看不懂的高等代數(shù)（二）
介紹了線性方程組的基本內(nèi)容以及利用矩陣給出的基礎(chǔ)解法之后，我們要進一步研究線性方程組解的情況。我們在上一篇專欄的最后已經(jīng)簡單介紹過了以矩陣方式對線性方程組的解的存在性與解法的表達，這一篇當中，我們主要將這一結(jié)論細化并且系統(tǒng)化，在此基礎(chǔ)上引出一些有關(guān)線性方程組及其解的基本概念。
Chapter? One? 線性方程組
1.2? 線性方程組的解的情況及其判別準則
我們知道，線性方程組的解的存在性有三種情況：有唯一解，有無窮多組解和無解。在上一篇專欄當中，我們利用矩陣簡化了線性方程組的表達形式，并且將線性方程組的求解轉(zhuǎn)化為了對矩陣進行初等行變換。
我們在上一節(jié)又提到過，任何矩陣都能通過初等行變換轉(zhuǎn)化為行階梯形矩陣。（上一篇專欄中的命題1，大家自行證明一下即可~）于是，線性方程組的解，就變成了變換后的行階梯形矩陣的表達形式的問題。顯然，結(jié)合線性方程組的含變量形式，我們有：
（1）矩陣中出現(xiàn)：
的行時，線性方程組無解；
（2）當矩陣中無上述行時，那么顯然，任何一個非零行的主元都不可能位于最后一列。（否則就會出現(xiàn)上述行。）若以記主元所在列的列序數(shù)，則有：
回憶我們在數(shù)學分析部分曾經(jīng)介紹過的一個基本事實（可能是在數(shù)列部分）：
于是就有：
這說明行階梯形矩陣在無上述行時，其非零行的數(shù)目最多是n。
①r=n時，有：
這說明最后一個非零行的行序數(shù)和列序數(shù)都應該是n。又結(jié)合行階梯形矩陣的定義，我們就能很容易的得到，任何一個非零行的主元的行序數(shù)與列序數(shù)都應該相等。
（命題1）
此時，我們就能將增廣矩陣化成如下形式：
顯然，方程組的解唯一且能解出。
②r＜n時，通過交換變量位置，并重新標記變量序數(shù)，就有：
略去零行對應的方程，我們就得到了一組解：
對方程等號右側(cè)的變量任意賦值，都能夠得出一組解。于是，此時，這一方程組有無窮多組解，并且一般解的形式如上。
如果一個線性方程組有解，我們就稱其為相容的；否則稱其為不相容的。
所以，現(xiàn)在我們就有了利用矩陣求解方程組的一套一般算法：
（1）將方程組的增廣矩陣作初等行變換化為階梯形矩陣；
（2）判斷是否有的行。若有，則無解；若無，則繼續(xù)化為簡化行階梯形矩陣；
（3）判斷r與n之間的大小關(guān)系，給出結(jié)論與解。
這樣的算法流程稱為Gauss-Jordan算法。
我們按照原方程組的等號右側(cè)的數(shù)項的取值進行分類，將常數(shù)項全為0的方程組稱為齊次線性方程組，而將不全為0的方程組稱為非齊次線性方程組。
可以看出，任何齊次線性方程組都一定有零解（變量全部為0的解），這說明增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化簡之后，其非零行的個數(shù)一定小于等于n。進而，我們就能有：
齊次線性方程組有無窮多組解的充分必要條件為其對應的增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化簡之后，其非零行的個數(shù)小于n。
（命題2）
Chapter? One? 線性方程組
1.3??數(shù)域
我們在解方程組的討論當中涉及到了對矩陣的初等行變換，其本質(zhì)上是行與行之間的四則運算。顯然，我們做了這些運算之后，方程只是改變了系數(shù)形式，而并沒有發(fā)生本質(zhì)上的改變。換句話說，方程的變量沒有發(fā)生本質(zhì)上的變化（沒有從一次元變?yōu)槎卧蛘叻钦麛?shù)次元），系數(shù)本身也還是實數(shù)（沒有變成復數(shù)）。這實際上得益于實數(shù)集的一個優(yōu)良性質(zhì)——對四則運算的封閉性。
我們在數(shù)學分析部分已經(jīng)簡單引入過了封閉性的一些基本概念（甚至是在第一篇專欄）。所謂封閉性，實際上就是對于某一集合引入某一種運算，運算的結(jié)果仍然是該集合內(nèi)的元素。此時，我們就稱該集合對該運算封閉。
那么，對于滿足四則運算封閉性的數(shù)集，我們就給它一個名字——數(shù)域。
更細致一點的定義，還要再補足一些公理：
（1）
（2）中的元素對四則運算封閉。
按照這一定義，我們可以證明：
（1）復數(shù)集是最大的數(shù)域；
（2）有理數(shù)集是最小的數(shù)域。
（命題3）
（注意，這里的大小關(guān)系并不考慮集合的勢，而只是研究集合之間的包含關(guān)系。）
如果線性方程組的系數(shù)全部來自于某一數(shù)域，我們就稱該方程組為“數(shù)域
上的線性方程組”。
至此，有關(guān)線性方程組以及其引出概念的介紹就到此為止了。值得注意的是，這一章的概念與思想在后面我們還會反復地遇到與介紹，尤其是有關(guān)數(shù)域的概念，在向量組與多項式的部分還會涉及，所以有必要好好理解一下~
思考：
證明命題1；
證明命題2；
證明命題3；
a為何值時，下列方程組有解：
證明：
是一個數(shù)域。
みんながすべてマスターすることができることを望み ます！
