美麗的擺線及其數(shù)學原理
最近看了有位昵稱為“帆雨動畫”的up主的科普視頻，其中的許多直觀的科普動畫讓觀眾賞心悅目。而從中挖掘出美妙的數(shù)學原理也是一件很有趣的事。下面主要來講講有關擺線的數(shù)學原理。
(1)擺線、次擺線
擺線：
我們可將運動過程分解為圓上一點勻速圓周，同時圓心向右做勻速直線運動
設圓方程為：，圓上一點從(0,-1)開始順時針轉(zhuǎn)動，其坐標為：
即
轉(zhuǎn)過的弧長為
將圓心至，此時動點平移至
∴擺線的參數(shù)方程為：
其中α為參數(shù)
如上圖所示，取過該動點及動圓圓心的直徑，可知該直徑上的點在運動過程中的相對位置是不變的
取以圓心為起點，上述圓周上該動點為終點的向量
將其進行伸縮得：
其中λ∈[-1,1]
伸縮后向量終點坐標為:
∴次擺線的參數(shù)方程為：
其中α為參數(shù)
下面是對圓上一直徑上的幾個點的軌跡示蹤圖：
其中圓周上的紅點和紫點的軌跡為擺線，其余的為次擺線
ps:上圖用desmos制作，desmos可添加a=rgb(數(shù)字1,數(shù)字2,數(shù)字3)添加顏色(a換成其他字母也行)，顏色的參數(shù)可參考網(wǎng)址：https://tool.oschina.net/commons?type=3
取一個周期2π研究運動軌跡長度：
特別地，當λ=0時，L=2πr，即圓心的運動路徑長;
當λ=1時，
∵α∈[0,2π]
∴sin(α/2)≥0
即擺線路徑長為8r;
λ=-1時同上；
若λ∈(-1,1)，則軌跡為次擺線，積分無初等解(涉及到橢圓積分，跟橢圓周長的積分式類似)，不能求出精確長度
(2)外擺線、內(nèi)擺線
在此之前想先提及下所謂的“硬幣悖論”：“有大小相同的兩枚硬幣，固定一枚硬幣不動，將另一枚硬幣貼著固定的硬幣滾動一周回到原位，問運動的硬幣轉(zhuǎn)了幾圈？”
首先有一點是確定的，也就是滾動過程中下圖所示的兩段弧相等
也就是說滾動一周動圓的圓周才能被完整地接觸一次
而為什么我們看到的卻是轉(zhuǎn)了2圈呢？我認為用參考系來解釋合理很多。
下面分享一位網(wǎng)友的思路圖：
大致意思如下，轉(zhuǎn)動過程中，相接觸過的弧PM=弧PM'，因此動圓相對于切點P轉(zhuǎn)過的弧度為θ(即∠PC'M')，也就是若我們始終認為過P點的公切線是水平線，那么就是“一圈”。
而圖中圓心相對于x軸的偏轉(zhuǎn)角為2θ(即∠C'Ox+∠OC'M')，即圓心相對x軸的偏轉(zhuǎn)角是相對過P點切線的偏轉(zhuǎn)角的2倍，因此以定圓或x軸為參考系那么就是"兩圈"。
所以不用為答案是“一圈”還是“兩圈”糾結(jié)了，關鍵是參考系的選取
只要明白“滾過的弧長相等”的含義以及參考系的選取思路就清晰了，下文的求解需用到“相對于切點的轉(zhuǎn)動”這一論述。
下面回到主題上，
外擺線：
其中滾過的弧長相等(標紅的兩段弧相等)
設定圓半徑為r1,動圓半徑為r2
定圓方程為：
考慮到旋轉(zhuǎn)用復數(shù)較好表示坐標，于是建立復平面進行研究
切點對應復數(shù)為
由于兩圓外切，則動圓圓心對應復數(shù)為
由(r,0)開始滾過的弧長為
則動圓相對于切點轉(zhuǎn)過的弧度為
取由動圓圓心指向切點的向量，對應復數(shù)：
將該向量逆時針旋轉(zhuǎn)得：
故動點坐標對應的復數(shù)為：
用歐拉公式化為三角形式得：
實部和虛部分別對應參數(shù)方程的x,y值
故外擺線參數(shù)方程為：
其中α為參數(shù)
作出軌跡示蹤圖：
取不同的r1和r2可繪制出各種美麗的圖案
內(nèi)擺線：
其中滾過的弧長相等(標紅的兩段弧相等)
設定圓半徑為r1,動圓半徑為r2(r1>r2)
定圓方程為：
切點對應復數(shù)為
由于兩圓內(nèi)切，則動圓圓心對應復數(shù)為
由(r,0)開始滾過的弧長為
則動圓相對于切點轉(zhuǎn)過的弧度為
取由動圓圓心指向切點的向量，對應復數(shù)：
將該向量順時針旋轉(zhuǎn)得：
故動點坐標對應的復數(shù)為：
用歐拉公式化為三角形式得：
實部和虛部分別對應參數(shù)方程的x,y值
故內(nèi)擺線參數(shù)方程為：
其中α為參數(shù)
作出軌跡示蹤圖：
取不同的r1和r2可繪制出各種美麗的圖案
拓展一下，觀察曲線參數(shù)方程的解析式可知，擺線和次擺線可由一“勻速圓周運動”和一“勻速直線運動”疊加繪制出；而外擺線和內(nèi)擺線可由兩“勻速圓周運動”疊加繪制出，多個勻速圓周運動疊加繪圖也是傅里葉變換繪圖中所用到的。還有許多美麗的幾何有待去研究，還有許多數(shù)學知識有待去探索和發(fā)掘，讓我們盡情在數(shù)學世界里遨游吧~
