《二卷》對稱的能動密度張量推導(dǎo)

2023-05-25 04:44 作者:Schlichting 0人讀過 | 我要投稿

朗道和利弗希茲在《二卷》的 $%5CS%5C%0A%2094%0A$ 里給出了對稱的能動密度張量 $T%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D$ 的表達(dá)式，這里我嘗試用微分幾何和Noether定理來給出說明。

一. 張量密度及其導(dǎo)數(shù)

為了之后方便表述，先給出張量密度的概念。

由微分流形上的積分理論可知，在度規(guī)張量場 $g$ 下，4維Semi - Riemannian流形下的體元可以表示為 $d%5COmega'%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cvert%20G%20%5Cvert%7D%20dx%5E0%20dx%5E1%20dx%5E2%20dx%5E3%20%2C%20G%3Ddet(g%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D)$ ，?這里度規(guī)不一定是正定的，因此取絕對值。則標(biāo)量的積分可寫為 $%5Cint%20%5CLambda%20d%5COmega'%20%3D%5Cint%20%5CLambda%20%5Csqrt%7B%5Cvert%20G%20%5Cvert%7D%5C%20dx%5E0%20dx%5E1%20dx%5E2%20dx%5E3%3D%5Cint%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7Dd%5COmega$ ，其中 $%5Ctilde%7B%5CLambda%7D$ 稱為標(biāo)量密度，一般張量密度可表示為 $%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%3D%20%5Csqrt%7B%5Cvert%20G%20%5Cvert%7D%20%5C%20T%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D$ ，以上加tilde表示。

記在該度規(guī)下協(xié)變導(dǎo)數(shù)為 $%5Cnabla_%7Be_%7B%5Cmu%7D%7D%3D%5Cnabla_%7B%5Cmu%7D$ ，則根據(jù)聯(lián)絡(luò)系數(shù) $%5CGamma%5E%7Ba%7D_%7Bbc%7D$ 和度規(guī)分量 $g_%7Bij%7D$ 的關(guān)系，可以導(dǎo)出如下的關(guān)于張量密度的散度公式：

$%5Cnabla_%7B%5Cmu%7D%20A%5E%7B%5Cmu%7D%3DA%5E%7B%5Cmu%7D_%7B%5C%20%3B%5Cmu%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cvert%20G%20%5Cvert%20%7D%7D%20%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D%20%5Ctilde%7BA%5E%7B%5Cmu%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cvert%20G%20%5Cvert%20%7D%7D%5Ctilde%7BA%7D%5E%7B%5Cmu%7D_%7B%5C%20%2C%5Cmu%7D%20$ ， $%5Cnabla_%7B%5Cnu%7D%20T%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cvert%20G%20%5Cvert%20%7D%7D%20%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D%5Ctilde%7B%20T%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D$ ，其中協(xié)變導(dǎo)數(shù)用分號表示，普通偏導(dǎo)用逗號表示，下文記法一致。

同時還有高斯公式等，這里不再敘述。

二.?物質(zhì)場作用量等的變分

配合書里的內(nèi)容，記物質(zhì)場作用量為 $S%3D%5Cint%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%20d%5COmega$ ，其中 $%5Ctilde%7B%5CLambda%7D$ 為拉格朗日量標(biāo)量密度。在局部坐標(biāo)系 $x$ 下，變量分量形式為 $%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(x)%3D%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(%5Cpsi_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20%5Cnabla_%7Bl%7D%5Cpsi_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x))$ ，其中 $%5Cpsi$ 為物質(zhì)場的運(yùn)動量， $g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)$ 為場度規(guī)在 $x$ 坐標(biāo)系下的分量。

現(xiàn)在考慮無窮小坐標(biāo)變換 $y%5E%7B%5Cmu%7D%3Dx%5E%7B%5Cmu%7D%2B%5Cxi%20%5E%7B%5Cmu%7D%20$ ，由 $x$ 系變?yōu)?strong> $y$ 系， $%5Cxi%20%5E%7B%5Cmu%7D%20$ 為微小變量，是一個光滑切向量場 $%5Cxi$ 在局部坐標(biāo)系 $x$ 下的分量。

按如下方式定義量的變分：考慮坐標(biāo)變換導(dǎo)致的差值，設(shè) $%5Cxi$ 生成的單參數(shù)變化群為 $%5C%7B%5Cphi%20(t)%5C%7D$ ， $x$ 系 -? $y$ 系變換為其誘導(dǎo)坐標(biāo)變換，記其拉回映射的分量為? $(%5Cphi%20(t)%5E*g)_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%3Dg_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D'(x)$ ，其余類似，則有： $%5Cdelta%20S%3DS(y)-S(x)%20%3D%5Cint%20(%5Cdelta%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D)%20d%5COmega%EF%BC%8C$

$%5Cdelta%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%3D%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(%5Cpsi_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D'(y)%2C%20%5Cnabla_%7Bl%7D%5Cpsi_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D'(y)%2C%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D'(y)%2C%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D'(y))-$ $%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(%5Cpsi_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20%5Cnabla_%7Bl%7D%5Cpsi_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x))$

$%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%3D%5Clim_%7Bt%5Cto0%7D%20((%5Cphi%20(t)%5E*g)_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D-%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D)(x)$ $%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D(%20(%5Cphi%20(t)%5E*g)_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D)(x)%20%3D(L_%7B%5Cxi%7D%20g)_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)$ $%5Cdelta(%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x))%3D%20(L_%7B%5Cxi%7D%5Cpartial_%7Be_l%7D%20g)_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%3D%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20(%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x))$ ，其中 $L_%7B%5Cxi%7D%20$ 按照定義為Lie導(dǎo)數(shù)，其余的量類似。變分與偏導(dǎo)對易的原因?yàn)?，雖然交換后偏導(dǎo)可能變?yōu)閰f(xié)變導(dǎo)數(shù)，因?yàn)檫@里 $%5Cxi$ 不是Killing場， $L_%7B%5Cxi%7D%20g%20%5Cneq%200$ ，但是由于在Semi - Riemannian流形下 $%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%3Bl%7D(x)%3D%3D0$ ，因此導(dǎo)數(shù)只可能是普通偏導(dǎo)，因而可對易。一般而言變分的定義為Lie導(dǎo)數(shù)，由單參群給出。

根據(jù)Lie導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可知 $-%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%3D-(L_%7B%5Cxi%7D%20g)_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%3D%5Cnabla_%7B%5Cmu%7D%7B%5Cxi%7D_%7B%5Cnu%7D%2B%5Cnabla_%7B%5Cnu%7D%7B%5Cxi%7D_%7B%5Cmu%7D$ ，可以從泰勒展開或者Lie導(dǎo)數(shù)求值公式得出，此處不具體展開。

三.?具體變分計(jì)算

由最小作用量原理可知，在 $%5Cdelta%20S%3D0$ 下可以對描述運(yùn)動的量 $%5Cpsi$ 得出相應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7D%20-%20%5Cpartial_l%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20%7D%20%3D0%20%20%20%20$ ，因此這里可以忽略量 $%5Cpsi$ 而只研究度規(guī) $g$ 的分量變化對作用量變分的影響。

由此，拉格朗日量標(biāo)量密度變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(x)%3D%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x))" alt="%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(x)%3D%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x))">。而因?yàn)镾是標(biāo)量，因此其在坐標(biāo)變換下不變，即 $%5Cdelta%20S%3DS(y)-S(x)%20%3D0$ 總是成立，是為第一條件。

現(xiàn)在可以用這個條件將 $%5Cdelta%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D$ 分為兩部分 $%5Cdelta%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%3D%5Cdelta_1%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%2B%5Cdelta_2%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D$ ，其中 $%5Cdelta_1%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%3D%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D'(y)%2C%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D'(y))-%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(g'_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20g'_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x))$ 為坐標(biāo)變換的誘導(dǎo)變分，

$%5Cdelta_2%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%3D%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(%20g%E2%80%99_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20g'_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x))-%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%2C%20%5Cpartial_%7Bl%7D%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x))%3D(L_%7B%5Cxi%7D%5Ctilde%7B%5CLambda%7D)%20(x)$ 為對分量的變分。

由條件可知， $%5Cdelta_1%20S%3D%5Cint%20(%5Cdelta_1%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D)%20d%5COmega%3D0$ ，因此只需要考慮拉回映射導(dǎo)致的變分即可。

根據(jù)一般的變分理論，可計(jì)算得出 $%5Cdelta_2%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D(x)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7D%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(x)%20%2B%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20%7D%20%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20(x)%20%20%20%20%20%20$ ，利用前文的對易性有 $%5Cdelta_2%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7D%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%2B%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20%7D%20%5Cpartial_l(%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D)%20%20%20%20%20%20$ ，這里默認(rèn)在 $x$ 系內(nèi)計(jì)算。

打開偏導(dǎo)數(shù)有 $%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20%7D%20%5Cpartial_l(%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D)%20%20%20%20%20%20%3D%5Cpartial_l(%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20%7D%20%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D)%20-(%5Cpartial_l%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20%7D%20)%20(%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D)%20$ ，第一項(xiàng)根據(jù)高斯公式以及物理場變分的基礎(chǔ)邊界條件，易知 $%5Cint%20%5Cpartial_l(%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20%7D%20%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D)%20d%5COmega%20%3D0$ ，于是作用量的變分化為 $%5Cdelta%20S%3D%5Cdelta_2%20S%3D%5Cint%20(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7D-%5Cpartial_l%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20%7D%20)%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20d%5COmega%3D0$

定義能動密度張量密度的分量為 $a%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7D-%5Cpartial_l%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20%7D$ ，其中 $a$ 為量綱系數(shù)。從度規(guī)的對稱性可知 $%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%3D%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cnu%20%5Cmu%7D$ ，即它必然是對稱的。

帶入作用量有 $%5Cdelta%20S%3D%5Cint%20a%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%5Cdelta%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20d%5COmega%3D%5Cint%20a%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D(%5Cnabla_%7B%5Cmu%7D%7B%5Cxi%7D_%7B%5Cnu%7D%2B%5Cnabla_%7B%5Cnu%7D%7B%5Cxi%7D_%7B%5Cmu%7D)%20d%5COmega%3D0$ 。利用 $%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D$ 的對稱性可以將后面的求和改寫為 $%5Cdelta%20S%3D%5Cint%202a%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7B%5Cxi%7D_%7B%5Cmu%3B%5Cnu%7D%20d%5COmega%3D0$ ，即做對稱化運(yùn)算。

這里如此定義坐標(biāo)變換下的Noether流密度： $%5Ctilde%7BJ%5E%7B%5Cmu%7D%7D%3D%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7B%5Cxi%7D_%7B%5Cmu%7D%20$ ，由一中的結(jié)論易得 $%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D%20%5Ctilde%7BJ%5E%7B%5Cmu%7D%7D%3D%7B%5Csqrt%7B%5Cvert%20G%20%5Cvert%20%7D%7D%5C%20%5Cnabla_%7B%5Cmu%7D%20J%5E%7B%5Cmu%7D%20%20%3D%7B%5Csqrt%7B%5Cvert%20G%20%5Cvert%20%7D%7DT%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D_%7B%5C%20%3B%5Cnu%7D%20%7B%5Cxi%7D_%7B%5Cmu%7D%20%2B%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7B%5Cxi%7D_%7B%7B%5Cmu%7D%3B%7B%5Cnu%7D%7D%20$ ，其中 $J%5E%7B%5Cmu%7D%3DT%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7B%5Cxi%7D_%7B%5Cmu%7D%20$ 為普通Nother流，全部都是在 $x$ 系內(nèi)計(jì)算。根據(jù)Noether定理，Noether流守恒，這里表現(xiàn)為 $%5Cint%20%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D%20%5Ctilde%7BJ%5E%7B%5Cmu%7D%7D%20d%5COmega%3D0$ ，再加上 $%5Cint%202a%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7B%5Cxi%7D_%7B%5Cmu%3B%5Cnu%7D%20d%5COmega%3D0$ 即可得出物質(zhì)場的守恒律 $T%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D_%7B%5C%20%3B%5Cnu%7D%3D0$ 。

當(dāng)然此處的量綱系數(shù)可以通過與其他已知系統(tǒng)對比得出，比如電磁場能動密度張量 $T%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%20%5Cpi%7D(-F%5E%7B%5Cmu%20l%7DF%5E%7B%5Cnu%20%7D_%7B%5C%20l%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dg%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7DF%5E%7Bij%7DF_%7Bij%7D)$ ， $%5CLambda%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B16%20%5Cpi%7Dg%5E%7B%5Cmu%20i%7Dg%5E%7B%5Cnu%20j%7DF_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7DF_%7Bij%7D$ ?？勺C明 $a%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2c%7D$ ，其中c是光速。

于是若不考慮相對論下的作用量表示，物質(zhì)場對空間幾何的對稱的能動密度張量定義為 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2c%7D%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%7D-%5Cpartial_l%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20%5Ctilde%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial%20%20g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%2Cl%7D%20%7D$ ， $%5Ctilde%7B%5CLambda%7D$ 為拉格朗日量標(biāo)量密度， $g_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D$ 為場度規(guī)坐標(biāo)系下的分量。

四.?能動贗張量的引入

由Noether定理易得，對于一個系統(tǒng)而言，其守恒律應(yīng)表現(xiàn)為 $%5Ctilde%7BT%7D%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D_%7B%5C%20%2C%5Cnu%7D%3D0$ ，而非上文中的物質(zhì)場守恒律 $T%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D_%7B%5C%20%3B%5Cnu%7D%3D0$ 。對于那些 $%5Csqrt%7B%5Cvert%20G%20%5Cvert%7D%20%3D1$ 的空間而言，比如閔可夫斯基四維時空，兩者是相同的?，但對于 $%5Csqrt%7B%5Cvert%20G%20%5Cvert%7D%20%5Cneq%201$ 的空間就不相同了，因此明顯我們在這里遺漏了場本身的能動密度張量，對于引力場而言就是能動贗張量。關(guān)于這個內(nèi)容可以參考我的另一篇專欄?CV20450046。

本文是根據(jù)朗道所用的方法，加上個人對梁老師書上所寫的內(nèi)容的理解所給出的推導(dǎo)，如果有錯還請大家指出，感謝。

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《二卷》對稱的能動密度張量推導(dǎo)

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