01??背景簡介

在之前的文章“TPS54561DPRT規(guī)格書公式(35)如何推導？”、“TPS54561DPRT規(guī)格書公式(36)如何推導？”中，我們推導了TPS54561DPRT規(guī)格書中“為了滿足負載動態(tài)響應(Load Transient Response)”BUCK電路輸出端所需的電容量最小值計算公式(35)，以及“為了滿足負載動態(tài)響應(Load Transient Response)”BUCK電路輸出端所需的電容量最小值計算公式(36)，如下所示：

本文，我們將這兩篇文章合并，對比這兩個公式的推導過程，從而得出它們之間的很有意思的不同點。

在當前（2023.05）最新的TPS54561DPRT(Rev.G)版本規(guī)格書P32-33頁，原文描述：

Equation 35 shows the minimum output capacitance necessary, where ΔIOUT is the change in output current, ?sw is the regulators switching frequency and ΔVOUT is the allowable change in the output voltage. For this example, the transient load response is specified as a 4% change in VOUT for a load step from 1.25 A to 3.75 A. Therefore,?ΔIOUT is 3.75 A - 1.25 A = 2.5 A and ΔVOUT = 0.04 × 5 = 0.2 V.?Using these numbers gives a minimum capacitance of?62.5 μF.?This value does not take the ESR of the output capacitor into account in the output voltage change. For ceramic capacitors, the ESR is usually small enough to be ignored. Aluminum electrolytic and tantalum capacitors have higher ESR that must be included in load step calculations.?

中文翻譯：公式35給出了所需的最小電容量，其中ΔIOUT是輸出電流的變化，?sw是穩(wěn)壓器開關頻率，ΔVOUT是輸出電壓的允許變化。在本例中，瞬態(tài)負載響應指定為1.25 A至3.75 A負載電流階躍導致的VOUT變化量為4%。因此，ΔIOUT 為 3.75 A - 1.25 A = 2.5 A，ΔVOUT = 0.04 × 5 = 0.2 V。這里，在輸出電壓4% 的變化量中不考慮輸出電容的ESR產生的影響。對于陶瓷電容器，ESR通常足夠小，可以忽略不計。但是，鋁電解電容器和鉭電容器具有更高的 ESR，必須包含在負載電流階躍計算中。

Equation 36 calculates the minimum capacitance required to keep the output voltage overshoot to a desired value, where LO is the value of the inductor, IOH is the output current under heavy load, IOL is the output under light load, Vf is the peak output voltage, and Vi is the initial voltage. For this example, the worst case load step will be from 3.75 A to 1.25 A. The output voltage increases during this load transition and the stated maximum in our specification is 4 % of the output voltage. This makes Vf = 1.04 × 5 = 5.2. Vi is the initial capacitor voltage which is the nominal output voltage of 5 V. Using these numbers in Equation 36 yields a minimum capacitance of 44.1 μF.

中文翻譯：公式36用于計算將輸出電壓過沖(Overshoot)保持在設計需求值內所需要的最小電容量，其中LO是功率電感的電感量，IOH是重負載下的輸出電流，IOL是輕負載下的輸出電流，Vi是初始電壓（注：也就是重負載下的穩(wěn)態(tài)電壓，等于輸出電壓Vout），Vf是峰值輸出電壓（注：是在穩(wěn)態(tài)輸出電壓Vout基礎上疊加一個電壓增量）。在本例中，最壞情況下的負載階躍為3.75 A至1.25 A，即IOH=3.75A，IOL=1.25A。在此負載轉換期間，輸出電壓增加，我們設計需求中規(guī)定的最大值為輸出電壓的4%。這使得?Vf = Vout + ΔVout = (1+4%) × 5.0V = 5.2V。Vi是初始電容電壓，等于標稱輸出電壓5 V，即?Vi = Vout = 5.0V，在公式36中使用這些數字可計算得到44.1 μF的最小電容。

02??公式(35)推導過程

圖1 Load Step-up圖1所示，是進行負載動態(tài)響應測試時從“輕載”到“重載”的示意圖。我們將從“輕載”到“重載”這個過程稱為“暫態(tài)”（對應時間為?T），“暫態(tài)”之前稱為為“輕載狀態(tài)”，暫態(tài)之后稱為為“重載狀態(tài)”。無論是“輕載狀態(tài)”還是“重載狀態(tài)”都是BUCK轉換器經過“調整”之后的“穩(wěn)態(tài)”，輸出電容COUT上的平均電流為零（電荷守恒，電容不生產電荷，電容只是電荷的搬運工）。

假設“暫態(tài)”?T這段時間內輸出電壓跌落?VOUT完全由輸出電容COUT提供，那么基于輸出電容COUT上的電荷變化量，利用“電荷公式I×?T=?Q=C×?U”，可得：

?IOUT*?T=COUT*?VOUT??? ?(1)

解得，為滿足負載動態(tài)響應測試時從“輕載”到“重載”條件下輸出電壓或輸出電容上的電壓VOUT的跌落或Undershoot不超過?VOUT，所需要的輸出電容量的一般表達式，如下所示：

COUT,min = ( ?IOUT*?T ) / ?VOUT? ? ?(2)

如果要求BUCK轉換器必須在2個開關周期即?T=2*Tsw=2/Fsw時間內調整完成使得輸出電壓不再繼續(xù)跌落轉而開始上升的話，那么上述公式可以重新表達如下：

COUT,min = ( 2*?IOUT ) / ( Fsw*?VOUT )? ? ?(3)

推導完畢。這就是TPS54561DPRT規(guī)格書公式(35)的來源。

03??公式(36)推導過程

圖2 Load Step-down

圖2所示，為了滿足Load Step-down之后輸出端或輸出電容上的電壓Vout不超過設計需求中的Vout + ΔVout ，所需的輸出電容量必須要吸收功率電感上釋放的能量為

(1/2)*L*(I2)^2 – (1/2)*L*(I1)^2? ? ?(4)

這就是在Load Step-down之前和之后電感上的能量變化量。而對應的輸出電容上的能量變化量為

(1/2)*Cout*(Vout + ΔVout)^2 – (1/2)*Cout*(Vout)^2? ? ?(5)

利用電感能量變化量和電容能量變化量相等，有：

(1/2)*L*(I2)^2 – (1/2)*L*(I1)^2 = (1/2)*Cout*(Vout + ΔVout)^2 – (1/2)*Cout*(Vout)^2? ? ?(6)

消去1/2，合并多項式有：

L * [ (I2)^2 - (I1)^2 ] = Cout * [ (Vout + ΔVout)^2 - (Vout)^2 ]? ? ?(7)

從而解得 ：

Cout = L * [ (I2)^2 - (I1)^2 ] / [ (Vout + ΔVout)^2 - (Vout)^2 ]? ? ?(8)

將 Vi = Vout 、 Vf = Vout + ΔVout 、IOH = I2和IOL = I1代入上述公式中，得到：

Cout = L * [ (IOH)^2 - (IOL)^2 ] / [ (Vf)^2 - (Vi)^2 ]? ? ?(9)

推導完畢。這就是TPS54561DPRT規(guī)格書公式(36)的來源。

04??思考：兩個推導過程的區(qū)別？

為何公式(35)的推導，僅基于電荷公式或電容上的電荷變化量即可完成；而公式(36)的推導，需要用到能量公式，即電感上的能量公式和電容上的能量公式？

答案是，關鍵在圖中。

參考圖1 Load Step-up的過程，因為我們假設“暫態(tài)”?T這段時間內輸出電壓跌落?VOUT完全由輸出電容COUT提供，功率電感與輸出電容之間的路徑相當于是斷開的，這個過程的能量轉換是從輸出電容到負載端。因為這個轉換過程，只涉及“電容元件”，所以使用電荷公式即可。

參考圖2 Load Step-down的過程，從“重負載”到“輕負載”其實就是拋負載的過程，這個過程完成后，相當于輸出電容與負載端是斷開的，所以功率電感上的能量只能轉換到輸出電容上。因為這個轉換過程涉及“功率電感元件”和“電容元件”，不同元件之間的能量轉換，只能使用對應的能量公式，能量是守恒的。

原文鏈接：https://mp.weixin.qq.com/s/p6jKdYsDFWKxSWlqGIu8_A