注：本文的正確性建立在目前廣為流傳的一份角色池與武器池單抽出貨概率數(shù)據(jù)之上，詳見文章 2.1 與 2.3 部分。

0? 省流版

角色池：

• 從零開始抽出一個五星角色期望抽數(shù)：，中位抽數(shù)：，最大概率抽數(shù)：

• 從零開始抽出一個目標 UP 五星角色期望抽數(shù)：，中位抽數(shù)：，最大概率抽數(shù)：

• 從零開始抽出滿命目標 UP 五星角色期望抽數(shù)：，中位抽數(shù)：，最大概率抽數(shù)：

武器池：

• 從零開始抽出一個五星武器期望抽數(shù)：，中位抽數(shù)：，最大概率抽數(shù)：

• 從零開始抽出一個目標 UP 五星武器期望抽數(shù)：，中位抽數(shù)：，最大概率抽數(shù)：

• 從零開始抽出滿精目標 UP 五星武器期望抽數(shù)：，中位抽數(shù)：，最大概率抽數(shù)：

能衡量“歐非”程度的最直接指標是在前多少抽內(nèi)出貨的累計概率。上述六種情況的累積概率圖象見文章 2.2 與 2.3 對應部分。

1? 文章介紹

每一位熱衷于或受苦于在《原神》中抽卡的玩家都希望有一個直觀的指標來幫助自己判斷自己的“歐非”程度。此時，出貨關(guān)于抽數(shù)的概率分布以及出貨的期望次數(shù)成為了玩家們想要獲取到的信息。然而，大部分對概率與期望計算方法較為陌生的玩家面對游戲抽卡說明中的一堆數(shù)據(jù)表現(xiàn)得茫然。打開一些相關(guān)視頻的評論區(qū)，你甚至能找到“抽卡保底數(shù)是 ，所以期望出貨次數(shù)就是?”這樣的評論。

本文的目的便是教會你正確計算出“省流版”部分中給出的所有數(shù)據(jù)，并對《原神》抽卡模型的設(shè)計進行一定的分析。

2? 主要流程

2.1? 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)獲取

我們首先以角色 UP 池為例。

要想進行具體的計算，我們首先需要獲取到單抽得到五星角色（即“出貨”）的概率。你可能會認為，在祈愿說明中給出的“5 星角色祈愿的基礎(chǔ)概率為?”正是我們所需要的數(shù)據(jù)，實則不然。否則，如果每抽出貨的概率恒定，不會產(chǎn)生? 抽保底的機制。

我們從一些地方可以獲取到這樣一個函數(shù)：在累計 次抽卡后，第 次出貨的概率 滿足

也即，前 次抽卡出貨的概率均為 ，從第 抽開始，概率每抽增長?，直到 。

這是目前網(wǎng)絡(luò)上流傳最廣泛的單抽概率數(shù)據(jù)。這一函數(shù)的深層來源我們不得而知，但它的確滿足這樣一些基本條件：以 作為基礎(chǔ)概率；保底為? 抽；主觀上滿足抽卡的實際情形；表示形式較為簡單（這樣的概率的設(shè)計可能需要經(jīng)過較多推敲，但最終形式往往不會復雜）。我們姑且信之，并將其用于接下來的具體計算。

2.2? 具體計算

2.2.1? 抽五星（忽略 UP 與否）角色

我們首先計算從零開始抽卡出貨（僅考慮五星，忽略 UP 與否）關(guān)于抽數(shù)的概率分布。

設(shè) 表示從零開始恰好在第 抽出貨的概率。也許你可以輕易地寫出 ，但在這里，我們用一個略顯復雜的方式表示它：再設(shè)? 表示前 抽均沒有出貨的概率，從而列出方程組：

并且有

這樣表示的好處我們很快就會看到。依據(jù)該方程組的形式，我們可以迭代地從 開始依次計算 。出貨的期望抽數(shù) 。

我們簡單地寫一份 Python 代碼完成這一計算并輸出結(jié)果：

輸出的期望抽數(shù) 。 本身及其前綴和關(guān)于抽數(shù)的圖象如下（前綴和則表示在前 抽內(nèi)出貨的概率，這便是衡量“歐非”程度的最直接指標）：

?圖象的峰值位于點 處，這表明從零開始抽卡，最有可能在第 抽時出貨，概率約為 。前綴和圖象的 對應的抽數(shù)在 與 之間，距 更近，這表明中位抽數(shù)約為 。至此，我們得到了“省流版”中的第一行數(shù)據(jù)。

2.2.2 ?抽五星 UP 角色

當我們的目標僅落在 UP 角色上時，一些潛在的變量被引入了進來：是否是大保底，以及若是大保底，又已經(jīng)累計了多少抽。在 2.2.1 部分中僅用一個變量 控制函數(shù) 便不再可取。

仍設(shè) 表示從零開始恰好在第 抽出貨的概率。設(shè) 表示在前 抽沒有抽到目標 UP 角色，且保底情況為 （ 為小保底， 為大保底），保底累計抽數(shù)為 的概率。注意到當處于小保底時，有 的概率獲取到想要的 UP 角色，還有 的概率“歪”，因此可以列出方程組：

并且有

關(guān)于 ?的方程組中的第三個方程的含義為：如果在小保底階段抽中了五星角色，且為非 UP（概率為 ），則清空保底的累計抽數(shù)，進入大保底階段。

利用含參量? 來計算? 的好處此時便得以體現(xiàn)——當需要考慮的情況變得復雜時，我們可以通過增加參數(shù)變量來沿用之前的計算方法。 仍然可以迭代計算，只需要分別從小到大枚舉?。

沿用上面部分的代碼，做一些基礎(chǔ)修改后，核心計算部分如下：

輸出的期望抽數(shù) 。事實上，它恰好為 的 倍，這是因為若在小保底階段就出 UP 角色，則期望抽數(shù)為 ，而若在大保底階段才出 UP 角色，則期望抽數(shù)為 ，因此 。 本身及其前綴和關(guān)于抽數(shù)的圖象如下：

圖象的峰值位于點 處，這表明從零開始抽卡，最有可能在第 抽時出目標 UP 角色，概率約為 。前綴和圖象的 對應的抽數(shù)在 與 之間，距 更近，這表明中位抽數(shù)約為 。