大家好，我是喜歡讀數(shù)學(xué)書的老碧，我們今天繼續(xù)之前的話題——每天五分鐘，數(shù)學(xué)更輕松！

在此之前我們先回顧，戴德金分割對(duì)有理數(shù)分劃的定義：

由此，我們得出，這種分劃邏輯上分四種類型，

1.上組有最小數(shù)，下組無(wú)最大數(shù)；

2.上組無(wú)最小數(shù)，下組有最大數(shù)；

3.上組下組都無(wú)最值；

4.上組下組都有最值。

第四種情況我們用有理數(shù)的“稠密性”證明了不可能存在，于是分劃只分為三種類型：

1.上組有最小數(shù)，下組無(wú)最大數(shù)；

2.上組無(wú)最小數(shù)，下組有最大數(shù)；

3.上組下組都無(wú)最值。

顯然，其中第1，2種情形都對(duì)應(yīng)了有理數(shù)作為分界線——“界數(shù)”——的情況，于是每一個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)分劃。本著數(shù)學(xué)定義的“消歧義性”，人為規(guī)定，把“界數(shù)”歸為上組或下組，因教材而異。這本書取，“界數(shù)”落在上組的情況，作為有理數(shù)的定義形式?！?/p>

這樣，數(shù)與分劃實(shí)現(xiàn)了“一一對(duì)應(yīng)”。?

上一節(jié)，我們提到，實(shí)數(shù)的定義方式，本質(zhì)上是找到一個(gè)與實(shí)數(shù)“一一對(duì)應(yīng)”的集合。

而“一一對(duì)應(yīng)”，作為數(shù)學(xué)專業(yè)一種常見(jiàn)的命題——

在數(shù)學(xué)中是一種重要的題型，最樸素的思路便是，我們要驗(yàn)證兩個(gè)集合X和Y之間的元素“一一對(duì)應(yīng)”，一般先驗(yàn)證，X中任何一個(gè)元素對(duì)應(yīng)的Y中的元素是唯一的，再反過(guò)來(lái)，證明Y中任何一個(gè)元素對(duì)應(yīng)的X中的元素是唯一的就好了。

下面，我們就引入第二種，對(duì)“無(wú)理數(shù)”的定義方式——“無(wú)限十進(jìn)小數(shù)”的定義方式——

老碧高能預(yù)警：“這一部分的語(yǔ)言表達(dá)優(yōu)點(diǎn)崎嶇哦，寶寶們一定要看清楚斷句，不然一定會(huì)繞進(jìn)去的呢！”

9用無(wú)盡小數(shù)來(lái)表示實(shí)數(shù)

Opps，書上用的是“無(wú)盡小數(shù)”，老碧這個(gè)傻子記錯(cuò)了，不過(guò)無(wú)傷大雅了，各位寶寶，記住“無(wú)限小數(shù)”=“無(wú)窮小數(shù)”=“無(wú)盡小數(shù)”就好了。反正都是翻譯的鍋！

既然要達(dá)到用“無(wú)盡小數(shù)”表示實(shí)數(shù)的目的，自然地，就先得對(duì)“無(wú)盡小數(shù)”下一個(gè)定義。

（注：我們知道任何一個(gè)“十進(jìn)小數(shù)”都分為“整數(shù)部分”和“小數(shù)部分”，而真正在這個(gè)定義的驗(yàn)證的重點(diǎn)是“小數(shù)部分”，因?yàn)椤罢麛?shù)部分”總可以用一個(gè)確定的整數(shù)（正，0，負(fù)）來(lái)表示，小數(shù)部分的情形則比較復(fù)雜。

以我們都知道的根號(hào)2為例，我們可以知道它小數(shù)部分的前有限位，哪怕1億億億億位，但是我們無(wú)法給定它小數(shù)部分的全部——于是如何通過(guò)一個(gè)對(duì)象的局部去推斷整體，就成為了數(shù)學(xué)中間一個(gè)重要的命題，即“分析學(xué)”的核心目的。）

書中首先給出了關(guān)于“十進(jìn)小數(shù)”的一個(gè)簡(jiǎn)要說(shuō)明：

接著，書上先考慮了情形一——

1.不是有盡小數(shù)（含整數(shù)）——我們還不知道這種小數(shù)是什么情況，我們要去定義它。

這里用到的方法就是老碧之前介紹過(guò)的“構(gòu)造法”，意思也很簡(jiǎn)單，由“有理數(shù)分劃”的定義出發(fā)：

1. 下組取整數(shù)N，上組取整數(shù)M，那么界數(shù)必然位于兩數(shù)之間。

2. 令N+1=N1，比較N1與界數(shù)——

   如果N1大于界數(shù)，則終止操作，令N=C0；

   如果N1不大于界數(shù)——

   則令N2=N1+1，如果N2大于界數(shù)，則終止操作，令N1=C0；

   如果N2不大于界數(shù)——

   ……

   將該步驟進(jìn)行下去，總會(huì)取得一個(gè)數(shù)，使得Nk小于界數(shù)，Nk+1大于界數(shù)，令Nk=C0即可；

   界數(shù)位于C0與C0+1之間（在這個(gè)過(guò)程中取不到界數(shù)的原因在于，操作中任何一個(gè)數(shù)都是整數(shù)，而界數(shù)不是整數(shù)）。

3. 因?yàn)槭鞘M(jìn)小數(shù)，所以，C0與C0+1之間的一位小數(shù)有九個(gè)，記為C0.1，C0.2，C0.3，C0.4，C0.5，C0.6，C0.7，C0.8，C0.9，這九個(gè)數(shù)將C0與C0+1之間均分為十等份，而界數(shù)必然落在其中某一個(gè)小區(qū)間，記區(qū)間較小的端點(diǎn)為C0.c1，即界數(shù)落在C0.c1與C0.c1+1/10之間（依然界數(shù)不會(huì)跟任何一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)重合，因?yàn)樵?span id="s0sssss00s" class="color-purple-01 font-size-16">界數(shù)不是有盡小數(shù)）。

4. 因?yàn)榻鐢?shù)不是“有盡小數(shù)（含“整數(shù)”）”，所以類似3的步驟可以一直進(jìn)行下去，對(duì)于任意的n，都存在有盡小數(shù)C0.c1c2……cn，使得界數(shù)位于C0.c1c2……cn與C0.c1c2……cn+1/10^n之間，每一步得到的有盡小數(shù)，都與我們要構(gòu)造的數(shù)的距離更近。

5. 那么，將過(guò)程推向無(wú)限，最終會(huì)得到的，就是上述一連串有盡小數(shù)無(wú)限靠近的那個(gè)數(shù)值，即這一列數(shù)的極限，還記得老碧在Ep8中提到過(guò)“極限論里有一個(gè)重要常識(shí)就是—一個(gè)變量的極限，這個(gè)變量不一定能達(dá)到”嗎？于是我們就從無(wú)限的操作中得到了對(duì)那個(gè)不是“有盡小數(shù)”的數(shù)——C0.c1c2……cn……——我們稱之為“無(wú)盡小數(shù)”

這才由一個(gè)操作法引出了“無(wú)盡小數(shù)”的定義。

至于如何由“無(wú)盡小數(shù)”實(shí)現(xiàn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)，我們下回再說(shuō)！