2023浙江大學強基數(shù)學逐題解析（5）

2023-06-21 00:57 作者:CHN_ZCY 0人讀過 | 我要投稿

封面：安達としまむら

作畫：kagami

https://www.pixiv.net/artworks/85618946

12. 下列說法正確的是

A.?自然數(shù)集合與有理數(shù)集合間無雙射

B.?有理數(shù)集合與實數(shù)集合間無雙射

C.?實數(shù)集合與整數(shù)集合間無雙射

D. 以上都不對

答案? BC

解析??

A. 我們將 $%5Cfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cleft(p%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%2Cq%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$ 按如下順序排成數(shù)列 $%5Cleft%5C%7Br_n%5Cright%5C%7D$ ：

$%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D%2C%5Cfrac%7B2%7D%7B1%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B3%7D%7B1%7D%2C%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5Cfrac%7B4%7D%7B1%7D%2C%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2C%5Ccdots$

然后將其中滿足 $%5Cleft(p%2Cq%5Cright)%3D1$ 的項對應的 $n$ 從小到大排成 $%5Cleft%5C%7Ba_n%5Cright%5C%7D$ .

構造 $f_%2B%3A%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5E*$ ，滿足

$f_%2B%5Cleft(n%5Cright)%3Dr_%7Ba_n%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

則 $f_%2B$ 是一個雙射.

利用交替排列正負有理數(shù)的方法，構造 $f%3A%5Cmathbb%7BN%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ 滿足：

$f%5Cleft(0%5Cright)%3D0$

$f%5Cleft(2n-1%5Cright)%3D-f_%2B%5Cleft(n%5Cright)%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

$f%5Cleft(2n%5Cright)%3Df_%2B%5Cleft(n%5Cright)%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

則 $f$ 是一個雙射.

所以，自然數(shù)集合與有理數(shù)集合間存在雙射.

故A說法不正確.

B.?由A知， $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 與 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 等勢.

我們證明以下引理：

引理1??對任意 $x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D$ 和區(qū)間 $%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D%5Cleft(a%3Cb%5Cright)$ ，存在 $c%2Cd%5Cleft(c%3Cd%5Cright)$ 滿足 $%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D%20%5Csubseteq%20%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D$ 且 $x%20%5Cnotin%20%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D$ .

證明? 若 $x%5Cnotin%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D$ ，則只需

$a%5Cleq%20c%3Cd%5Cleq%20b$

顯然存在.

若 $x%3Da$ ，則只需

$a%3C%20c%3Cd%5Cleq%20b$

顯然存在.

若 $x%5Cin%20%5Cleft(a%2Cb%5Cright)$ ，則只需

$a%5Cleq%20c%3Cd%3Cx%3Cb%20%E6%88%96a%3Cx%3Cc%3Cd%5Cleq%20b$

顯然存在.

若 $x%3Db$ ，則只需

$a%5Cleq%20c%3Cd%3C%20b$

顯然存在.

綜上，對任意 $x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D$ 和區(qū)間 $%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D%5Cleft(a%3Cb%5Cright)$ ，存在 $c%2Cd%5Cleft(c%3Cd%5Cright)$ 滿足 $%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D%20%5Csubseteq%20%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D$ 且 $x%20%5Cnotin%20%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D$ . 引理1得證.

引理2? 對任意 $L%3E0$ ，在引理1的條件下，都存在 $c%2Cd$ 滿足

$0%3Cd-c%3CL$

證明? 對于引理1中取得的任意 $%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D$ ,若 $0%3Cd-c%3CL$ ，結論成立；若 $d-c%5Cgeq%20L$ ，則一定存在 $%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D$ 的某個真子集 $%5Cleft%5Bc'%2Cd'%5Cright%5D$ 滿足 $0%3Cd'-c'%3CL$ ，結論成立. 引理2得證.

假設 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 與 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 等勢，即 $%5Cmathbb%7BR%7D%3D%5Cbigcup_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%7D%5E%7B%7D%5Cleft%5C%7Bx_n%5Cright%5C%7D%20$ .

存在 $%5Cleft%5Ba_0%2Cb_0%5Cright%5D%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D$ 滿足

$x_0%20%5Cnotin%20%5Cleft%5Ba_0%2Cb_0%5Cright%5D$

且

$0%3Cb_0-a_0%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E0%7D$

對任意 $n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ，存在 $%5Cleft%5Ba_n%2Cb_n%5Cright%5D%20%5Csubseteq%20%5Cleft%5Ba_%7Bn-1%7D%2Cb_%7Bn-1%7D%5Cright%5D$ 滿足

$x_n%20%5Cnotin%20%5Cleft%5Ba_n%2Cb_n%5Cright%5D$

且

$0%3Cb_n-a_n%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D$

由此， $%5Cleft%5C%7Ba_n%5Cright%5C%7D_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%7D$ 與 $%5Cleft%5C%7Bb_n%5Cright%5C%7D_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%7D$ 均為 $%5Cmathrm%7BCauchy%7D$ 數(shù)列，因此 $%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20a_n$ 與 $%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20b_n$ 均存在.

且 $%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cleft(b_n-a_n%5Cright)%3D0$ ，所以

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20a_n%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20b_n$

記

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20a_n%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20b_n%3Ds%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D$

則對于任意 $n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$ ， $a_n%3Cs%3Cb_n$ .

由于對于任意 $n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$ ， $x_n%20%5Cnotin%20%5Cleft%5Ba_n%2Cb_n%5Cright%5D$ ，

所以對于任意 $n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$ ， $x_n%20%5Cneq%20s$ .

這說明 $s%20%5Cnotin%20%5Cmathbb%7BR%7D$ ，矛盾.

所以 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 與 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 不等勢.

從而 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 與 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 不等勢. 所以有理數(shù)集合與實數(shù)集合間無雙射.

故B說法正確.

C. 構造 $g%3A%5Cmathbb%7BN%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BZ%7D$ ，滿足

$g%5Cleft(n%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%2Cn%3D2k%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)%5C%5C%0A-%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7D%2Cn%3D2k%2B1%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D$

則 $g$ 是一個雙射，所以 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 與 $%5Cmathbb%7BZ%7D$ 等勢.

所以 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 與 $%5Cmathbb%7BZ%7D$ 不等勢. 所以實數(shù)集合與整數(shù)集合間無雙射.

故C說法正確.

D. 因為B、C說法是正確的，所以D說法不正確.

故選：BC.

13. 已知 $a%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D$ ， $%5Ctheta%20%5Cin%20%5Cleft%5B0%2C2%5Cpi%5Cright)$ ，復數(shù)

$z_1%3D%5Ccos%5Ctheta%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Csin%5Ctheta$

$z_2%3D%5Csin%5Ctheta%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Ccos%5Ctheta$

$z_3%3Da%5Cleft(1-%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cright)$

求滿足 $z_1$ ， $z_2$ ， $z_3$ 成等比數(shù)列的 $%5Cleft(a%2C%5Ctheta%5Cright)$ 的個數(shù).

答案? 6

解析??

由于 $z_2%5Cneq0$ ，所以 $z_1%2Cz_2%2Cz_3$ 成等比數(shù)列等價于

$z_2%5E2%3Dz_1z_3$

由于

$z_2%3D%5Ccos%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Ctheta%5Cright)%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Csin%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Ctheta%5Cright)$

$z_3%3D%5Csqrt%7B2%7Da%5Cleft(%5Ccos%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Csin%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D%5Cright)$

所以 $z_2%5E2%3Dz_1z_3$ 等價于

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0A1%5E2%3D1%5Ccdot%5Csqrt%7B2%7Da%5C%5C%0A%5Cpi-2%5Ctheta%3D%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D%2B2k%5Cpi%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%E6%88%96%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A-1%5E2%3D1%5Ccdot%5Csqrt%7B2%7Da%5C%5C%0A2%5Cpi-2%5Ctheta%3D%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D%2B2k%5Cpi%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A$

即

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0Aa%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%5Ctheta%3D-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B2k%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%E6%88%96%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0Aa%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B12%7D%2B%5Cfrac%7B2k%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A$

由于 $%5Ctheta%20%5Cin%20%5Cleft%5B0%2C2%5Cpi%5Cright)$ ，上式即

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0Aa%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B12%7D%E6%88%96%5Cfrac%7B13%5Cpi%7D%7B12%7D%E6%88%96%5Cfrac%7B21%5Cpi%7D%7B12%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%E6%88%96%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0Aa%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B12%7D%E6%88%96%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B4%7D%E6%88%96%5Cfrac%7B17%5Cpi%7D%7B12%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A$

所以滿足 $z_1%2Cz_2%2Cz_3$ 成等比數(shù)列的 $%5Cleft(a%2C%5Ctheta%5Cright)$ 的個數(shù)為6.

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