情況，梅涅勞斯在《球面論》上做了詳細的證明，這里就不詳細說明了。感興趣的朋友可以自己證明一下。

對于梅涅勞斯《球面論》，還有一個命題比較著名，就是《球面論》第三冊的第五命題，這個命題嚴格來說梅涅勞斯并沒有給出嚴格的證明，只是給出了一個證明框架。這導致了后世的數學家們在嚴格證明該命題的同時，完善了球面三角學。梅涅勞斯在這個第五命題的證明框架中，使用了一條未經證明的引理，該引理類似截線的交比不變性，用圓弧所對角的正弦比值來表示。