原神抽卡機(jī)制研究（二）——四星的抽取機(jī)制
注意，本文為歷史性存檔文章，記錄了最初分析原神抽卡機(jī)制時的一些探索過程，保留了文章發(fā)布時的風(fēng)貌。最初采用的數(shù)據(jù)較為有限，其中的一些細(xì)節(jié)并不符合后來更詳細(xì)的統(tǒng)計結(jié)果。
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本文側(cè)重于記錄分析與模型建立過程，針對角色活動祈愿和常駐祈愿。原神抽卡全機(jī)制總結(jié)已經(jīng)于專欄總結(jié)篇給出。
引言
????????在上次對五星的抽卡機(jī)制進(jìn)行研究并得到還不錯的結(jié)論后，我就打算也分析一下四星的抽卡機(jī)制。當(dāng)時想的很美好，四星的數(shù)據(jù)比五星的數(shù)據(jù)好獲取多了，肯定很快就可以得到結(jié)論。誰知道，分析四星抽卡機(jī)制的過程經(jīng)歷了種種問題，花了三個月繼續(xù)這項工作，現(xiàn)在（指2021年2月）才得到堪堪能參考的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/strong>。后續(xù)更新本文時（2021年4月）建立的模型已經(jīng)相當(dāng)完備。
數(shù)據(jù)獲取
????????海量數(shù)據(jù)的獲取是尋找抽卡規(guī)律的基礎(chǔ)。從看自己的抽卡記錄，看主播抽卡視頻，到統(tǒng)計彈幕中出貨抽數(shù)，之前我的數(shù)據(jù)來源或許說得上量大，但是準(zhǔn)確性堪憂。
????????得益于抓包導(dǎo)出抽卡記錄的工具，在三個月里我收集到了量大且準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)供這次分析使用。
????????第一批募集到的數(shù)據(jù)中有54722條抽卡記錄，因收集時未聲明會公開數(shù)據(jù)，故沒有公開，在本文中僅做參考數(shù)據(jù)使用。
????????第二批募集到的數(shù)據(jù)中目前有77500條抽卡記錄，抽卡記錄文件及簡易分析工具在GitHub的GI_gacha_dataset項目上，數(shù)據(jù)會持續(xù)更新。
????????2021年4月9日更新本文時，收集到的數(shù)據(jù)已有19萬條。
抽卡數(shù)據(jù)特征提取
四星概率上升位置
?????? 觀察數(shù)據(jù)，抽到四星的概率于距離上次抽到四星后八次都沒有抽到四星后開始上升，也即是第9次處開始上升。
五星不會重置四星的保底
?????? 觀察數(shù)據(jù)，當(dāng)已經(jīng)連續(xù)九次沒有抽到四星，且接下來一次抽到五星時，再接下來一抽一定不會抽到三星，相當(dāng)于五星物品將四星物品從第十發(fā)擠到了第十一發(fā)，發(fā)生這種情況的四星約占所有四星的0.5%。對比中途抽到五星和中途沒有抽到五星的情況，抽到四星所需抽數(shù)的分布大體不變，中途抽到了五星并不會使得抽到四星所需抽數(shù)顯著增長。
?????? 據(jù)此推測，有可能出現(xiàn)連續(xù)九抽沒有抽到四星后連續(xù)抽到兩個五星，再抽一次抽到四星，這樣距離上個四星后又抽了十二次才抽到四星，但這概率太低了，我也沒有觀察到這樣情況。（2021年4月更新本文時已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一例）
十連和單抽對四星抽取可以認(rèn)為沒有區(qū)別
?????? 觀察數(shù)據(jù)，十連并不會像很多玩家認(rèn)為的那樣，在計算時發(fā)現(xiàn)前9次沒有四星在第10次抽取時強(qiáng)行塞一個四星進(jìn)去，形成十連必有一個四星的情況。事實(shí)上，兩次四星之間間隔不超過十次是十連必有一個四星的充分條件，不需要制定一個檢測十連是否有至少一個四星，否則塞一個四星進(jìn)去的規(guī)則。數(shù)據(jù)中十連和單抽除了拉取數(shù)據(jù)中十連具有相同抽卡時間記錄外，都是有序的，十連與單抽幾乎沒有區(qū)別。如果十連并不會帶來強(qiáng)制加入的四星物品，那么就會出現(xiàn)十連有五星，沒有四星的情況：五星碰巧把四星擠到第十一次去了。我看到了有這樣的截圖，但是不能確定其真實(shí)性，不過從其他方面足以說明區(qū)分十連和單抽意義不大。
四星和五星之間概率分配特征
????????四星和五星沒有耦合時，舉例設(shè)前8次沒有抽到四星，第9次抽到四星的概率為1/2，前78次沒有抽到五星時，第79次抽到五星的概率為1/3。那么當(dāng)這兩種情況耦合到一起時，四星和五星之間的概率是怎樣分配的？
????????第一種設(shè)想是這一抽有1/3的概率抽到五星，剩下2/3部分中有1/2概率抽到四星?？偟膩碚f1/3概率是五星，1/3概率是四星，1/3概率是三星。
????????第二種設(shè)想是五星和四星各占據(jù)自己的比例，兩者概率之和大于1時五星更優(yōu)先。這樣的話五星占1/3概率，四星占1/2概率，三星占(1-1/3-1/2)=1/6概率。
????????在數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)，類似情況中三星物品出現(xiàn)的頻率非常低，比例接近于第二種設(shè)想。
最初建立的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/strong>
????????最開始我忽視了四星和五星的耦合問題，簡單的將分析五星的方法應(yīng)用于四星，調(diào)整第9次出四星的條件概率使得綜合概率匹配13%，按照米哈游官網(wǎng)文字描述在四星中按概率劃分UP四星角色、非UP四星角色、四星武器。
????????但是收集到的數(shù)據(jù)中四星的分布明顯和我預(yù)計的不同，每次抽到四星時，位于上一個四星后的第9次抽卡的比例明顯高于預(yù)期。角色祈愿中UP四星角色約占四星的68%，四星武器約占28%，其他四星角色約占4%，其他四星角色的比例明顯低于預(yù)計。
????????思考了很久后我發(fā)現(xiàn)我忽視了四星與五星的耦合問題，抽卡系統(tǒng)設(shè)計者有充足的時間進(jìn)行工作，肯定考慮的很到位。在目前的假設(shè)下，每次抽卡僅與前有限次抽卡相關(guān)聯(lián)，滿足高階馬爾科夫性質(zhì)，我便定義了一個很大的概率轉(zhuǎn)移矩陣來進(jìn)行綜合概率和分布的計算。
????????令人沮喪的是，考慮了四星與五星的耦合后的模型仍和實(shí)測值仍有很大的差距。
????????隨著收集到的抽卡記錄越來越多，四星的抽取記錄已經(jīng)來到了上萬條，發(fā)現(xiàn)無論采用怎樣的糾偏方式去除系統(tǒng)偏差，四星的綜合概率的無偏估計量始終高于13%。
????????我產(chǎn)生了一個大膽的想法：四星實(shí)際的綜合概率難道比官方公布的13.00%更高？借助貧瘠的統(tǒng)計學(xué)知識，我嘗試用大數(shù)定理和假設(shè)檢驗(yàn)對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)際概率高于13.00%的可能性確實(shí)不低。雖然有人指出我的驗(yàn)證方法在數(shù)學(xué)上并不嚴(yán)格，但這足以為我壯膽去嘗試一下建立不符合官方公布信息的模型。
????????通過概率轉(zhuǎn)移矩陣計算分布，不斷調(diào)整第9次出四星的條件概率使得四星位于第9抽的比例匹配獲得數(shù)據(jù)中比例。以此方法建立了如下經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/strong>。
????????每次抽卡，抽到五星的概率為P_5，抽到四星的概率為P_4，抽到三星的概率為1-P_5-P_4。當(dāng)P_4+P_5>1時，抽到五星的概率為P_5，抽到四星的概率為1-P_5，抽到三星的概率為0。*抽到五星的概率P_5采取上篇專欄中構(gòu)造的五星抽取模型
????????對于角色活動祈愿，若上次抽到的四星不是活動祈愿UP四星角色，則這次一定是活動祈愿UP四星角色。
????????若上次抽到的四星是活動祈愿UP的四星角色，則這次有50%概率直接抽到活動UP四星角色。若沒有直接抽到活動UP四星角色，抽到四星按照下表的經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行分配。
????????按照經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行分配后，若抽到角色，祈愿中包含的所有四星角色平分概率（包含UP角色）。若抽到武器，祈愿中包含的所有四星武器平分概率。
后續(xù)對模型的完善
????????前文建立的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头睆?fù)而牽強(qiáng)，僅僅是擬合了部分統(tǒng)計特征，并不能令我滿意。隨著收集信息的增多，根據(jù)其他池的情況對常駐和角色祈愿四星的概率進(jìn)行了小調(diào)整，調(diào)整后四星綜合概率為13.0567%（考慮耦合五星），具體如下：
????????某天我在后臺查看評論的時候，發(fā)現(xiàn)有人稱“常駐池你這次是五星武器，下次就是五星人物，輪著來的”。我當(dāng)即用手上的案例反駁了這條評論，但是轉(zhuǎn)念一想，我確乎是沒有注意過這方面的統(tǒng)計特征。不看不知道，一看嚇一跳，收集到的數(shù)據(jù)中常駐祈愿兩個同類型五星之間的間隔沒有超過246抽的，在這么大量級的數(shù)據(jù)下這相當(dāng)不尋常。網(wǎng)友小明明-明中觀察使用數(shù)據(jù)集中玩家的抽卡次數(shù)做了模擬，證實(shí)常駐祈愿五星中兩類物品不會互相影響的可能性很低。五星的數(shù)據(jù)量相對較少，而四星也有類似的統(tǒng)計特征，于是先研究四星機(jī)制，再用四星的機(jī)制演繹五星的機(jī)制并驗(yàn)證。
????????經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)常駐祈愿中本次抽到的四星物品的類別與距離上次抽到同類別物品的抽數(shù)有關(guān)，和中途抽到的異類四星數(shù)量無關(guān)，且武器和角色的統(tǒng)計特征是對等的。這個機(jī)制會防止玩家只有角色沒有武器，或只有武器沒有角色，我稱之為“平穩(wěn)機(jī)制”。故對距離上次出本類物品i抽時出的四星是本類還是異類進(jìn)行統(tǒng)計。統(tǒng)計結(jié)果顯示，兩個同類四星的間隔沒有超過29抽（此處前為筆誤寫為19抽）的，距離上個同類四星17抽后，抽到同類四星的概率開始提升。于是根據(jù)數(shù)據(jù)特征結(jié)合公示的抽卡概率常數(shù)，使用輪盤選擇法建立了以下模型。（篇幅所限，詳見機(jī)制總結(jié)篇）
使用同樣的統(tǒng)計量，通過模擬對建立的模型進(jìn)行驗(yàn)證：
????????可以看到符合的還是相當(dāng)不錯的，實(shí)際占比的波動在允許的置信范圍內(nèi)，建立的模型是相當(dāng)可用的。將“平穩(wěn)機(jī)制”運(yùn)用于角色UP池，能夠完美的符合非UP四星角色占比。
????????將建立的模型推廣到五星和其他祈愿，結(jié)合數(shù)據(jù)驗(yàn)證，最后整理出了原神所有的抽卡機(jī)制，建立的模型能夠很好的滿足統(tǒng)計特征。你想了解的話可以去看看最后的總結(jié)篇。
完成所有工作后再想去評論區(qū)找那條雖然不正確，但啟發(fā)了我的評論，卻是怎么也找不到了。
結(jié)論
????????原神的四星實(shí)際綜合概率比官方公示值略高，本文中建立的模型能很好貼合實(shí)際情況。
閑聊
????????四星抽卡模型的建立過程非常的痛苦，本想完全依據(jù)官方給出的信息進(jìn)行建模，奈何并不能匹配實(shí)際數(shù)據(jù)，最初只能選擇建立并不優(yōu)雅的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿?，還因?yàn)閷?shí)際概率很可能比公示概率高，發(fā)了不少牢騷。后來引入了“平穩(wěn)機(jī)制”后終于找到了一個簡潔、符合邏輯，又可以滿足所有統(tǒng)計特征的模型。研究的過程還算有趣，使用了繁多的方法，建立過各種模型，最后也得到了一個能讓我自己滿意的模型。
