復旦大學謝啟鴻高等代數(shù)習題課ep.29-30練習題九解析幾何問題的再探究

2021-12-13 20:58 作者:CharlesMa0606 0人讀過 | 我要投稿

本文內(nèi)容主要有關于復旦大學謝啟鴻高等代數(shù)習題課ep.29-30練習題九的解析幾何問題

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題目來自于復旦大學謝啟鴻教授在本站高等代數(shù)習題課的課后思考題，本文僅供學習交流

首先給出原題和原來的證明

感謝網(wǎng)友@雨不大不打傘提出的問題：為什么系數(shù)矩陣的秩就是5了呢？于是我重新審視這道題，發(fā)現(xiàn)并沒有我原來想象得那么簡單，這個系數(shù)矩陣的行之間、列之間的關系比較復雜，并不是一句話就能帶過的，因此我對這個問題進行了重新探索，下面給出更加嚴格的證明.

證明? ??設二次曲線為 $ax%5E2%2Bbxy%2Bcy%5E2%2Bdx%2Bey%2Bf%3D0$ ，對坐標系進行適當旋轉，使得 $x_i$ 各不相同從而可以如下線性方程組：

$%5Cleft(%5Cast%5Cright)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dax_1%5E2%2Bbx_1y_1%2Bcy_1%5E2%2Bdx_1%2Bey_1%2Bf%3D0%5C%5Cax_2%5E2%2Bbx_2y_2%2Bcy_2%5E2%2Bdx_2%2Bey_2%2Bf%3D0%5C%5Cax_3%5E2%2Bbx_3y_3%2Bcy_3%5E2%2Bdx_3%2Bey_3%2Bf%3D0%5C%5Cax_4%5E2%2Bbx_4y_4%2Bcy_4%5E2%2Bdx_4%2Bey_4%2Bf%3D0%5C%5Cax_5%5E2%2Bbx_5y_5%2Bcy_5%5E2%2Bdx_5%2Bey_5%2Bf%3D0%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

注意到存在二次曲線 $ax%5E2%2Bbxy%2Bcy%5E2%2Bdx%2Bey%2Bf%3D0$ 經(jīng)過這五個點當且僅當上述方程組 $%5Cleft(%5Cast%5Cright)$ 有非零解，而由系數(shù)矩陣不可能列滿秩可得解空間維數(shù)大于等于1，也即一定有非零解，這就說明了一定存在二次曲線通過這5個點.

要證這條曲線唯一，只需要證明線性方程組 $%5Cleft(%5Cast%5Cright)$ 的系數(shù)矩陣的秩為5.

由任意4個點不共線可得 $%5Cleft(x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_5%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(y_1%2Cy_2%2C%5Ccdots%2Cy_5%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(1%2C1%2C%5Ccdots%2C1%5Cright)%5E%5Cprime$ 線性無關.?

下面我們證明系數(shù)矩陣A的秩不能小于5，設系數(shù)矩陣的秩小于5，則：

討論 $%5Cleft(x_1%5E2%2Cx_2%5E2%2C%5Ccdots%2Cx_5%5E2%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_5%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(y_1%2Cy_2%2C%5Ccdots%2Cy_5%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(1%2C1%2C%5Ccdots%2C1%5Cright)%5E%5Cprime$ 四列的線性無關性，若它們線性相關，則由 $%5Cleft(x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_5%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(y_1%2Cy_2%2C%5Ccdots%2Cy_5%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(1%2C1%2C%5Ccdots%2C1%5Cright)%5E%5Cprime$ 線性無關可知 $y_i$ 是關于 $x_i$ 的二次函數(shù)，考慮 $1%2Cx_i%2Cx_i%5E2%2Cx_iy_i%2Cy_i%5E2$ 五列構成的子式，則這是一個范德蒙矩陣且各行代表元素不同，從而行列式的值非零，由矩陣秩的子式判別法可知系數(shù)矩陣的秩為5，得到矛盾.于是 $%5Cleft(x_1%5E2%2Cx_2%5E2%2C%5Ccdots%2Cx_5%5E2%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_5%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(y_1%2Cy_2%2C%5Ccdots%2Cy_5%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(1%2C1%2C%5Ccdots%2C1%5Cright)%5E%5Cprime$ 線性無關，注意到矩陣的秩小于等于4，從而它們是A的列向量的極大無關組，并且可設 $x_iy_i%3Dp_1x_i%5E2%2Bq_1x_i%2Br_1y_i%2Bt_1%2Cy_i%5E2%3Dp_2x_i%5E2%2Bq_2x_i%2Br_2y_i%2Bt_2.%20$

1°存在某個 $x_i%3Dr_1$ ，則有 $p_1r_1%5E2%2Bq_1x_i%5E2%2Bt_1%3D0%2Cy_i%5E2%3Dp_2r_1%5E2%2Bq_2r_1%2Br_2y_i%2Bt_2$

2°對 $x_i%5Cneq%20r_1$ ，變形得到:

$y_i%3D%5Cfrac%7Bp_1x_i%5E2%2Bq_1x_i%2Bt_1%7D%7Bx_i-r_1%7D$

代入得

$%5Cleft(%5Cfrac%7Bp_1x_i%5E2%2Bq_1x_i%2Bt_1%7D%7Bx_i-r_1%7D%5Cright)%5E2%3Dp_2x_i%5E2%2Bq_2x_i%2Br_2%5Cfrac%7Bp_1x_i%5E2%2Bq_1x_i%2Bt_1%7D%7Bx_i-r_1%7D%2Bt_2$

去分母，有：

$%5Cleft(p_1x_i%5E2%2Bq_1x_i%2Bt_1%5Cright)%5E2%3D%5Cleft(p_2x_i%5E2%2Bq_2x_i%2Bt_2%5Cright)%5Cleft(x_i-r_1%5Cright)%2Br_2%5Cleft(p_1x_i%5E2%2Bq_1x_i%2Bt_1%5Cright)%5Cleft(x_i-r_1%5Cright)$

這是一個關于 $x_i$ 的四次方程，并且若存在某個 $x_i%3Dr_1$ ，則它一定適合上述四次方程，并且是上述四次方程增根，若不存在 $x_i%3Dr_1$ ，注意到四次方程最多只有四個根，從而仍然最多只存在4個不同的 $x_i$ .但是根據(jù)我們的假設，五個 $x_i$ 各不相同，于是矛盾.

這意味著當系數(shù)矩陣A的秩小于5時， $%5Cleft(x_1%5E2%2Cx_2%5E2%2C%5Ccdots%2Cx_5%5E2%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_5%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(y_1%2Cy_2%2C%5Ccdots%2Cy_5%5Cright)%5E%5Cprime%2C%5Cleft(1%2C1%2C%5Ccdots%2C1%5Cright)%5E%5Cprime$ 既不可以線性相關，又不可以線性無關，這說明系數(shù)矩陣的秩只能等于5. 這樣就證明了這樣的圓錐曲線是唯一的.

$%5BQ.E.D%5D$

注??? 本題應當還有基于解析幾何相關理論的證明，這里不再贅述.

致謝? ??感謝復旦大學數(shù)學科學學院謝啟鴻教授對我重新寫出的證法給出的優(yōu)化建議

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