本系列文章將從下面不同角度解析線性代數(shù)的本質(zhì)，本文是本系列第一篇

向量究竟是什么？

向量的線性組合，基與線性相關(guān)

矩陣與線性相關(guān)

矩陣乘法與線性變換

三維空間中的線性變換

行列式

逆矩陣，列空間，秩與零空間

克萊姆法則

非方陣

點積與對偶性

叉積

以線性變換眼光看叉積

基變換

特征向量與特征值

抽象向量空間

快速計算二階矩陣特征值

張量，協(xié)變與逆變和秩

目錄

前言

向量究竟是什么？

向量的線性組合，基與線性相關(guān)

矩陣與線性相關(guān)

前言

天道中丁元英說過一句話：佛說，看山是山，看水是水，普通大眾寄情山水之間時，如神一般的丁元英卻早已看透文化屬性；今天我們不研究這么高深的哲學，回到線性代數(shù)，向量，矩陣對于我來講只不過是一堆數(shù)字，但切換到神的視角，他們卻是幾何與變換，瞬間讓線性代數(shù)變得更加立體生動，今天我們就從幾何的角度去探索線性代數(shù)的本質(zhì)。

向量究竟是什么？

通過“究竟”一詞可見，對于向量的含義，存在不同的解釋，目前，主要有三種解釋：

⑴從物理學家的角度看：向量是指向空間的箭頭，它有兩個屬性：長度和方向，無論怎么移動他都是同一個向量。

⑵從計算機角度看：向量是有序的數(shù)字列表，例如對于房價預測而言，房子的面積，房間數(shù)就可以看作是一個向量：

⑶從數(shù)學家的角度看：向量可以是任何東西，只要具有向量和向量加法，標量和向量乘法這兩種運算規(guī)律的事務(wù)都可以看作是向量

例如：

由于數(shù)學家的角度過于抽象，這就出現(xiàn)了開頭講的，換個角度看問題，從幾何角度看待線性代數(shù)，對于向量而言，就是在特定坐標系下，以原點為起點，指向某個方向的箭頭：

現(xiàn)在已經(jīng)有了使用幾何方式表達向量的方法，下面讓我們從幾何角度重新審視向量的兩種運算：

對于而言，移動w到v的末尾，連接v的頭和w的尾就是結(jié)果向量。

?

對于而言，向量的方向不變，長度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，如果標量是小?shù)，則是縮小向量的長度，如果是負數(shù)，則是反方向縮放向量的長度。

向量的線性組合，基于線性相關(guān)

基向量：

“單位“是數(shù)學中必不可少的概念，缺少單位，數(shù)字變得毫無意義，同樣，對于使用幾何表示向量而言，也有存在單位的概念，這就是“基向量”，它代表指向x，y軸，長度為1的向量，我們分別用，表示。

有了基的概念后，向量的表示可以轉(zhuǎn)換成以基為參照，例如向量，則可以表示成：

這里需要注意，前面我們選擇指向x，y軸，且長度為1的向量作為基向量，但也可以選擇不同的基，不同的基代表不同的坐標系，則對于一個向量而言，它代表不同的幾何意義，例如，選擇下面的v和w向量作為基向量時，向量代表的幾何形狀與，為基向量時的形狀是不一樣的。

向量線性組合：

無論選擇什么樣的基向量，向量都可以寫成更一般的形式：，我們稱為向量的線性組合，a，b是標量，也稱為縮放因子，v和w是向量，選擇不同的縮放因子，向量的線性組合可以表示整個向量空間，也就是生成的向量可以到達平面中所有點。

但如果兩個向量恰好共線時，則向量組合后的結(jié)果向量只能落在該直線上，我們稱共線的兩個向量是線性相關(guān)的，否則是線性無關(guān)。

更特殊地，當這兩個向量都是0向量時，則向量組合后的結(jié)果向量只能落在原點上。

概括一下，所有可以被給定向量，用線性組合來表示的那些向量的集合，被稱為給定向量張成的空間，兩個不共線的向量，在二維空間中，其線性組合所張成的空間是整個二維空間；而在三維空間中，其張成的空間是三維空間中的一個面。

在三維空間中，三個向量的線性組合，如果其中一個向量在另兩個向量張成的平面內(nèi)，我們稱該向量與其他兩個向量線性相關(guān)，這三個向量的線性組合仍然是一個平面，只有三個向量互不線性相關(guān)時，那么這三個向量的線性組合才能張成整個三維空間。

矩陣與線性相關(guān)

矩陣：

先說結(jié)論：前面講的向量可以視為一種帶箭頭的幾何結(jié)構(gòu)，那么矩陣就可以視為一種對幾何的變換。

在線性代數(shù)中，變換是一種函數(shù)，將輸入映射成輸出，輸入是向量，輸出也是向量，同理，當輸入是矩陣時，可以把矩陣分解成多個向量，那么輸出也就是矩陣，變換有很多種，線性代數(shù)中只討論線性變換，線性變換要求，任意直線變換后仍然是直線，且原點位置變換后保持不變，從幾何角度看，線性變換就是拉伸，縮放，旋轉(zhuǎn)。

下圖變換后，直線變彎曲了，所以是非線性變換

下圖變換后，原點位置變了，所以屬于非線性變換

那我們?nèi)绾吻笠粋€向量經(jīng)過變換后的向量坐標呢？假設(shè)現(xiàn)有一個向量，在原始坐標系下可以表示成：?。

現(xiàn)在對向量v施加一個線性變換，根據(jù)線性變換的特性，變換后，網(wǎng)格仍然平行且間隔均等，假設(shè)兩個基向量變換后的坐標如下圖所示，向量v與兩個基向量經(jīng)過相同的變換變成新的基向量，那么，向量v經(jīng)過變換后的向量仍然可以表示成:

?,只不過基向量變成了變換后的基向量。

如上圖

,

變換后的v就等于：

也就是說，如果我們知道兩個基向量變換后的向量，那么求任何一個向量經(jīng)過變換后的向量的過程可以用下圖所表示：

更進一步的，我們將兩個基向量變換后的坐標向量用矩陣的形式組織起來，這個矩陣就是線性變換矩陣T。

對于任意一個向量A,例如，，求該線性變換T對該向量的作用時，只需要用矩陣與向量相乘即可：。

如果換個視角，反過來看，如果給出一個矩陣乘法：，我們可以把矩陣第一列當作新的基向量，把矩陣的第二列當作新的基向量，根據(jù)向量的幾何表示，向量用新的基向量表成：向正方向放大7倍，向正方向放大2倍，將變換后的向量相加就形成了結(jié)果向量。

再舉個例子，看看逆時針旋轉(zhuǎn)90度的變換矩陣是什么，由變成，由變成，所以該變換矩陣為：。

到此，就已經(jīng)證明了我們在開頭所說的：矩陣是一種線性變換。