1.不是Cauchy列的經(jīng)典說法：?ε＞0，?N∈IN*，?n＞N，｜a(n+1)-an｜＜ε，舉an=√n的反例。（f(x)=√x是一致連續(xù)但不Lipschitz連續(xù)的例子。沒啥關(guān)系，只為放一塊記憶）

史濟(jì)懷老師書上的習(xí)題給的是｜a(n+p)-an｜≤p/n對一切n,p∈IN*成立，道理相同，可以舉調(diào)和級數(shù)的例子。

2.證明Cauchy收斂原理。

①先證有界

②選出收斂子列趨于a，證明a是整個數(shù)列的極限。

或者：根據(jù)Cauchy列條件，?ε＞0，可取出aN，aN-ε＜an＜aN+ε。左邊等號取下極限，右邊等號取上極限。

3.用Cauchy收斂原理證明確界原理。

設(shè)非空有上界的集合S，構(gòu)造一個Cauchy列，使得它的極限就是S的上確界。

反復(fù)用到“?n，存在唯一的kn，使得kn/n是S上界，而(kn-1)/n不是S上界”。kn/n就是那個Cauchy列，設(shè)為λn，收斂于λ。?n，λn是S上界，保證了λ是上界。再根據(jù)（ⅰ）λn-1/n不是上界；（ⅱ）Aichimedes性質(zhì)1/n＜δ/2；（ⅲ）數(shù)列收斂性質(zhì)，λn＞λ-δ/2。從而λ是上確界。

4.總結(jié)一下刻畫實(shí)數(shù)完備性的7個命題。

先記錄下目前理解，等學(xué)完拓?fù)湎嚓P(guān)部分再更新理解。

我覺得①Dedekind定理、②確界原理、③Heine—Borel定理、④單調(diào)收斂原理都是從單側(cè)趨近的角度刻畫實(shí)數(shù)完備性的。（①④強(qiáng)調(diào)趨近一個點(diǎn)，②③分別趨近于兩個端點(diǎn)。④的趨近過程不用人為找順序，直接按自然數(shù)后繼映射方向就是趨近方向；其他的本來沒有順序，但可以人為找順序使其趨近目標(biāo)）

⑤閉區(qū)間套定理從極限兩側(cè)分別單調(diào)趨近。

⑥Bolzano—Weierstrass定理從“聚集”角度刻畫實(shí)數(shù)完備性。有界數(shù)列不可能“不聚集”，只可能在有限個點(diǎn)、可數(shù)個點(diǎn)聚集，或者“處處聚集”，或者“幾乎處處聚集”。

①②③④是一類特殊的收斂方式（單側(cè)不越界），⑤是可以從兩側(cè)分別趨近同一個點(diǎn)，但不存在“交錯”，⑦Cauchy收斂原理中數(shù)列可以“交錯”，⑥中數(shù)列不一定有極限。